Teoria orale

Question 1

!!

Teorema della √2

Answer 1

Ip) l’insieme Q: {n/m|n,m ∈ Z, m ≠ 0}
Th)√2∉ Q

dimostrazione per assurdo

Question 2

Somma dei primi n numeri interi

Answer 2

S= 1+2+3+…n
S= n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+1
2S= (n+1)+ (n+1)+ (n+1)+…+ (n+1)=
= n(n+1)

Question 3

Somma dei primi n

Answer 3

Se q ≠1
S= 1+q+q^2+q^3+…+q^n-1
qS= q+q^2+q^3+…+q^n
S-qS= (1+q+q^2+q^3+…+q^n-1)-(q+q^2+q^3+…+q^n)
S-qS=1-q^n => S(1-q)=(1-q^n)
S= (1-q^n)/(1-q)

Question 4

Criterio di Couchy

Answer 4

Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza di una serie
∀ε>0 ∃n’ε’|∀ p ∈ N ⇒ |a’nε+1’+ a’nε+2’+…+ a’nε+p’ < ε

Oss: la serie armonica non converge perchè verifica il criterio di Couchy

Question 5

serie geometrica

Answer 5

il lim q^n per n→+∞
non esiste se q ≤ -1
1/1-q se |q|< 1
+∞ se q >1

Question 6

serie di mengoli

Answer 6

dim

Question 7

serie armonica

Answer 7

dim

Question 8

!!

condizione necessaria per la convergenza di una serie

Answer 8

Ip) la serie converge => lim(Sn)=S
n→ inf
Th) lim (ak) k→ inf = 0

Question 9

!!

Teorema di unicità del limite

dimostrazione per assurdo

Answer 9

Ip) ∃ lim f(x)= l
x→x0
Th) l è unico (limite da dx e sx sono uguali)

Question 10

!!

Teorema della permanenza del segno

in forma diretta

Answer 10

Ip) ∃ lim f(x)= L
x→x0 e l ≠0
Th) ∃ Ix0|∀ x ∈ Ix0 ∩ X-{x0} ⇒
f(x0) L >0(hanno lo stesso segno)

Question 11

!

Teorema della permanenza del segno

in forma indiretta

dimostrazione per assurdo

Answer 11

Ip)∃ Ix0|∀ x ∈ Ix0 ∩ X-{x0}⇒ f(x0)L>0
e ∃ lim f(x)= L
x→x0
Th) L ≥ 0(L ≤ 0)

Question 12

!

Teoremi di cancellazione

Question 13

!

Teorema degli zeri per le funzioni continue

Question 14

!

Teorema di Weirstrass

Answer 14

no dim

Question 15

!!

Teorema di Darboux

Answer 15

dim

Question 16

Derivabilità implica continuità

Answer 16

dim

Question 17

!

Teorema degli zeri

Answer 17

dim

Question 18

Teoerema sul resto di primo ordine

Question 19

!

Teorema di Taylor

Question 20

Polinomio di Taylor

Polinomio di Mc.Lauren

Question 21

!

Teorema di Fermat

Question 22

!1

Teorema di Lagrange

Question 23

!

Corollario al teorema di Lagrange

Question 24

!

Relazione tra il segno della derivata prima e la crescenza/decrescenza di una funzione

Question 25

Relazione fra il segno della derivata seconda e la convessità/concavità

Answer 25

dim

Question 26

Teorema De L’Hopital

Question 27

!!

Teorema di Rolle

Question 28

!!

Teorema della media integrale

Question 29

!!

Teorema di Torricelli-Barrow

Question 30

!!

Corollario al teorema di Torricelli Barrow

Question 31

!

Teorema di Cramer

Question 32

!

Teorema di Rouchè-Capelli

Question 33

!!

CN per l’esistenza della matrice inversa

Question 34

!!

Teorema dell’unicità della matrice inversa