Le système des nombres réels Flashcards
Nommez les propriétés simples des nombres réels (6 propriétés)
- Commutativité (x+y = y+x) et (xy = yx)
- Associativité ((x+y)+z = x+(y+z)) et ((xy)z = x(yz))
- Distributivité x(y+z) = xy +xz
- Éléments neutres (x + 0 = x) et (1x = x)
- Éléments inverses (x + (-x) = 0) et (xx^(-1) = 1)
- Relation d’ordre (si x,y>0 => x+y>0 et xy>0) et (tous les nombres ont soit x>y, x=y, x
Définition : Borné supérieurement (inférieurement)
il existe un M (m) tel que pour tous les x de l’ensemble x <= M (x>=m)
Définition : Suprémum (infinimum)
Si B est une borne supérieure et que B est la plus petite borne supérieure, alors B est le sup(E).
(Si b est une borne inférieure et que b est la plus grande borne supérieure, alors b est le inf(E))
UNICITÉ
Définition : Axiome de complétude
Tout ensemble non vide de R ayant une borne supérieure possède un suprémum
Théorème : pour tous les x rationnels, x^2=2 n’est pas rationnel.
En effet, si un nombre est rationnel, on peut l’écrire comme un fraction irréductible soit x = p/q qui ont comme plus petit commun diviseur 1.
Théorème : Si nous avons un x rationnel réduit à une racine de anx^n+an-1x^n-1+…+a1x+a0=0 alors,
p divise a0 et q divise an
Théorème : Soit deux développement décimaux distincts qui ne finit pas par une période de 9
Ils sont différents
Définition : un développement décimale n0,a1a2…anb1b2…bmb1b2…bm… est dit…
périodique
Théorème : x est un réel qui admet un développement décimal périodique <=>
<=> x est rationnel
Définition : la valeur absolue de x (|x|)
elle prend la valeur x si x>=0 et prend la valeur -x si x<0.
Théorème : pour tous les x réels nous avons (inéquation valeur absolue)
- |x| <= x <= |x|
Théorème : pour tous les x réels nous avons que |x|>0 et que si la |x| = 0 alors …
x = 0
Corollaire : Si b>0, alors |x| <= b <=>
-b <= x <= b
Théorème : |xy| =
|x||y|
Théorème : pour tous les x,y réels (inégalité du triangle) nous avons que
|x + y| <= |x| + |y|
Corollaire : Pour tous les x,y réels nous avons que (inégalité du triangle avec soustraction)
||x| - |y|| <= |x + y|
Théorème : Tous les ensembles d’entier positif possèdent ces deux conditions
1) 1 est élément de l’ensemble
2) si m est élément de l’ensemble alors m+1 est élément de l’ensemble
Théorème : Induction mathématique. Soit p(n) une proposition définie pour tous les naturels.
Si P(1) est vraie et si P(m+1) est vraie lorsque P(m) est vraie pour tous les m naturels, alors la proposition p(n) est vraie pour tous les naturels.
Théorème : (principe d’Archimède) pour touts les x,y réels et x>0 alors …
il existe un n naturel tel que nx > y
Théorème : la partie entière de x
il existe un n tel que n <= x < n + 1.
Théorème : Densité des nombres rationnels
pour tous les x,y réels ou x < y il existe un r rationnel tel que a < r < b.
Théorème : Densité des nombres irrationnels
Pour tous les x,y réels où x < y, il existe un c non rationnel tel que a < c < b
Corollaire : si a < b (densités des nombres) alors il y a deux conditions :
1) il existe une infinité de rationnels entre a et b
2) il existe une infinité d’irrationnels entre a et b
