Topologie

Question 0

Ordre sur les topologies

Answer 0

t1 est dite plus grossière que t2 ou t2 est plus fine que t1 si
t1 inclue dans t2

Question 1

Espace topologique (E,t)
Ouvert
Fermé

Answer 1

E ensemble non vide et t une famille de parties de E tel que :
• t stable par union quelconque.
• t stable par intersection fini.
• ø et E sont dans t
Les éléments de t sont appelés ouverts ( w est un ouvert ssi il est voisinage de tous des pts)
Les complémentaires dans E des éléments de t sont appelés fermés

Question 2

Voisinage d’un point

Answer 2

Soit x dans E.

Alors V est un voisinage de x si il existe un ouvert inclu dans V et contenant x

Question 3

Espace topo séparé

Answer 3

(E,t) est dit séparé si pour tout x,y distinct de E, il existe un voisinage X de x et Y de y tq (X inter Y) =ø
Dans un tel espace, les singletons sont fermés.

Question 4

Base d’ouvert

Base de voisinage d’un élément

Answer 4

B famille d’ouvert est une base d’ouverts si tout ouvert non vide est l’union d’élément de B.

x élément de E.
Bx une famille de voisinage de x est une base de voisinage de x si, pour tout voisinage V de x, il existe W de Bx tq x est dans W inclu dans V

Question 5

Lien base d’ouvert et base de voisinage

Answer 5

B famille d’ouvert
Bx l’ensemble des éléments de B contenant x, alors
(B base d’ouverts)(pour tout x Bx base de voisinage de x)

Question 6

Soit t1 et t2 deux topos sur E
Bi=base d’ouverts de ti (i=1,2)
Bix= l’ensemble des éléments de Bi contenant x
Alors ?

Answer 6

t1 inclue dans t2

Pour tout x de E pour tout b1 dans B1 il existe b2 dans B2 tq x dans b2 inclue dans b1.

Question 7

Distance

Espace métrique

Answer 7

Une distance d est tq
d(x,y)=d(y,x) (sym)
d(x,y)=0 ssi x=y
d(x,z)=d(x,y)+d(y,z)
d(x,y) positif

Question 8

Topologie associé a une distance

Answer 8

Soir d une distance sur E.
La topologie td associé a d est tq
W est ouvert ssi pour tout x de W, il existe r>0 tq B(x,r) inclue dans W
(E,td) est alors séparé.

Question 9

Base d’ouvert et de voisinage de (E,td)

Answer 9

Les boules ouvertes forment une base d’ouverts.
{B(x,r),r>0} est une base de voisinage de x
{B(x,1/n),n>0} est une base de voisinage dénombrable de x

Question 10

Espace topologique métrisable

Answer 10

(E,t) est dit métrisable s'il existe une distance d sur E telle que t=td
Pour que (E,t) soit métrisable, il faut déjà qu'il soit séparé et que tout pt admette une base dénombrable de voisinage.

Question 11

Comparaison de métrique

Answer 11

(Il existe C>0 tq d1>=C.d2)
=>
(td1 contient td2)

d1 et d2 sont fortement eq si il existe C1,C2>0 tq
C1.d1>=d2>=C2.d1
On a alors td1=td2
Si on a seulement td1=td2, d1 et d2 sont seulement topologiquement eq

Question 12

Norme

Answer 12

||.|| est tq

||x||=0 ssi x=0
||k.x||=|k|.||x||
||x+y||=0
En posant d(x,y)=||x-y|| on def une distance et donc une topo.

Question 13

Équivalence de norme

Answer 13

Soit n1 et n2 deux normes de topo asso t1 et t2, alors
(t1>=t2)
(il existe C>0 tq n1>=C.n2)
Une distance issu d’une norme est fortement eq ssi elle est topo eq

Question 14

Topologie induite

SET

Answer 14

Soit A une partie de E.

On def les ouverts de A comme l’intersection des ouverts de E avec A.

Question 15

Topologie engendré par une famille de parties

Answer 15

Soit A une famille de parties de E.
On appelle topo engendré par A la plus petite topo contenant A
( l’intersection de toutes les topos contenant A).
De +, les intersections finies de A forment une base d’ouvert de tA.
Donc si A est stable par intersection fini, c’est une base d’ouvert.

Question 16

Topologie produit fini

Answer 16

(Ek,tk) des espaces topos.
On appelle topo produit sur
E1x…xEn la topo engendré par
Les hypercubes ouverts w1x…wn.
Cette famille est stable par intersection finie donc c’est une base d’ouvert de la topo tp.
Si les Ek sont métrisable (grasse à dk) alors la topo prod aussi :
Dp(x,y)=(d1(x1,y1)^p+…+dn(xn,yn)^p)^(1/p)
Dinf(x,y)=Max( dk(xk,yk)

Question 17

Topologie produit infini

Answer 17

(Ei,ti) des espaces topos
les hypercubes sont
Prod(i dans I\J)(Ei).Prod(i dans J)(wi)
Avec wi dans ti. stable par intersection finie donc tout ouvert de tp est union d’hypercubes.
Si les ti sont séparé, tp aussi.
Si I est non dénombrable, est que card(Ei)>1 alors tp non métrisable.
Si I est dénombrable alors tp métrisable et dp1(x,y)=
sum(‘=0..inf)(2^(-n)min(1,dn(xn,yn))
dp2(x,y)=sum(n=0..inf)
(2^(-n)dn(xn,yn)/(1+dn(xn,yn))