Ustno spraševanje 3. letnik

Question 1

Defineraj polinom. Kej so stopnja, vodilni koeficient in prosti člen polinoma?

Answer 1

• polinom je realna funkcija realne sprejemljivke (p: IR -> IR), dana s predpisom: p(x) = anx^n + an-1x^n-1+…+ a1x +a0
• n je stopnja polinoma
• an je vodilni koeficient
• a0 prosti člen polinoma

Question 2

Kako množimo polinome? Kakšna je stopnja produktov dveh polinomov?

Answer 2

• pri množenju polinoma p1(x) s polinom p2(x) upoštevamo razčlenitveni zakon in pravilo za množenje potenc z enakimi osnovami
• produkt polinomov je polinom. Stopnja produkta je enaka vsoti stopenj posameznih polinomov.

Question 3

Povejte osnovni izrek o deljenju

Answer 3

• osnovni izrek o deljenju polinomov:
  p(x) = k(x) * q(x) + r(x)
• k(x) je količnik pri deljenju s polinom p
• stopnja polinoma r(x) je manjša od stopnje polinoma q(X) (st r(x) < st q(x))

Question 4

Koliko realnih ničel ima lahko polinom stopnje n?

Answer 4

• polinom stopnje n ima lahko največ n realnih ničel.

Question 5

Polinom p stopnje n naj ima n paroma različnih ničel. Kako lahko zapišemo predpis polinoma p, da bodo iz njega razvidne vse njegove ničle?

Answer 5

• p(x) = a(x - x1) … (x - xn), pri čemer so x1, x2, … xn ničle polinoma

Question 6

Koliko realnih ničel ima lahko polinom tretje stopnje? Navedi vse možnosti.

Answer 6

• polinom tretje stopnje ima v množici koristnih števil C natanko tri ničle. Kompleksne ničle polinoma z realnimi koeficienti v konjugiranih parih, vsaj ena realna ničle. Možni rešitvi:
• tri realne ničle
• ena realna ničle in par konjugirano kompleksnih ničel.

Question 7

Povejte primer polinoma četrte stopnje z realnimi koeficienti

Answer 7

• p(x) = x^4 - 5x^2 - 4
• p(x) = (x - 2) (x + 1) (x + i) (x - i)

Question 8

Kako poiščemo ničle in pole racionalne funkcije?

Answer 8

• racionalna funkcija je kvocient dveh tujih si polinomov f(x) = p(x)/q(x)
• ničla racionalne funkcije je ničla polinoma v steči:
  f(x) = 0 <=> p(x) = 0
• pol racionalne funkcije je ničla polinoma v imenovalcu, je torej rešitev enačbe q(x) = 0.

Question 9

Naj bo 0 x ničla racionalne funkcije . f Razložite obnašanje funkcije f v dovolj majhni okolici ničle 0 . x Navedite vse možnosti.

Answer 9

• v okolici ničle x0 se racionalna funkcija obnaša podobno kot polinom v števcu
• x0 lihe stopnje, prehod skozi ničlo zamenja predznak. Graf funkcije v ničli seka abscisno os
• x0 sode stopnje, funkcije pri prehodu skozi ničlo ohrani predznak. Graf funkcije se v ničli dotakne abscisne osi.

Question 10

Naj bo 0 x pol racionalne funkcije . f Razložite obnašanje funkcije f v dovolj majhni okolici pola 0 . x Navedite vse možnosti.

Answer 10

• v polu racionalna funkcija ni definirana
• x0 pol lihe stopnje, funkcija pri prehodu skozi pol spremeni predznak
• x0 pol sode stopnje, funkcija pri prehodu skozi pol ohrani predznak

Question 11

Naj ima racionalna funkcija f vse ničle in pole na intervalu (a, b) Razložite obnašanje racionalne funkcije f izven intervala (a, b) Navedite vse možnosti.

Answer 11

• racionalna funkcija spremeni predznak le v ničlah ali polih funkcije

Question 12

Kdaj ima graf racionalne funkcije vodoravno asimptoto? Kako izračunamo njeno enačbo?

Answer 12

• st p(x) < st q(x) je abscisna od vodoravna asimptota grafa racionalne funkcije
• če st p(x) = st q(x) ima graf racionalne funkcije vodoravno asimptoto y = c, c ni 0

Question 13

Povejte primer racionalne funkcije, katere graf ima asimptoto z enačbo y = 2

Answer 13

• graf racionalne funkcije f(x) = 2x - 1/ x - 1 ima y = 2

Question 14

Definirajte funkcijo sinus. Koliko je osnovna perioda funkcije sinus? Povejte vse ničle funkcije sinus.

Answer 14

• sinx je enak ordinati točke, v kateri premični krak kota seka enotsko krožnico s središčem v koordinatnem izhodišču
• osnovna perioda: 2π
• ničle: xk = kπ

Question 15

V katerih točkah ima funkcija sinus maksimum in v katerih minimum?

