Continuité et suites

Question 0

Fonction continue sur E

Answer 0

f est continue sur E ssi l’image réciproque de tout ouvert par f est un ouvert ssi f est continue en tout point de E.

Question 1

Topologie quotient E/R

Answer 1

O est un ouvert de E/R ssi l’image réciproque de O par l’appli cano X de E dans E/R est ouverte.
F fermé de E/R ssi X(-1)(F) est fermé de E

Question 2

f est continue en x ssi

Answer 2

• Pour tout voisinage V de f(x), l’image réciproque de V par f est un voisinage de x.
• pour toute suite Xn convergente vers x, f(Xn) cv vers f(x)

Question 3

Homéomorphisme

Answer 3

f est un homéomorphisme ssi f est une bijection continue et que f^(-1) est continue.

Question 4

Une suite (Xn) de E cv vers a ssi

Answer 4

• Pour tout voisinage V de a, il existe un rang à partir duquel les Xn sont dans V.
• d(Xn,a) cv vers 0 dans R.

Question 5

Convergence dans E séparé

Answer 5

Si E est séparé, une suite a au plus une limite.

Question 6

Intérieur

Answer 6

a est intérieur à A s’il existe un ouvert w de A contenant a.
L’ensemble des points intérieurs à A est l’intérieur de A noté A°.

Question 7

Propriétés de l’intérieur

Answer 7

Å est le plus grand ouvert de A
Å est l’union des ouverts de A
Å=A ssi A est ouvert
(Å)°=Å

Question 8

Adhérence

Answer 8

On dit que x est adhérent à A si pour tout voisinage V de x, V et A ne sont pas disjoint.
L’ensemble des points adhérents à A est l’adhérence de A, noté Ā

Question 9

Propriétés de l’adhérence

Answer 9

• (Ā)c = (Ac)°
• (Å)c = (Ac)\
• Ā=Ā
• x est dans Ā ssi il existe une suite de A cv vers x
• A=Ā ssi A est fermé
• A fermé ssi toute limite de suites cv de A appartient à A

Question 10

Valeur d’adhérence d’une suite

Answer 10

a est une valeur d’adhérence de Xn ssi tout voisinage de a contient une infinité de Xn.
Ssi pour tout voisinage V de a, pour tout n, V inter An <>Ø
Ssi a est dans l’intersection des Ān
En posant An={Xi, i>n},
Donc l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite est fermé.

Question 11

Valeur d’adhérence dans un ESPACE MÉTRIQUE

Answer 11

a est une valeur d’adhérence de (Xn) ssi il existe une sous suite de (Xn) qui CV vers a.

Question 12

Suites de topo produit

(E1x…, tpi)=(prod(I)(Ei),tpi)

Answer 12

Soit (Xn) une suite de prod(I)(Ei)
Xn=(Xn0,Xn1,…)
X un élément de prod(I)(Ei)
X=(X0,X1,…)
(Xn) cv(tpi) vers X
 ssi Xni cv(ti) vers Xi

Question 13

Topo produit sur E^(I)

Answer 13

fn CVS vers f ssi
(fn(i))i cv(tpi) vers f(i)i ssi
Pour tout i fn(i) cv vers f(i)

Question 14

Continuité et topo prod

Answer 14

Soit f de (E,t) dans (prod(Ei),tpi),

f continue ssi les applications coordonnée le sont.

Question 15

Soit f et g de (E,t) -> (Ê,t’) séparé

Continues. Alors :

Answer 15

Gf={(x,f(x)) de ExÊ} est un fermée de ExÊ muni de la topo produit t.t’
{x de E, f(x)=g(x)} fermée