Théorèmes

Question 1

L’intersection d’une famille de sous-groupes d’un groupe G

Answer 1

L’intersection d’une famille de sous-groupes d’un groupe G est un sous-groupe. Cela permet de définir la notion de sous-groupe engendré par une partie.

Question 2

Th´eor`eme de caract´erisation des sous-groupes de Z.

Answer 2

Th´eoreme de caract´erisation des sous-groupes de Z. Les sous-groupes du groupe additif (Z,+) sont exactement les sous-groupes nZ pour n ∈ N. En particulier ils sont tous monogenes.

Question 3

L’image directe ou r´eciproque d’un sous-groupe par un morphisme de groupe

Answer 3

L’image directe ou r´eciproque d’un sous-groupe par un morphisme de groupe est un sousgroupe. En particulier si f : G → G0 est un morphisme de groupes entre deux groupes G et G0 alors son noyau Kerf = {x ∈ G, f(x) = e0} est un sous-groupe de G et f est injectif si et seulement si Kerf = {e}.

Question 4

Soit f : G → G0 un isomorphisme de groupes c’est-`a-dire un morphisme bijectif. Alors f−1

Answer 4

Soit f : G → G0 un isomorphisme de groupes c’est-`a-dire un morphisme bijectif. Alors f−1 est un morphisme de groupes de G0 dans G (donc un isomorphisme de G0 sur G).

Question 5

Th´eoreme de structure des groupes monogenes.

Answer 5

Th´eoreme de structure des groupes monogenes. Soit G un groupe (not´e multiplicativement) engendr´e par un ´el´ement a. L’application ψ : k ∈ Z → a^k est un morphisme surjectif de groupe de (Z,+) dans G. • Si Kerψ = {0} alors G est isomorphe a (Z,+) (et on dit que a est d’ordre infini). • Sinon il existe n ∈ N∗ tel que Kerf = nZ et G est isomorphe a (Z/nZ,+) (on dit que a est d’ordre n).

Question 6

Corollaire du Théorème de structure des groupes monogènes

Answer 6

Deux groupes cycliques de mˆeme cardinal sont isomorphes.

Question 7

Th´eor`eme de caract´erisation des g´en´erateurs de Z/nZ.

Answer 7

Th´eor`eme de caract´erisation des g´en´erateurs de Z/nZ. Soit n > 2. La classe d’un entier k dans Z/nZ est un g´en´erateur du groupe (Z/nZ,+) si et seulement si k et n sont premiers entre eux.

Question 8

Th´eor`eme de Lagrange.

Answer 8

Th´eor`eme de Lagrange. L’ordre d’un ´el´ement dans un groupe fini G divise le cardinal de G.

Question 9

Th´eor`eme de g´en´eration du groupe sym´etrique par les transpositions.

Answer 9

Th´eor`eme de g´en´eration du groupe sym´etrique par les transpositions. Toute permutation de Sn peut se d´ecomposer en un produit de transpositions.

Question 10

Th´eor`eme fondamental sur la signature.

Answer 10

Th´eor`eme fondamental sur la signature. La signature est un morphisme de groupes de (Sn,◦) dans ({±1},×).

Question 11

Le noyau d’un morphisme d’anneau est

Answer 11

Le noyau d’un morphisme d’anneau est un id´eal (et pas un sous-anneau). Le morphisme f est injectif si et seulement si Kerf = {0}.

Question 12

Th´eor`eme de structure des id´eaux de Z.

Answer 12

Th´eor`eme de structure des id´eaux de Z. Les id´eaux de l’anneau (Z,+,×) sont les nZ pour n ∈ N. On dit que Z est un anneau principal mais ce terme n’est pas au programme. Bien revoir la d´efinition d’un id´eal!

Question 13

Th´eor`eme de d´ecomposition en facteurs premiers.

Answer 13

Th´eoreme de d´ecomposition en facteurs premiers. Tout entier n > 2 se d´ecompose sous la forme n = pα1 1 ...pαk k ou les pi sont des nombres premiers distincts et les αi des entiers naturels non nuls. De plus cette d´ecomposition est unique a l’ordre des facteurs pres.

Question 14

Th´eor`eme de Bezout.

Answer 14

Th´eor`eme de Bezout. Soit a,b deux entiers de Z. Alors a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe (u,v) ∈ Z2 tel que ua + vb = 1.

Question 15

Th´eor`eme de Gauss.

Answer 15

Th´eor`eme de Gauss. Soit a,b,c trois ´el´ements de Z. Si a divise bc et si a est premier avec b alors a divise c.

Question 16

Th´eor`eme de caract´erisation des inversibles de l’anneau Z/nZ.

