Ustni matematika

Question 1

Diskretna verjetnost

Answer 1

To je verjetnost, ki se uporablja za diskretne dogodke, kjer imamo določeno število možnih izidov. Primeri vključujejo met kovanca, kjer lahko rezultat izide kot glava ali cifra, ali met kocke, kjer imamo šest možnih izidov.

Question 2

Zvezna verjetnost

Answer 2

Uporablja se za dogodke, kjer so možni izidi v zveznem obsegu, kot je na primer časovni interval ali razpon vrednosti. Primeri vključujejo verjetnost, da bo določeno območje prejelo določeno količino padavin ali verjetnost, da bo naključno izbrana točka padla znotraj določenega območja na grafu.

Question 3

Centralni limitni izrek (CLI)

Answer 3

Definicija: Centralni limitni izrek pravi, da je vsota velikega števila neodvisnih in enako porazdeljenih naključnih spremenljivk približno normalno porazdeljena, ne glede na porazdelitev iz katere izhajajo te spremenljivke.
Opis in primer: Denimo, da imamo veliko skupino ljudi, ki vrže kovanec. CLI pravi, da bo povprečje rezultatov teh metov približno normalno porazdeljeno, ne glede na to, ali je porazdelitev posameznih metov enakomerna ali ne.

Question 4

Pogojna verjetnost

Answer 4

To je verjetnost, da se zgodi nek dogodek, ob predpostavki, da se je že zgodil drugi dogodek.

Formula: Pogojna verjetnost dogodka A pri dogodku B je P(A|B) = P(A in B) / P(B).

Question 5

Bayesova formula

Answer 5

Uporablja se za izračun pogojne verjetnosti enega dogodka glede na drugega, obratno od običajnega.

Formula: P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B).

Question 6

Določeni integral

Answer 6

To je proces izračunavanja ploščine pod krivuljo na določenem območju grafa funkcije. Območje je omejeno z zgornjo in spodnjo mejo.

Question 7

Definicija številske vrste

Answer 7

To je vsota neskončne zaporednice števil.

Question 8

Matrike

Answer 8

Operacije: Vključujejo seštevanje, odštevanje, množenje matrik.
Lastnosti: Transponiranje, inverzna matrika, sled.
Inverzna matrika: Matrika, ki, če jo pomnožimo z izvirno matriko, da identitetno matriko.
Nesingularnost: Matrika je nesingularna, če ima inverz.

Question 9

Formula za varianco in kovarianco

Answer 9

Varianca: Mera razpršenosti podatkov okoli povprečne vrednosti.
Kovarianca: Mera, kako se dve spremenljivki spreminjata skupaj.

Question 10

Formula za odvod

Answer 10

Izračunava spremembo funkcije v odvisnosti od spremembe neodvisne spremenljivke.

Leibnizev zapis: dy/dx,
Lagrangev zapis: f(x)-> f’(x)

Question 11

Riemannova vsota

Answer 11

To je približna metoda za izračun določenega integrala z razdelitvijo območja na manjše dele in izračunom ploščine vsakega dela. Ko delci postanejo neskončno majhni, se Riemannova vsota približuje vrednosti določenega integrala.

Question 12

Kaj je stevilska vrsta, izpelji forumlo za vsoto geometrijske vrste

Answer 12

Številska vrsta je vsota neskončnega zaporedja števil. Formula za vsoto geometrijske vrste je izražena kot:

​

Question 13

Osnovni izrek analize, kaj je določen integral, kaj je definicijsko območje določenega integrala in nariši skico dol. integrala

Answer 13

Osnovni izrek analize pravi, da je določen integral funkcije njen akumulativni vsota in razlaga, kako se integral povezuje z odvodi. Določen integral je limita vsote infinitesimalnih delov funkcije, ko se velikost teh delov približuje nič. Definicijsko območje določenega integrala je območje pod krivuljo funkcije na intervalu, ki ga integriramo. Skica določenega integrala je ploščina, ki jo funkcija zavzema pod krivuljo na določenem območju.

Question 14

Operacije, ki jih lahko izvajamo na kvadratnih matrikah (Mn), kaj je inverzna matrika

Answer 14

Operacije na kvadratnih matrikah (Mn) vključujejo seštevanje, odštevanje, množenje, transponiranje, inverzno množenje. Inverzna matrika

Question 15

Definicija verjetnosti

Answer 15

Definicija verjetnosti je verjetnost, da se določen dogodek zgodi, in se običajno meri kot razmerje med številom ugodnih dogodkov in skupnim številom možnih dogodkov. Bayesova formula se uporablja za izračun pogojne verjetnosti enega dogodka glede na drugega.

