Ustno spraševanje 3. letnik Flashcards
Defineraj polinom. Kej so stopnja, vodilni koeficient in prosti člen polinoma?
- polinom je realna funkcija realne sprejemljivke (p: IR -> IR), dana s predpisom: p(x) = anx^n + an-1x^n-1+…+ a1x +a0
- n je stopnja polinoma
- an je vodilni koeficient
- a0 prosti člen polinoma
Kako množimo polinome? Kakšna je stopnja produktov dveh polinomov?
- pri množenju polinoma p1(x) s polinom p2(x) upoštevamo razčlenitveni zakon in pravilo za množenje potenc z enakimi osnovami
- produkt polinomov je polinom. Stopnja produkta je enaka vsoti stopenj posameznih polinomov.
Povejte osnovni izrek o deljenju
- osnovni izrek o deljenju polinomov:
p(x) = k(x) * q(x) + r(x) - k(x) je količnik pri deljenju s polinom p
- stopnja polinoma r(x) je manjša od stopnje polinoma q(X) (st r(x) < st q(x))
Koliko realnih ničel ima lahko polinom stopnje n?
- polinom stopnje n ima lahko največ n realnih ničel.
Polinom p stopnje n naj ima n paroma različnih ničel. Kako lahko zapišemo predpis polinoma p, da bodo iz njega razvidne vse njegove ničle?
- p(x) = a(x - x1) … (x - xn), pri čemer so x1, x2, … xn ničle polinoma
Koliko realnih ničel ima lahko polinom tretje stopnje? Navedi vse možnosti.
- polinom tretje stopnje ima v množici koristnih števil C natanko tri ničle. Kompleksne ničle polinoma z realnimi koeficienti v konjugiranih parih, vsaj ena realna ničle. Možni rešitvi:
- tri realne ničle
- ena realna ničle in par konjugirano kompleksnih ničel.
Povejte primer polinoma četrte stopnje z realnimi koeficienti
- p(x) = x^4 - 5x^2 - 4
- p(x) = (x - 2) (x + 1) (x + i) (x - i)
Kako poiščemo ničle in pole racionalne funkcije?
- racionalna funkcija je kvocient dveh tujih si polinomov f(x) = p(x)/q(x)
- ničla racionalne funkcije je ničla polinoma v steči:
f(x) = 0 <=> p(x) = 0 - pol racionalne funkcije je ničla polinoma v imenovalcu, je torej rešitev enačbe q(x) = 0.
Naj bo 0 x ničla racionalne funkcije . f Razložite obnašanje funkcije f v dovolj majhni okolici ničle 0 . x Navedite vse možnosti.
- v okolici ničle x0 se racionalna funkcija obnaša podobno kot polinom v števcu
- x0 lihe stopnje, prehod skozi ničlo zamenja predznak. Graf funkcije v ničli seka abscisno os
- x0 sode stopnje, funkcije pri prehodu skozi ničlo ohrani predznak. Graf funkcije se v ničli dotakne abscisne osi.
Naj bo 0 x pol racionalne funkcije . f Razložite obnašanje funkcije f v dovolj majhni okolici pola 0 . x Navedite vse možnosti.
- v polu racionalna funkcija ni definirana
- x0 pol lihe stopnje, funkcija pri prehodu skozi pol spremeni predznak
- x0 pol sode stopnje, funkcija pri prehodu skozi pol ohrani predznak
Naj ima racionalna funkcija f vse ničle in pole na intervalu (a, b) Razložite obnašanje racionalne funkcije f izven intervala (a, b) Navedite vse možnosti.
- racionalna funkcija spremeni predznak le v ničlah ali polih funkcije
Kdaj ima graf racionalne funkcije vodoravno asimptoto? Kako izračunamo njeno enačbo?
- st p(x) < st q(x) je abscisna od vodoravna asimptota grafa racionalne funkcije
- če st p(x) = st q(x) ima graf racionalne funkcije vodoravno asimptoto y = c, c ni 0
Povejte primer racionalne funkcije, katere graf ima asimptoto z enačbo y = 2
- graf racionalne funkcije f(x) = 2x - 1/ x - 1 ima y = 2
Definirajte funkcijo sinus. Koliko je osnovna perioda funkcije sinus? Povejte vse ničle funkcije sinus.
- sinx je enak ordinati točke, v kateri premični krak kota seka enotsko krožnico s središčem v koordinatnem izhodišču
- osnovna perioda: 2π
- ničle: xk = kπ
V katerih točkah ima funkcija sinus maksimum in v katerih minimum?