Answer 15

• maksimalno: x = π/2 + 2kπ, k € Z, in ima vrednost 1
• minimalna: 3π/2 + 2kπ, ima vrednost -1

Question 16

Definirajte funkcijo kosinus.

Answer 16

• cosx je enak abscisi točke, v kateri premični krak kota seka enotsko krožnico s središčem v koordinatnem izhodišču

Question 17

Koliko je osnovna perioda funkcije kosinus? Povejte vse ničle funkcije kosinus.

Answer 17

• osnovna perioda: 2π
• ničle: x = π/2 + kπ

Question 18

V katerih točkah ima funkcija kosinus maksimum in v katerih minimum?

Answer 18

• maksimum: x = 2kπ
• minimum: x = π + 2kπ

Question 19

Definirajte funkcijo tangens.

Answer 19

• tanx je enak ordinati točke v kateri nosilka premičnega kraka kota seka tangento na enotsko krožnico v točki (1,0)

Question 20

Povejte definicijsko območje funkcije tangens.

Answer 20

• Df = IR - {π/2 + kπ} - povsod definerana razen v polih

Question 21

Koliko je osnovna perioda funkcije tangens? Povejte vse ničle funkcije tangens.

Answer 21

• osnovna perioda: π
• ničle: x = kπ

Question 22

Za vsako izmed kotnih funkcij sinus, kosinus in tangens povejte, ali je soda oziroma liha.

Answer 22

• lihe: sinus, tangens, kotangens
• soda: cosinus

Question 23

Utemeljite odgovore iz prvega vprašanja

Answer 23

• cos(-a) = cosa
• sin(-a) = -sina
• tan(-a) = -tana
• cot(-a) = -cota

Question 24

Naj bo a ostri kot v danem pravokotnem trikotniku. Definirajte sinus, kosinus, tangens in kotangens kota a

Answer 24

• sina = a/c
• cosa = b/c
• tana = a/b
• cats = b/a

Question 25

Naj bo a poljuben kot, 0 < a < π/2. Povejte osnovno zvezo med sina in cosa ter jo dokaži

Answer 25

• a^2 + b^2 = c^2
• (a/c)^2 + (b/c)^2 = 1
• sina^2 + cosa^2 = 1

Question 26

Povejte adicijska izreka za funkciji sinus in kosinus.

Answer 26

• sin(x + y) = sinxcosy + cosxsiny
• cos(x + y) = cosxcosy - sinxsiny
• velja tudi:
• sin (x - y) = sinxcosy - cosxsiny
• cos (x - y) = cosxcosy + sinxsiny

Question 27

Izrazite sin2x in cos2x s sinx in cos . x Eno od formul dokažite.

Answer 27

• sin2x = 2sinxcosx
• cos2x = cosxcosx - sinxsinx = cos^2x - sin^2x

Question 28

Izračunajte vsa presečišča grafov funkcij sinus in kosinus.

Answer 28

• abscise presečišč poiščemo z enačbo: sinx = cosx/: cosx
• tanx = 1
• x = π/4 + kπ
• graf sekata v točkah:
• T1(π/4 + kπ, √2/2), k je sodo število
• T2(π/4 + kπ, -√2/2), k je liho število

Question 29

Povejte geometrijsko definicijo krožnice.

Answer 29

• krožnica je množica točk T(X,y), ki so za r (polmer) oddaljene od izbrane točke S (središča).

Question 30

Povejte in izpeljite enačbo krožnice s polmerom r in s središčem v koordinatnem izhodišču.

Answer 30

• d(T,S) = √(x-0)^2 + (y - 0)^2 = r
• r^2 = x^2 + y^2

Question 31

Povejte enačbo krožnice s polmerom r in s središčem v točki S (p,q)

Answer 31

• (x - p)^2 + (y - q)^2 = r^2

Question 32

Povejte geometrijsko definicijo elipse.

Answer 32

• elipsa je množica točk T(x,y) v ravnini, za katere je vsota razdalj do dveh izbranih točk F1 in F2 (gorišč) konstantna.
• d(T,F1) = r1
• d(T,F2) = R2
• r1 +r2 = 2a

Question 33

Povejte enačbo elipse s središčem v koordinatnem izhodišču in enačbo elipse s središčem v točki S (p, q) V obeh primerih naj bosta osi elipse vzporedni koordinatnima osema.

Answer 33

• središčna lega: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
• S(p,q): (x - p)^2/a^2 + (y - q)^2/b^2 = 1

Question 34

Povejte geometrijsko definicijo hiperbole.

Answer 34

• hiperbula je množica točk T (x, y) v ravnini, ki imajo stalno absolutno razliko razdalji od dveh izbranih točk F1 in F2 (gorišč).
• |r2 - r1| = 2a

Question 35

Povejte enačbo hiperbole s središčem v koordinatnem izhodišču, katere osi ležita na koordinatnih oseh. Kako izračunamo enačbi njenih asimptot?

Answer 35

• x^2/a^2 = -1, če sta temeni na osi y
• x^2/a^2 = 1, če sta temeni na osi x
• asimptoti: y = +- b/a * x