teoria per lo scritto Flashcards
Stretta monotonia implica invertibilità
La monotonia è condizione sufficente ma non necessaria all’invertibilità
(Tutte le funzioni strettamente monotone sono invertibili ma non tutte le funzioni invertibili sono strettamente monotone)
Serie convergente => lim (qk) =0
x-> inf
È condizione necenecessaria ma non sufficiente in quanto esistono serie con termine generico qk tendenti a 0 ma non convergenti.
La serie armonica non converge perchè non verifica le CNS di Couchy.
Se in x c’è un estremo relativo ed esiste f’(x0) allora f ‘(x)=0
Il teorema di Fermat è condizione necessaria (ma non sufficiente) per l’esistenza di un estremo relativo
f(x)= x^3 f ‘(x)=3x^2
La condizione f ‘(x0) = 0 è necessaria per l’esistenza di un minimo relativo per una funzione f (x) derivabile ma non è sufficiente. Si consideri infatti la funzione f (x) =x^3 la cui derivata prima f ‘(x) = 3x^2 si annulla per x0 = 0 che, però, non è un estremo relativo
Se f”(x)>0 allora f(x) è convessa
non tutte le funzioni convesse hanno la f”(x)>0
f(x)= x^4 f”(x) = 12x^2>0
derivabilità implica continuità
</=
f(x)=|x| continua in R ma x=0 ha un punto angoloso
continuità su [a,b] implica ingrabilità su [a,b]
</=
f(x) = [x] è integrabile anche se non è continnua
Se f(x) è integrabile allora è limitata
</=
Dirichelet
f ‘(x)>0 => f(x) è crescente su (a,b)
f ‘(x)< 0 => f(x) è decrescente su (a,b)
</= f(x)=x^3 è crescente ma f’(x)= 3x^2 ≥ 0
</= f(x)=-x^3 è decrescente ma f’(x)= -3x^2≤0
iNSIEME SUPERIORMENTE LIMITATO
Si dice che l’insieme A è superiormente limitato se esiste un numero razionale più grande di ciascun numero appartenente all’insieme A
M è un maggiorante
∃ M ∈ Q|∀ a ∈ A: a ≥ M
INSIEME INFERIORMENTE LIMITATO
Si dice che l’insieme A è inferiormente limitato se esiste un numero razionale più piccolo di ciascun numero appartenente ad A
M è un minorante
∃ M ∈ Q|∀ a ∈ A: a ≤ M
ESTREMO SUPERIORE
Si dice estremo superiore di A il numero S=Sup A che è il più piccolo tra i maggioranti
1. è un maggiorante
2. è il più piccolo tra i maggioranti
1.∀ a ∈ A: a ≤ S
2.∀ ε > 0 ∃ a ∈ A |SupA- ε < a_ < SupA (a_ è a segnato)
ESTREMO INFERIORE
Si dice estremo superiore di A il numero s=Inf A che è il più grande tra i minoranti
1.∀ a ∈ A: a ≥ s
2.∀ ε > 0 ∃ a ∈ A |InfA- ε ≤ a ≤ InfA + ε
