Variabili aleatorie

Question 1

Cos’è una variabile aleatoria?

Answer 1

È una variabile che può assumere valori diversi in dipendenza da qualche fenomeno aleatorio.

Question 2

Qual è la differenza tra variabili deterministiche e aleatorie?

Answer 2

Nelle variabili deterministiche conosco tutto del fenomeno al contrario di quelle aleatorie. In quelle aleatorie dovrò gestire errore e incertezza.

Question 3

In quali due branche si possono distinguere le variabili aleatorie? Qual è la loro differenza?

Answer 3

In variabili aleatorie discrete e continue. Quelle discrete sono caratterizzate da valori specifici discreti mentre quelle continue da funzioni continue definite come densità.

Question 4

Cos’è la funzione di ripartizione? Come viene calcolata?

Answer 4

È la funzione che descrive la probabilità di un determinato evento. Per una v.a. continua viene calcolata integrando la funzione densità tra due estremi che dipendono dal tipo di probabilità che si vuole calcolare.
Per una v.a. discreta viene calcolata sommando le probabilità che avvengano i vari eventi costituenti la variabile aleatoria.

Question 5

Cosa implica la continuità della funzione di ripartizione in x0 e la non continuità?

Answer 5

Se continua in x0, è continua in x0+ e x0-.
Se non è continua in x0, sarà continua solo in x0+.

Question 6

Dato che P (X=x) = F(x) - F(x-).
Qual è il rapporto tra F(x) e F(x-)?

Answer 6

Se F è continua → F(x-) = F(x).
Se F è discreta → F(x-) ≠ F(x).

Question 7

Che cos’é lo spettro di una variabile aleatoria discreta?

Answer 7

È l’insieme di valori che la variabile aleatoria può assumere.

Question 8

Quali sono le condizioni necessarie e sufficienti per verificare l’esistenza di una variabile aleatoria? Dimostralo

Answer 8

Per una v.a. discreta:
- pk ≥ 0 ∀k
- ∑ pk = 1
Per una v.a. continua:
f(x) ≥ 0 ∀ x∈[a,b]
∫f(x) dx = 1
Per dimostrazione vedi slide 16 della lezione 9.

Question 9

Cos’é una variabile aleatoria discreta uniforme? Dimostra la sua validità e calcola la media.

Answer 9

La probabilità è uniformemente distribuita su S(x).
Per dimostrazione vedi slide 9
E[X] = (∑xi)/n

Question 10

Come calcolare la probabilità che avvengano k successi su n tentativi indipendenti?

Answer 10

Uso la variabile aleatoria binomiale.

Question 11

Definisci matematicamente la variabile aleatoria geometrica. In quale occasione viene utilizzata? Dimostra la sua validità e calcola la media.

Answer 11

P(X=k) = (1-p)^(k-1)*p se k ∈ N; P(X=k) = 0 se k ∉ N.
Viene utilizzata per calcolare la probabilità che avvenga il primo successo al k-esimo tentativo. Per dimostrazione vedi slide 9. Per dimostrazione della media vedi lezione 11.
E[X] = 1/p.

Question 12

Definisci matematicamente la variabile aleatoria binomiale. In quale occasione viene utilizzata? Dimostrane la validità e calcola la media.

Answer 12

È una successione di variabili aleatorie indipendenti. Viene usata per calcolare la probabilità che avvengano k successi su n tentativi. La formula è: P(X=k) = bin(n k) p^k (1-p)^(n-k) se k ∈ N; P(X=k) = 0 se k∉N.
Per dimostrazione vedere pagine 11 della slide 10.
E[X] = np.

Question 13

Cosa descrive la variabile aleatoria di Poisson? Enuncia la formula, dimostra la validità e calcola la media.

Answer 13

Descrive la probabilità che avvenga un evento in un determinato lasso di tempo.
Per formula e dimostrazione vedere pagina 15 e 16 della slide 10.
E[X] = λ.

Question 14

Da quali due valori sono caratterizzati le v.a. discrete?

Answer 14

Sono caratterizzate dagli elementi che può assumere la variabile aleatoria e dalla probabilità che venga essa assumi tale elemento.

Question 15

Che cos’è l’inferenza statistica?

Answer 15

È una branca della statistica che si basa su un campione rispetto un insieme più grande definito da una variabile aleatoria.