Question 16

Kaj je diskretna, kaj je zvezna spremenljivka, navedi definicijo slučajenga vektorja diskretne in zvezne porazdelitve, navedi par primerov gostot slucajnih vektorjev in spremenljivk

Answer 16

Diskretna spremenljivka lahko zavzame le določene diskretne vrednosti, medtem ko zvezna spremenljivka lahko zavzame katero koli vrednost znotraj določenega območja. Slučajni vektor diskretne porazdelitve je nabor diskretnih slučajnih spremenljivk, medtem ko je slučajni vektor zvezne porazdelitve nabor zveznih slučajnih spremenljivk. Na primer, diskretni slučajni vektor lahko predstavlja število vrstic v metu kocke, medtem ko zvezni slučajni vektor lahko predstavlja temperaturo na določenem območju. Primeri gostot slučajnih vektorjev so Bernoullijeva porazdelitev za diskretno in normalna porazdelitev za zvezno spremenljivko.

Question 17

Centralni limitni izrek definicija, opisi in podaj primer

Answer 17

Centralni limitni izrek (CLI) pravi, da je vsota velikega števila neodvisnih in enako porazdeljenih naključnih spremenljivk približno normalno porazdeljena, ne glede na porazdelitev iz katere izhajajo te spremenljivke. Na primer, če imamo veliko skupino ljudi, ki vrže kovanec, bo povprečje rezultatov teh metov približno normalno porazdeljeno, ne glede na to, ali je porazdelitev posameznih metov enakomerna ali ne.

Question 18

Diskretna slučajna spremenljivka

Answer 18

Definicija: Diskretna slučajna spremenljivka je taka spremenljivka, ki lahko zavzame le končno ali neskončno število diskretnih vrednosti.
Primer: Met kocke, kjer lahko rezultat zavzame vrednosti {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Primer gostote verjetnosti: Bernoullijeva porazdelitev
P(X=x)=p
x
⋅(1−p)
1−x

kjer je p verjetnost uspeha in x je vrednost, ki jo lahko zavzame slučajna spremenljivka X.

Question 19

Zvezna slučajna spremenljivka

Answer 19

Definicija: Zvezna slučajna spremenljivka je taka spremenljivka, ki lahko zavzame neskončno število vrednosti znotraj določenega območja.
Primer: Temperatura v določenem mestu, kjer lahko vrednost zavzame vsako možno vrednost na območju realnih števil.
Primer gostote verjetnosti: Normalna porazdelitev (Gaussova porazdelitev kjer je μ srednja vrednost (pričakovana vrednost) in
σ standardni odklon.

Question 20

Diskretni slučajni vektor

Answer 20

Definicija: Diskretni slučajni vektor je nabor diskretnih slučajnih spremenljivk.
Primer: Met dveh kock, kjer lahko prva kocka zavzame vrednosti {1, 2, 3, 4, 5, 6} in druga kocka prav tako zavzame iste vrednosti.
Primer gostote verjetnosti: Binomska porazdelitev za vsako komponento vektorja.

Question 21

Zvezni slučajni vektor

Answer 21

Definicija: Zvezni slučajni vektor je nabor zveznih slučajnih spremenljivk.
Primer: Lokacija točke na zemljevidu, kjer lahko prva spremenljivka predstavlja širino in druga spremenljivka predstavlja dolžino.
Primer gostote verjetnosti: Multivariatna normalna porazdelitev
kjer je μ vektor srednjih vrednosti in (sum) kovariančna matrika.

Question 22

Kaj je zaporedje?

Answer 22

Zaporedje realnih št. je predpis, ki vsakemu naravnemu št. priredi realno št.
- aritmetično zaporedje
-geometrično zaporedje

Question 23

Kaj so številske vrste?

Answer 23

Naj bo {a_n} zaporedje realnih št. Izraz imenujemo št. vrsta, a_1+a_2+a_3+…=Sum (od ena do neskončno) a_n
-geometrična
-aritmetična
Vrsta je konvergentna: če konvergira zaporedje njenih delnih vsot.

