Topologie Flashcards
Définition : Voisinage de a de rayon δ ( V(a,δ) )
si V(a,δ) = {xeR : |x-a|
Définition : Voisinage troué de a de rayon δ (V’(a,δ))
C’est la même défnition que le voisinage, mais on ne prend pas le point a
Définition : Point intérieur (int).
Un point a est un point intérieur de E <=>
il existe un δ tel que V(a,δ) est inclus dans E.
Définition : E est ouvert <=>
E = int(E)
Théorème : Si A et B sont ouverts alors …
Union de A et B et l’intersection de A et B sont ouverts.
Définition : Un point a est un point d’accumulation si
pour tout δ>0, V’(a,δ) intersection E n’est pas vide
Théorème : a est un point d’accumulation <=>
pour tout les δ>0, V(a,δ) intersection E contient une infinité de point
Définition : Ensemble fermé
Si l’ensemble contient tout ses points d’accumulation
Théorème : Si un ensemble est non vide, borné et fermé alors
Le suprémum est contenu dans l’ensemble
Théorème : (complément) Si E est ouvert <=>
E complément est fermé
Définition : Point adhérent
si pour tout δ>0, V(a,δ) intersection E n’est pas vide
Théorème : L’adhérence est égale à
L’ensemble union les points d’accumulations
Théorème : le complément de l’adhérence est égale
à l’intérieur du complément
Corollaire : l’ensemble d’adhérence est toujours
fermé
Définition : La frontière est
l’ensemble adhérent moins l’intérieur de l’ensemble
Théorème : Bolzano-Weierstrass
Tout ensemble borné et infinie possède au moins un point d’accumulation (c’est le truc de séparer en en petit intervalle et un des deux est toujours infinie terme)
Définition : Recouvrement
Une famille d’intervalles ouverts est un recouvrement de E si et seulement si tous les x qui appartient à E appartient à un des intervalles de la famille.
Définition : Recouvrement finie
La famille est un recouvrement et la famille est fini
Théorème : De tout recouvrement d’un sous-ensemble borné et fermé par une famille d’intervalles ouverts. On peut
Extraire un recouvrement fini de E
Définition : Compact
Un ensemble est compact si de tout recouvrement de E par une famille d’intervalles ouverts on peut extraire un recouvrement fini de E
Théorème : Un ensemble compact <=>
Fermé et borné