Question 16

Che cos’è la moda?

Answer 16

È il valore con maggiore frequenza/probabilità.

Question 17

Come si calcola la media di una v.a. discreta?

Answer 17

∑ xk*pk.

Question 18

Cos’è la varianza di una variabile aleatoria?

Answer 18

È il valore quadratico che indica quanto la variabile aleatoria si discosti dal suo valor medio.

Question 19

Definire e dimostrare il calcolo della varianza di una v.a.

Answer 19

Vedi alla slide 13 della lezione 13.

Question 20

Quando due variabili aleatorie si dicono indipendenti?

Answer 20

Date due v.a. X e Y.
X e Y sono indipendenti se e solo se ∄ g : Y = g(X).

Question 21

Cosa indica la covarianza? Definisci e dimostra la formula per calcolarla.

Answer 21

La covarianza di due variabili statistiche o variabili aleatorie è un valore numerico che fornisce una misura di quanto le due varino assieme.

Question 22

Quanto vale la covarianza di due variabili indipendenti?

Answer 22

La covarianza di due variabili indipendenti è uguale a 0. Se la covarianza di due variabili è uguale a 0 non implica che esse siano indipendenti.

Question 23

A cosa serve il metodo dei momenti?

Answer 23

È un metodo di stima che consente di individuare in maniera semplice (a volte poco precisa) il parametro che caratterizza il fenomeno oggetto di studio eguagliando il momento teorico e quello campionario.

Question 24

Dato un vettore X = (X1, X2, …, Xn) e le loro singolo densità, come calcolo la densità di X?

Answer 24

Moltiplicando le singole densità fra loro che siano v.a. discrete o continue.

Question 25

A cosa serve il metodo di massima verosomiglianza? Come si attua?

Answer 25

È un metodo di stima che consente di individuare il parametro che caratterizza l’oggetto di studio.
Viene calcolata la funzione di verosomiglianza moltiplicando la densità per ogni singolo campione xk, si ricava il valore massimo di ϑ della funzione uscente. Tale valore sarà il parametro di stima.

Question 26

Come viene verificata la correttezza e la consistenza della stima di una variabile aleatoria ϴ?

Answer 26

Correttezza: E[ϴ] = ϑ
Consistenza: lim per n→inf Var(ϴ) = 0

Question 27

Definisci una v.a. uniforme continua, dimostra la sua validità.

Answer 27

Per formula vedi formulario, per dimostrazione vedi lezione 12 slide 8.

Question 28

Definisci una v.a. esponenziale continua, dimostra la sua validità e calcola la media.

Answer 28

Per formula vedi formulario, per dimostrazione vedi lezione 12 slide 9.

Question 29

Definisci una v.a. gamma continua e dimostra la sua validità

Answer 29

Per formula e media vedi formulario.

Question 30

Definisci una v.a. gaussiana continua, dimostra la sua validità.

Answer 30

Vedi formula nel formulario
Per dimostrazione vedi immagine sul desktop.

Question 31

Definisci matematicamente il momento di una variabile aleatoria discreta e continua?

Answer 31

Vedi lezione 13 slide 12.

Question 32

Cosa rappresenta il momento di una v.a. continua per r=1?

Answer 32

Rappresenta la media di tale v.a.

Question 33

Calcolare la varianza in rapporto ai momenti di una v.a.

Answer 33

Vedi lezione 13 slide 13.

Question 34

Date due variabili aleatorie X e Y, come si calcola la funzione di ripartizione della variabile Z = X+Y? Dimostra.

Answer 34

Chiedi al prof.

Question 35

Date le seguenti tipologie di n variabili aleatorie indipendenti, come viene ricavata la loro funzione di ripartizione?
- Xk ∼ Ber(p).
- Xk ∼ Pois(λk).
- Xk ∼ Exp(λ).
- Xk ∼ N(μ,σ^2).

Answer 35

• ∑ Xk ∼ Bin (n,p).
• ∑ Xk ∼Pois (∑λk).
• ∑ Xk ∼ gamma (ν = n, λ).
• ∑ Xk ∼ N (∑μ,∑σ^2)

Question 36

Come si calcola E[g(X)]?
X è una v.a. continua.

Answer 36

E[g(X)] = ∫g(x) f(x) dx