Le système des nombres réels

Question 1

Nommez les propriétés simples des nombres réels (6 propriétés)

Answer 1

1. Commutativité (x+y = y+x) et (xy = yx)
2. Associativité ((x+y)+z = x+(y+z)) et ((xy)z = x(yz))
3. Distributivité x(y+z) = xy +xz
4. Éléments neutres (x + 0 = x) et (1x = x)
5. Éléments inverses (x + (-x) = 0) et (xx^(-1) = 1)
6. Relation d’ordre (si x,y>0 => x+y>0 et xy>0) et (tous les nombres ont soit x>y, x=y, x

Question 2

Définition : Borné supérieurement (inférieurement)

Answer 2

il existe un M (m) tel que pour tous les x de l’ensemble x <= M (x>=m)

Question 3

Définition : Suprémum (infinimum)

Answer 3

Si B est une borne supérieure et que B est la plus petite borne supérieure, alors B est le sup(E).
(Si b est une borne inférieure et que b est la plus grande borne supérieure, alors b est le inf(E))
UNICITÉ

Question 4

Définition : Axiome de complétude

Answer 4

Tout ensemble non vide de R ayant une borne supérieure possède un suprémum

Question 5

Théorème : pour tous les x rationnels, x^2=2 n’est pas rationnel.

Answer 5

En effet, si un nombre est rationnel, on peut l’écrire comme un fraction irréductible soit x = p/q qui ont comme plus petit commun diviseur 1.

Question 6

Théorème : Si nous avons un x rationnel réduit à une racine de anx^n+an-1x^n-1+…+a1x+a0=0 alors,

Answer 6

p divise a0 et q divise an

Question 7

Théorème : Soit deux développement décimaux distincts qui ne finit pas par une période de 9

Answer 7

Ils sont différents

Question 8

Définition : un développement décimale n0,a1a2…anb1b2…bmb1b2…bm… est dit…

Answer 8

périodique

Question 9

Théorème : x est un réel qui admet un développement décimal périodique <=>

Answer 9

<=> x est rationnel

Question 10

Définition : la valeur absolue de x (|x|)

Answer 10

elle prend la valeur x si x>=0 et prend la valeur -x si x<0.

Question 11

Théorème : pour tous les x réels nous avons (inéquation valeur absolue)

Answer 11

• |x| <= x <= |x|

Question 12

Théorème : pour tous les x réels nous avons que |x|>0 et que si la |x| = 0 alors …

Answer 12

x = 0

Question 13

Corollaire : Si b>0, alors |x| <= b <=>

Answer 13

-b <= x <= b

Question 14

Théorème : |xy| =

Answer 14

|x||y|

Question 15

Théorème : pour tous les x,y réels (inégalité du triangle) nous avons que

Answer 15

|x + y| <= |x| + |y|

Question 16

Corollaire : Pour tous les x,y réels nous avons que (inégalité du triangle avec soustraction)

Answer 16

||x| - |y|| <= |x + y|

Question 17

Théorème : Tous les ensembles d’entier positif possèdent ces deux conditions

Answer 17

1) 1 est élément de l’ensemble

2) si m est élément de l’ensemble alors m+1 est élément de l’ensemble

Question 18

Théorème : Induction mathématique. Soit p(n) une proposition définie pour tous les naturels.

Answer 18

Si P(1) est vraie et si P(m+1) est vraie lorsque P(m) est vraie pour tous les m naturels, alors la proposition p(n) est vraie pour tous les naturels.

Question 19

Théorème : (principe d’Archimède) pour touts les x,y réels et x>0 alors …

Answer 19

il existe un n naturel tel que nx > y

Question 20

Théorème : la partie entière de x

Answer 20

il existe un n tel que n <= x < n + 1.

Question 21

Théorème : Densité des nombres rationnels

Answer 21

pour tous les x,y réels ou x < y il existe un r rationnel tel que a < r < b.

Question 22

Théorème : Densité des nombres irrationnels

Answer 22

Pour tous les x,y réels où x < y, il existe un c non rationnel tel que a < c < b

Question 23

Corollaire : si a < b (densités des nombres) alors il y a deux conditions :

Answer 23

1) il existe une infinité de rationnels entre a et b

2) il existe une infinité d’irrationnels entre a et b