Topologie

Question 1

Définition : Voisinage de a de rayon δ ( V(a,δ) )

Answer 1

si V(a,δ) = {xeR : |x-a|

Question 2

Définition : Voisinage troué de a de rayon δ (V’(a,δ))

Answer 2

C’est la même défnition que le voisinage, mais on ne prend pas le point a

Question 3

Définition : Point intérieur (int).

Un point a est un point intérieur de E <=>

Answer 3

il existe un δ tel que V(a,δ) est inclus dans E.

Question 4

Définition : E est ouvert <=>

Answer 4

E = int(E)

Question 5

Théorème : Si A et B sont ouverts alors …

Answer 5

Union de A et B et l’intersection de A et B sont ouverts.

Question 6

Définition : Un point a est un point d’accumulation si

Answer 6

pour tout δ>0, V’(a,δ) intersection E n’est pas vide

Question 7

Théorème : a est un point d’accumulation <=>

Answer 7

pour tout les δ>0, V(a,δ) intersection E contient une infinité de point

Question 8

Définition : Ensemble fermé

Answer 8

Si l’ensemble contient tout ses points d’accumulation

Question 9

Théorème : Si un ensemble est non vide, borné et fermé alors

Answer 9

Le suprémum est contenu dans l’ensemble

Question 10

Théorème : (complément) Si E est ouvert <=>

Answer 10

E complément est fermé

Question 11

Définition : Point adhérent

Answer 11

si pour tout δ>0, V(a,δ) intersection E n’est pas vide

Question 12

Théorème : L’adhérence est égale à

Answer 12

L’ensemble union les points d’accumulations

Question 13

Théorème : le complément de l’adhérence est égale

Answer 13

à l’intérieur du complément

Question 14

Corollaire : l’ensemble d’adhérence est toujours

Answer 14

fermé

Question 15

Définition : La frontière est

Answer 15

l’ensemble adhérent moins l’intérieur de l’ensemble

Question 16

Théorème : Bolzano-Weierstrass

Answer 16

Tout ensemble borné et infinie possède au moins un point d’accumulation (c’est le truc de séparer en en petit intervalle et un des deux est toujours infinie terme)

Question 17

Définition : Recouvrement

Answer 17

Une famille d’intervalles ouverts est un recouvrement de E si et seulement si tous les x qui appartient à E appartient à un des intervalles de la famille.

Question 18

Définition : Recouvrement finie

Answer 18

La famille est un recouvrement et la famille est fini

Question 19

Théorème : De tout recouvrement d’un sous-ensemble borné et fermé par une famille d’intervalles ouverts. On peut

Answer 19

Extraire un recouvrement fini de E

Question 20

Définition : Compact

Answer 20

Un ensemble est compact si de tout recouvrement de E par une famille d’intervalles ouverts on peut extraire un recouvrement fini de E

Question 21

Théorème : Un ensemble compact <=>

Answer 21

Fermé et borné