Limito zaporednih delnih vsot imenujemo vsota vrste

Question 24

Geometrična vrsta formula

Answer 24

a*( (1-q^n+1)/(1-q)), če q ni enako 1;

a/1-q, če je |q|< 1

|q|>= 1, je geometrijska vrsta divergetna

Question 25

Potreben a ne zadosten pogoj za konvergenco vrste a_n?

Answer 25

lim(n->neskončno) a_n=0

Question 26

Harmonična vrsta

Answer 26

Je divergentna
sum (od n=1 do nekonč) 1/n= 1+ 0,5 + 0,33+ 0,25….
-limita splošnih členov enaka 0
-lim(n proti nesk)a_n=0 ni zadosten pogoj za konvergenco vrste

Question 27

Pogoj za konvergenco vrste

Answer 27

Cauchyev pogoj.
Za vsak e>0 mora obstajati naravno št n_0

Question 28

Kriterij za konvergenco vrste

Answer 28

Vsoto težko zračunat.
-ali je vsota konvergentna ali ne
◮ Ce je q < 1, potem je vrsta konvergentna.
◮ Ce je q > 1, potem je vrsta divergentna.
◮ Ce je q = 1, potem kriterij odpove.

Question 29

Absolutno konvergentna

Answer 29

Definicija
Vrsta SUM∞n=1 an je absolutno konvergentna, ce je konvergentna vrsta
SUM∞
n=1
|a_n|.

Question 30

Vsaka absolutno konvergentna vrsta je konvergentna vrsta.

Answer 30

Vsaka absolutno konvergentna vrsta je konvergentna vrsta.

Question 31

Kdaj je vrsta alternirajoča?

Answer 31

Definicija
Vrsta SUM∞
n=1 an je alternirajoˇca, ˇce je a_n a_n+1 < 0 za vsak n ∈ N.

Question 32

Določeni integral

Answer 32

Določeni integral funkcije na intervalu [a, b] je limita Riemannovih vsot, ko se širina podintervalov približuje nič. To je osnovna ideja za izračun ploščine pod krivuljo.

Question 33

Kdaj številska vsota konvergira

Answer 33

Vrsta konvergira, če obstaja limita delnih vsot.

Question 34

Operacije z matrikami

Answer 34

Operacije z matrikami vključujejo seštevanje, množenje, transponiranje in iskanje inverza.

Question 35

Varianca

Answer 35

Var(X)=E[(X−E[X])^2]

Question 36

kovarianca

Answer 36

Kovarianca meri, kako dve spremenljivki variirata skupaj, in je definirana kot:
Cov(X,Y)=E[(X−E[X])(Y−E[Y])]

Question 37

Formula za odvod

Answer 37

Formula za odvod funkcije nam pove, kako se vrednost funkcije spreminja glede na spremembo v njeni neodvisni spremenljivki.

Question 38

Računanje z matrikami

Answer 38

Seštevanje matrik:
-samo matrike enakih dimenzij (seštejemo istoležne elemente)
Množenje matrik s skalarjem:
-pomnožimo vsak element

matriki A in B velja:
A+B=B+A
c(A+B)= cA + cB
(c+d)A=cA + dA

Question 39

Transponiranje matrik

Answer 39

Zamenjamo vlogo stolpcev in vrstic

Question 40

Množenje matrik

Answer 40

Matriki lahko zmnožimo če je št stolpcev prve matrike enako št vrstic druge matrike.

Lastnosti:
A(BC)= (AB)C
(AB)C= AC + BC
(AB)^t= B^t * A^t
AB ni enako B*A

Question 41

Rang matrike

Answer 41

Red največje kvadratne matrike v pravokotni matriki A, ki ima determinantno različno od 0.

Question 42

Kdaj obstaja inverzna matrika?

Answer 42

Inverzna matrika matrike A obstaja natanko tedaj, ko je determinanta matrike A različna od 0.