Answer 16

Th´eor`eme de caract´erisation des inversibles de l’anneau Z/nZ. Soit n > 2. La classe d’un entier k dans Z/nZ est inversible dans l’anneau Z/nZ si et seulement si k et n sont premiers entre eux.

Question 17

Corrolaire du th´eor`eme de caract´erisation des inversibles de l’anneau Z/nZ.

Answer 17

Corollaire. Soit p > 2. L’anneau Z/pZ est un corps si et seulement si p est un nombre premier.

Question 18

Th´eor`eme chinois.

Answer 18

Th´eoreme chinois. Si n et m sont deux entiers premiers entre eux les anneaux Z/nmZ et Z/nZ×Z/mZ sont isomorphes. On en d´eduit que l’indicatrice ϕ d’Euler est une fonction arithm´etique multiplicative (ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) pour n et m premiers entre eux) ce qui permet de calculer ϕ(n) a partir de la factorisation de n.

Question 19

Th´eor`eme d’Euler.

Answer 19

Th´eor`eme d’Euler. Soit n > 2 et a premier avec n. Alors aϕ(n) ≡ 1 [n]

Question 20

Corrolaire du théorème d’Euler

Answer 20

Corollaire. Pour p premier et a ∈ Z on a ap ≡ a [p]. C’est le petit th´eor`eme de Fermat.

Question 21

Th´eor`eme sur les propri´et´es du degr´e.

Answer 21

Th´eor`eme sur les propri´et´es du degr´e. Pour P,Q dans K[X] et λ dans K, on a • deg(PQ) = degP + degQ; si λ 6= 0, deg(λP) = degP ; • deg(P + Q) 6 max(degP,degQ) et il y a ´egalit´e lorsque degP 6= degQ.

Question 22

Th´eor`eme de division euclidienne.

Answer 22

Th´eor`eme de division euclidienne. Si A,B sont deux polynˆomes de K[X], B ´etant non nul, il existe un unique couple (Q,R) ∈ K[X]2 tel que A = BQ + R et degR < degB.

Question 23

Th´eor`eme de structure des id´eaux de K[X].

Answer 23

Th´eoreme de structure des id´eaux de K[X]. Les id´eaux de K[X] sont monogenes c’est-a-dire de la forme (P) = {PQ, Q ∈ K[X]} ou P ∈ K[X]. Ce r´esultat est par exemple utilis´e en r´eduction pour d´efinir le polynˆome minimal.

Question 24

Th´eor`eme de Bezout.

Answer 24

Th´eor`eme de Bezout. Pour P1,…,Pm dans K[X] on a ´equivalence entre : (i) P1,…,Pm sont premiers entre eux (ii) ∃(U1,…,Um) ∈ K[X]m, U1P1 +···+ UmPm = 1.

Question 25

Th´eor`eme de Gauss.

Answer 25

Th´eor`eme de Gauss. Soit A,B,C dans K[X]. Si A|BC et si A et B sont premiers entre eux alors A|C.

Question 26

Th´eor`eme de factorisation en irr´eductibles.

Answer 26

Th´eoreme de factorisation en irr´eductibles. Tout polynˆome non nul Q de K[X] s’´ecrit sous la forme Q = λ m Y i=1 Pni i ou λ ∈ K∗ est le coefficient dominant de Q et ou les Pi sont des irr´eductibles unitaires deux a deux distincts et les ni des entiers naturels non nuls. Cette factorisation est unique a l’ordre des facteurs pres.

Question 27

Corrolaire du Th´eor`eme de factorisation en irr´eductibles.

Answer 27

Corollaire. Un polynˆome de degr´e n ne peut pas avoir plus de n racines celles-ci ´etant compt´ees avec multiplicit´es. R´esultat tres utile pour montrer l’unicit´e a un probl`eme : si on sait que degP 6 n et si on montre que P s’annule en n + 1 points distincts, alors on peut affirmer que P est nul. Exemple : l’interpolation de Lagrange.

Question 28

Th´eor`eme de d’Alembert-Gauss.

Answer 28

Th´eor`eme de d’Alembert-Gauss. Le corps C est alg´ebriquement clos.

Question 29

Th´eor`eme de description des irr´eductibles de R[X].

Answer 29

Th´eor`eme de description des irr´eductibles de R[X]. Les polynoˆmes irr´eductibles de R[X] sont les polynˆomes de degr´e 1 et les trinˆomes de discriminant strictement n´egatif.

Question 30

Th´eor`eme sur les relations coefficients-racines.