- maksimalno: x = π/2 + 2kπ, k € Z, in ima vrednost 1
- minimalna: 3π/2 + 2kπ, ima vrednost -1
Definirajte funkcijo kosinus.
- cosx je enak abscisi točke, v kateri premični krak kota seka enotsko krožnico s središčem v koordinatnem izhodišču
Koliko je osnovna perioda funkcije kosinus? Povejte vse ničle funkcije kosinus.
- osnovna perioda: 2π
- ničle: x = π/2 + kπ
V katerih točkah ima funkcija kosinus maksimum in v katerih minimum?
- maksimum: x = 2kπ
- minimum: x = π + 2kπ
Definirajte funkcijo tangens.
- tanx je enak ordinati točke v kateri nosilka premičnega kraka kota seka tangento na enotsko krožnico v točki (1,0)
Povejte definicijsko območje funkcije tangens.
- Df = IR - {π/2 + kπ} - povsod definerana razen v polih
Koliko je osnovna perioda funkcije tangens? Povejte vse ničle funkcije tangens.
- osnovna perioda: π
- ničle: x = kπ
Za vsako izmed kotnih funkcij sinus, kosinus in tangens povejte, ali je soda oziroma liha.
- lihe: sinus, tangens, kotangens
- soda: cosinus
Utemeljite odgovore iz prvega vprašanja
- cos(-a) = cosa
- sin(-a) = -sina
- tan(-a) = -tana
- cot(-a) = -cota
Naj bo a ostri kot v danem pravokotnem trikotniku. Definirajte sinus, kosinus, tangens in kotangens kota a
- sina = a/c
- cosa = b/c
- tana = a/b
- cats = b/a
Naj bo a poljuben kot, 0 < a < π/2. Povejte osnovno zvezo med sina in cosa ter jo dokaži
- a^2 + b^2 = c^2
- (a/c)^2 + (b/c)^2 = 1
- sina^2 + cosa^2 = 1
Povejte adicijska izreka za funkciji sinus in kosinus.
- sin(x + y) = sinxcosy + cosxsiny
- cos(x + y) = cosxcosy - sinxsiny
- velja tudi:
- sin (x - y) = sinxcosy - cosxsiny
- cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny
Izrazite sin2x in cos2x s sinx in cos . x Eno od formul dokažite.
- sin2x = 2sinxcosx
- cos2x = cosxcosx - sinxsinx = cos^2x - sin^2x
Izračunajte vsa presečišča grafov funkcij sinus in kosinus.
- abscise presečišč poiščemo z enačbo: sinx = cosx/: cosx
- tanx = 1
- x = π/4 + kπ
- graf sekata v točkah:
- T1(π/4 + kπ, √2/2), k je sodo število
- T2(π/4 + kπ, -√2/2), k je liho število
Povejte geometrijsko definicijo krožnice.
- krožnica je množica točk T(X,y), ki so za r (polmer) oddaljene od izbrane točke S (središča).
Povejte in izpeljite enačbo krožnice s polmerom r in s središčem v koordinatnem izhodišču.
- d(T,S) = √(x-0)^2 + (y - 0)^2 = r
- r^2 = x^2 + y^2
Povejte enačbo krožnice s polmerom r in s središčem v točki S (p,q)
- (x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2
Povejte geometrijsko definicijo elipse.
- elipsa je množica točk T(x,y) v ravnini, za katere je vsota razdalj do dveh izbranih točk F1 in F2 (gorišč) konstantna.
- d(T,F1) = r1
- d(T,F2) = R2
- r1 +r2 = 2a
Povejte enačbo elipse s središčem v koordinatnem izhodišču in enačbo elipse s središčem v točki S (p, q) V obeh primerih naj bosta osi elipse vzporedni koordinatnima osema.
- središčna lega: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
- S(p,q): (x - p)^2/a^2 + (y - q)^2/b^2 = 1
Povejte geometrijsko definicijo hiperbole.
- hiperbula je množica točk T (x, y) v ravnini, ki imajo stalno absolutno razliko razdalji od dveh izbranih točk F1 in F2 (gorišč).
- |r2 - r1| = 2a
Povejte enačbo hiperbole s središčem v koordinatnem izhodišču, katere osi ležita na koordinatnih oseh. Kako izračunamo enačbi njenih asimptot?
- x^2/a^2 = -1, če sta temeni na osi y
- x^2/a^2 = 1, če sta temeni na osi x
- asimptoti: y = +- b/a * x
