Topologie Flashcards
Ordre sur les topologies
t1 est dite plus grossière que t2 ou t2 est plus fine que t1 si
t1 inclue dans t2
Espace topologique (E,t)
Ouvert
Fermé
E ensemble non vide et t une famille de parties de E tel que :
• t stable par union quelconque.
• t stable par intersection fini.
• ø et E sont dans t
Les éléments de t sont appelés ouverts ( w est un ouvert ssi il est voisinage de tous des pts)
Les complémentaires dans E des éléments de t sont appelés fermés
Voisinage d’un point
Soit x dans E.
Alors V est un voisinage de x si il existe un ouvert inclu dans V et contenant x
Espace topo séparé
(E,t) est dit séparé si pour tout x,y distinct de E, il existe un voisinage X de x et Y de y tq (X inter Y) =ø
Dans un tel espace, les singletons sont fermés.
Base d’ouvert
Base de voisinage d’un élément
B famille d’ouvert est une base d’ouverts si tout ouvert non vide est l’union d’élément de B.
x élément de E.
Bx une famille de voisinage de x est une base de voisinage de x si, pour tout voisinage V de x, il existe W de Bx tq x est dans W inclu dans V
Lien base d’ouvert et base de voisinage
B famille d’ouvert
Bx l’ensemble des éléments de B contenant x, alors
(B base d’ouverts)(pour tout x Bx base de voisinage de x)
Soit t1 et t2 deux topos sur E
Bi=base d’ouverts de ti (i=1,2)
Bix= l’ensemble des éléments de Bi contenant x
Alors ?
t1 inclue dans t2
Pour tout x de E pour tout b1 dans B1 il existe b2 dans B2 tq x dans b2 inclue dans b1.
Distance
Espace métrique
Une distance d est tq d(x,y)=d(y,x) (sym) d(x,y)=0 ssi x=y d(x,z)=d(x,y)+d(y,z) d(x,y) positif
Topologie associé a une distance
Soir d une distance sur E.
La topologie td associé a d est tq
W est ouvert ssi pour tout x de W, il existe r>0 tq B(x,r) inclue dans W
(E,td) est alors séparé.
Base d’ouvert et de voisinage de (E,td)
Les boules ouvertes forment une base d’ouverts.
{B(x,r),r>0} est une base de voisinage de x
{B(x,1/n),n>0} est une base de voisinage dénombrable de x
Espace topologique métrisable
(E,t) est dit métrisable s'il existe une distance d sur E telle que t=td Pour que (E,t) soit métrisable, il faut déjà qu'il soit séparé et que tout pt admette une base dénombrable de voisinage.
Comparaison de métrique
(Il existe C>0 tq d1>=C.d2)
=>
(td1 contient td2)
d1 et d2 sont fortement eq si il existe C1,C2>0 tq
C1.d1>=d2>=C2.d1
On a alors td1=td2
Si on a seulement td1=td2, d1 et d2 sont seulement topologiquement eq
Norme
||.|| est tq
||x||=0 ssi x=0
||k.x||=|k|.||x||
||x+y||=0
En posant d(x,y)=||x-y|| on def une distance et donc une topo.
Équivalence de norme
Soit n1 et n2 deux normes de topo asso t1 et t2, alors
(t1>=t2)
(il existe C>0 tq n1>=C.n2)
Une distance issu d’une norme est fortement eq ssi elle est topo eq
Topologie induite
SET
Soit A une partie de E.
On def les ouverts de A comme l’intersection des ouverts de E avec A.
Topologie engendré par une famille de parties
Soit A une famille de parties de E.
On appelle topo engendré par A la plus petite topo contenant A
( l’intersection de toutes les topos contenant A).
De +, les intersections finies de A forment une base d’ouvert de tA.
Donc si A est stable par intersection fini, c’est une base d’ouvert.
Topologie produit fini
(Ek,tk) des espaces topos.
On appelle topo produit sur
E1x…xEn la topo engendré par
Les hypercubes ouverts w1x…wn.
Cette famille est stable par intersection finie donc c’est une base d’ouvert de la topo tp.
Si les Ek sont métrisable (grasse à dk) alors la topo prod aussi :
Dp(x,y)=(d1(x1,y1)^p+…+dn(xn,yn)^p)^(1/p)
Dinf(x,y)=Max( dk(xk,yk)
Topologie produit infini
(Ei,ti) des espaces topos
les hypercubes sont
Prod(i dans I\J)(Ei).Prod(i dans J)(wi)
Avec wi dans ti. stable par intersection finie donc tout ouvert de tp est union d’hypercubes.
Si les ti sont séparé, tp aussi.
Si I est non dénombrable, est que card(Ei)>1 alors tp non métrisable.
Si I est dénombrable alors tp métrisable et dp1(x,y)=
sum(‘=0..inf)(2^(-n)min(1,dn(xn,yn))
dp2(x,y)=sum(n=0..inf)
(2^(-n)dn(xn,yn)/(1+dn(xn,yn))