Answer 30

Th´eor`eme sur les relations coefficients-racines. Soit P = a0 + a1X +···+ anXn ∈ K[X] un polynˆome scind´e de degr´e n > 1. On note x1,…,xn les racines de P compt´ees avec multiplicit´es. Les σk ´etant les fonctions sym´etriques ´el´ementaires des xi on a pour 1 6 k 6 n, σk = (−1)^k a(n−k)/an

Question 31

Th´eor`eme de Leibniz.

Answer 31

Th´eor`eme de Leibniz. Pour P,Q dans K[X] et n ∈ N on a (PQ)(n) = somme (k=0 à n) (k parmi n) P(k) Q(n-k)

Question 32

Th´eor`eme de Taylor.

Answer 32

Pour a ∈ K et P ∈ Kn[X] on a P(X) =

somme (k=0 à n) P(k)(a)/k!*(X −a)^k. Ce r´esultat explicite donc la base duale de la base ((X −a)k)0<=k<=n de Kn[X].

Question 33

Th´eor`eme de caract´erisation des racines multiples.

Answer 33

Th´eor`eme de caract´erisation des racines multiples. Soit P ∈ K[X] non nul et a ∈ K. Alors a est racine de P de multiplicit´e m si et seulement si P(a) = P’(a) = ··· = P(m−1)(a) = 0 et P(m)(a) =! 0.

Question 34

Th´eor`eme d’interpolation de Lagrange.

Answer 34

Th´eoreme d’interpolation de Lagrange. Soit n >= 1 et x1,..,xn des ´el´ements deux a deux distincts de K. Pour y1,…,yn dans K il existe un unique polynˆome P ∈ Kn−1[X] tel que P(xi) = yi pour tout i. Il faut savoir ´ecrire P dans la base des interpolateurs de Lagrange pour le syst`eme de points x1,…,xn.

Question 35

Th´eor`eme de d´ecomposition en ´el´ements simples sur C.

Answer 35

Th´eoreme de d´ecomposition en ´el´ements simples sur C. La famille (Xn)n>=0 ∪ (1/(X −a)^k)(a,k)∈C×N∗ est une base de C(X). D´ecomposer une fraction en ´el´ements simples consiste simplement a trouver sa d´ecomposition dans cette base. Sur le corps des r´eels on obtient une base de R(X) en ajoutant `a la famille pr´ec´edente les fractions 1 /(X^2 + a^X + b) et X/ (X^2 + aX + b) pour tous les polynˆomes irr´eductibles de degr´e 2 et unitaires X^2 + aX + b.

Question 36

Soit P = λ(X−x1)^n1…(X−xp)^np un polynˆome scind´e (les xi sont des scalaires deux a` deux distincts). Alors la fraction P’/P a pour d´ecomposition en ´el´ements simples

Answer 36

Soit P = λ(X−x1)^n1…(X−xp)^np un polynˆome scind´e (les xi sont des scalaires deux a` deux distincts). Alors la fraction P’/P a pour d´ecomposition en ´el´ements simples P’/P=somme (k=1 à p) nk /(X −xk)
.

Question 37

Lemme et corollaire : Soit E un K-espace vectoriel (de dimension quelconque), u,v deux endomorphismes de E. Si v commute avec u

Answer 37

Lemme. Soit E un K-espace vectoriel (de dimension quelconque), u,v deux endomorphismes de E. Si v commute avec u alors Keru et Imu sont stables par v. Il en r´esulte que pour tout polynˆome P les sous-espaces KerP(u) et ImP(u) sont stables par tout endomorphisme v qui commute avec u (car v commute alors avec P(u)). Si on prend P = X −λ avec λ scalaire, on en d´eduit le : Corollaire. Soit E un K-espace vectoriel (de dimension quelconque) et u ∈L(E). Les sous-espaces propres de u sont stables par tout endomorphisme v qui commute avec u.

Question 38

Th´eor`eme de caract´erisation matricielle d’un sous-espace stable.

Answer 38

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, F un sous-espace vectoriel de E et B une base de E adapt´ee a F, c’est-a-dire une base obtenue en compl´etant une base BF de F en une base de E. Soit u ∈L(E). Alors F est un sous-espace stable par u si et seulement si la matrice de u dans la base B est de la forme
A B
0 C.
Dans ce cas A n’est autre que la matrice dans BF de l’endomorphisme induit uF. On a alors detu = detAdetC et χuF divise χu. Rappelons que uF d´esigne l’endomorphisme de F induit par u et il n’existe que lorsque F est stable par u. On ne confondra pas cela avec la restriction de u a F (not´ee u|F) qui est toujours d´efinie mais qui est une application lin´eaire de F dans E. Souvent on cherche a d´ecomposer l’espace E en une somme directe E = somme directe( i=1 à p) Ei ou tous les Ei sont stables par u. Cela ´equivaut a ce que la matrice de u dans une base adapt´ee `a la d´ecomposition en somme directe est diagonale par blocs. Le polynˆome caract´eristique de u est alors le produit des polynˆomes caract´eristiques de chaque bloc diagonal.

