Variables Aléatoires Et Lois De Proba

Question 1

Qualitative ( def + 2 categories)

Answer 1

Prendre des modalités

Nominales: on nomme par catégorie ( ex couleur des yeux)

Ordinale: on classe, on hiérarchise, on ordonne
Ex classement au concours

Question 2

Quantitative ( def + 2 categories)

Answer 2

= prend des valeurs

• discrète : on compte ( ex nb d’enfants par femme)
• continue: on mesure ( ex poids, taille)

Question 3

Variables à deux modalités synonymes

Answer 3

Binaires, binomiale, booléennes, dichotomiques

Question 4

Discretiser

Answer 4

On transforme une variable continue en QT discrète ( on remplace les intervalles par leur centre)

Question 5

Catégoriser

Answer 5

On transforme une variable QT en QL ordinale ( on prend des valeurs qu’on regroupe en classes qu’on peut ensuite ordonner)

Question 6

outils de représentation d’une QL univariée

Answer 6

• diagramme circulaire/ camembert
• diagramme en barre
• tableau de fréquence

Question 7

outils de représentation d’une QT discrète

Answer 7

• diagramme en barre
• boîte à moustache

Question 8

outils de représentation d’une QT continue

Answer 8

Boîte à moustache
Histogramme

Question 9

outils de représentation de QT x QT

Answer 9

Nuage de points

Question 10

QL x QL

Answer 10

Tableau de contingence

Question 11

QT x QL

Answer 11

Box and whisker plots / diagramme de Tukey

Question 12

Différence histogramme et diagramme

Answer 12

Histogramme: les barres sont continues
Diagramme en barres: il y a une séparation entre les barres
=> Comme l’histogramme est continu, il représente bien une variable QT continue

Question 13

2 grands types de paramètres pour résumer une variable aléatoire

Answer 13

• position: espérance, maximum, minimum, quantiles
• dispersion: variance, étendue, intervalle interquartile

Question 14

Espérance

Answer 14

= la moyenne

Ε(Χ)=ΣΡ(Χ₁) × Χi

C’est un paramètre de position

Question 15

Variance

Answer 15

“Moyenne des carrés des écarts à la moyenne”

=> Paramètres de dispersion

Var = E (X²) - [E(X)]²

Question 16

Écart type

Answer 16

( ou deviation standard)

=> Paramètre de dispersion

SD= σ= √Var

Question 17

Loi de Bernoulli ( def + espérance, variance et écart type )

Answer 17

Une variable aléatoire de Bernoulli permet de décrire les comportements d’une variable binaire, qui ne prend que 2 valeurs par exemple: le succès (1) et l’échec (0). Elle est définie par p la probabilité d’obtenir un succès. q=1-p. q et p sont donc complémentaires

• E(X) = p

• Var = pq= p(1-p)

• SD = √pq

Question 18

Loi binomiale ( def + espérance, variance et écart type)

Answer 18

Une loi binomiale est la répétition de n épreuves de Bernoulli de manière identique et indépendante.

Il y a deux paramètre p la probabilité du succès et n le nombre de répétitions de l’épreuve. La variable k représente le nombre de succès

• E(X) = np

• Var = npq

• SD = √npq

Calcul de la probabilité d’obtenir k succès:

P(X = k) =combinaison de k parmi n x p^k x q**(n-k)

C ( k/n) = n! / ( n - k)! k!

k!=1x2x3x4x5x……xk

Question 19

Triangle de pascal

Answer 19

Lorsque p=0,5

Question 20

Loi de poisson

Answer 20

=> Concerne les variables discrètes avec des événements rares.
- Utile lorsqu’une population est très importante et que la probabilité de réalisation d’un événement est infime.

( La loi binomiale reste juste mais difficile d’utilisation.)

En revanche, cette loi ne donne qu’une approximation de la probabilité.

• Il n’y a qu’un seul paramètre lambda = E = Var
• Par conséquent SD = √lambda

P(X=k) = (e ^ (- lambda) * lambda ^ k) /(k!)

Question 21

Cas discrets ( 2 types)

Answer 21

Loi binomiale
Loi poisson

Question 22

Cas continu

Answer 22

Loi Normale

Cette loi possède 2 paramètres µ la moyenne et sigma l’écart type.

Elle a une distribution en cloche, appelée courbe de Gausse

La courbe est donc centrée en µ et présente deux points d’inflexion µ-sigma et µ+sigma

Pour cette loi, la probabilité de se trouver dans un intervalle est égale à l’aire sous la courbe entre les deux bornes de l’intervalle. C’est pour cela qu’on utilise le terme densité de probabilité. La probabilité d’être égal à un nombre est de 0.
Donc P(A<X<B) = P(A≤x≤B)

Question 23

Calcul de l’aire sous la courbe

Answer 23

Méthode statistique
=> Pour toute variable de paramètres ( µ; σ) :
1) on centre m: soustrait µ
2) on réduit: diviser par σ

X-µ / σ = Z score = statistique = p-value

Ainsi on obtient une variable suivant une loi Normale centrée-reduite, de paramètres (0,1)

Question 24

Théorème central limite

Answer 24

” la somme de variables aléatoires indépendantes converge vers une loi Normale, quelles que soient les distributions de ces VA