Question 43

Posebne vrste matrik

Answer 43

-Simetrične in poševno simetrične A^t=A

-Hermitske in poševno hermitske ma
Hermitska matrika ima na diagonali sama realna št.
Poševno hermitska pa sama čista imaginarna št

-kvadratne
-komplelsne

Question 44

Hessejeva matrika

Answer 44

Hessejeva matrika je matrika drugih parcialnih odvodov

Question 45

Determinanta

Answer 45

Determinanta je matematična funkcija, ki se uporablja za kvadratne matrike. Dodeli lahko eno število vsaki kvadratni matriki, ki ima številne pomembne lastnosti in interpretacije v linearni algebri. Determinanta kvadratne matrike A, označena kot det(A) ali ∣A∣, nam pove veliko o matriki. Na primer, determinanta nam lahko pove, ali je matrika obrnljiva (ne-singularna), in če je, kakšen je volumen spremembe, ki jo matrika povzroči v prostoru.

Question 46

Poddeterminanta

Answer 46

Poddeterminante so sestavni del izračuna determinante matrike, še posebej po metodi razvoja po vrsticah ali stolpcih, znani kot Laplaceov razvoj. Poddeterminanta elementa
a_ij
matrike A je determinanta matrike, ki ostane, ko odstranimo i-to vrstico in j-ti stolpec iz matrike
A. Poddeterminante so pomembne pri izračunu kofaktorjev, ki so povezani s poddeterminantami in se uporabljajo pri izračunu determinante večjih matrik.

Question 47

Lastnosti determinante

Answer 47

1.Linearnost v vrsticah in stolpcih: Determinanta je linearna funkcija vsake vrstice ali stolpca matrike, kar pomeni, da če pomnožimo vrstico ali stolpec matrike s skalarjem, se determinanta pomnoži s tem skalarjem. Prav tako, če imamo dve enaki vrstici ali stolpca, je determinanta enaka nič.

2.Zamenjava vrstic ali stolpcev: Če zamenjamo dve vrstici ali dva stolpca matrike, se predznak determinante spremeni.

3.Dodajanje večkratnika vrstice ali stolpca: Determinanta se ne spremeni, če k vrstici ali stolpcu dodamo večkratnik druge vrstice ali stolpca.

4.Enotska matrika: Determinanta enotske matrike (matrika z enicami na diagonali in ničlami drugje) je enaka 1.

5.Množenje matrik: Determinanta produkta dveh kvadratnih matrik je enaka produktu determinante vsake matrike:

det(AB)=det(A)det(B).

6.Transponirana matrika: Determinanta transponirane matrike je enaka determinanti originalne matrike:
det

7.Obrnljiva matrika: Matrika je obrnljiva (ne-singularna) natanko tedaj, ko je njena determinanta različna od nič.

8.Determinanta blokovne matrike: Če je matrika sestavljena iz blokov in so bloki izven glavne diagonale ničelni, je determinanta matrike enaka produktu determinante blokov na diagonali.

9.Dodatna lastnost: Če v matriki odštejemo večkratnik ene vrstice od druge, se determinanta matrike ne spremeni.

Question 48

Cramerjevo pravilo

Answer 48

Cramerjevo pravilo je metoda za reševanje sistema linearnih enačb, kjer je število enačb enako številu neznank, in sicer s pomočjo determinante. Ta metoda se uporablja, ko je sistem enačb predstavljen v matrični obliki

Question 49

Kaj so vektorji?

Answer 49

Vektorji so matematični objekti, ki imajo tako velikost (dolžino) kot smer. V osnovni matematiki in fiziki se vektorji pogosto uporabljajo za predstavitev količin, ki imajo smer, kot so hitrost, pospešek, sila in premik. Vektorji se lahko predstavijo v različnih oblikah, vključno z grafičnim prikazom kot puščica, kjer dolžina puščice predstavlja velikost vektorja, smer puščice pa smer vektorja.

V matematični notaciji se vektor običajno zapiše kot urejen niz števil, ki predstavljajo komponente vektorja v določeni bazi.

Question 50

Vektorji, lastnosti in operacije:

Answer 50

Seštevanje vektorjev: Dva vektorja se seštejeta tako, da seštejemo njihove ustrezne komponente.

Množenje vektorja s skalarjem: Vektor pomnožimo s skalarjem tako, da vsako komponento vektorja pomnožimo s tem skalarjem.

Skalarni produkt (pika produkt): Skalarni produkt dveh vektorjev je skalar, ki se izračuna kot vsota produktov ustrezajočih komponent vektorjev.

Vektorski produkt (križni produkt): Vektorski produkt dveh tridimenzionalnih vektorjev je vektor, ki je pravokoten na oba vektorja in ima velikost, ki je enaka ploščini paralelograma, ki ga vektorja razpenjata.