Question 39

Th´eor`eme de caract´erisation d’une base de trigonalisation.

Answer 39

Th´eor`eme de caract´erisation d’une base de trigonalisation. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n > 1 et u ∈ L(E). Soit B = (e1,…,en) une base de E. La matrice de u dans la base B est triangulaire sup´erieure si et seulement si tous les sous-espaces Fk = Vect (e1,…,ek) pour 1 <= k <= n sont stables par u.

Question 40

Th´eor`eme d’ind´ependance des sous-espaces propres.

Answer 40

Th´eoreme d’ind´ependance des sous-espaces propres. Des sous-espaces propres d’un endomorphisme u relatifs a des valeurs propres deux `a deux distinctes sont en somme directe.

Question 41

Corrolaire du Théorème d’indépenance des sous-espaces propres

Answer 41

Corollaire. Une famille de vecteurs propres associ´es a des valeurs propres deux a deux distinctes est libre. On en d´eduit que si E un K-espace vectoriel de dimension finie n si et u ∈L(E) alors le spectre de u est fini et poss`ede au plus n ´el´ements.

Question 42

Th´eor`eme de caract´erisation des valeurs propres en dimension finie.

Answer 42

Th´eor`eme de caract´erisation des valeurs propres en dimension finie. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈L(E) (resp. A ∈Mn(K)). Les valeurs propres de u (resp. A) sont les racines du polynˆome caract´eristique de u (resp. A). On en d´eduit notamment que si le corps de base est C tout endomorphisme d’un espace vectoriel non nul (de dimension finie) admet au moins une valeur propre. Rappelons que l’ordre de multiplicit´e (alg´ebrique) d’une valeur propre λ de u (resp. A) est son ordre de multiplicit´e en tant que racine de χu.

Question 43

Th´eor`eme sur la multiplicit´e des valeurs propres.

Answer 43

Th´eor`eme sur la multiplicit´e des valeurs propres. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈L(E). Soit λ ∈ Spu de multiplicit´e m dans χu. Alors 1 6 dimEλ(u) 6 m. Toutes les valeurs comprises entre 1 et m sont possibles. Si m = 1 l’espace propre est forc´ement une droite!

Question 44

Th´eor`eme sur les ´el´ements propres d’un endomorphisme induit dans un sous-espace stable.

Answer 44

Th´eor`eme sur les ´el´ements propres d’un endomorphisme induit dans un sous-espace stable. Soit E un K-espace de dimension finie et u ∈ L(E). Soit F un sous-espace de E stable par u. Alors SpuF ⊂ Spu et pour λ ∈ K, Eλ(uF) = F ∩Eλ(u). De plus le polynˆome χuF divise χu.

Question 45

Th´eor`eme de caract´erisation des endomorphismes diagonalisables.

Answer 45

Th´eoreme de caract´erisation des endomorphismes diagonalisables. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie et u ∈L(E). Il y a ´equivalence entre : (i) u est diagonalisable (ii) il existe une base de E form´ee de vecteurs propres de u (iii) il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale (iv) la matrice de u dans une base quelconque de E est diagonalisable (i.e. semblable a une matrice diagonale) (v) la somme des dimensions des sous-espaces propres de u est ´egale a dimE (vi) le polynˆome caract´eristique de u est scind´e sur K et pour tout λ ∈ Spu la dimension de Eλ(u) est ´egale a la multiplicit´e alg´ebrique de λ. Dans le dernier point il faut bien noter que le fait que χu soit scind´e n’est pas suffisant pour avoir diagonalisabilit´e : il se peut que des espaces propres ne soient pas de dimension l’ordre de multiplicit´e de la valeur propre.

Question 46

Corollaire du Th´eor`eme de caract´erisation des endomorphismes diagonalisables.

Answer 46

Corollaire. Si E est un K-espace vectoriel de dimension n et si u ∈L(E) v´erifie |Sp(u)| = n alors u est diagonalisable, les espaces propres ´etant tous des droites. Notons que si u est diagonalisable et, si on note pλ le projecteur sur l’espace propre associ´e a la valeur propre λ parallelement `a la somme des autres espaces propres, on a u = somme ( λ∈Spu) λpλ.