Teori, Dugga 1

Question 1

Förklara vad som skiljer en fluid ifrån en fast kropp. Hur beter sig ett element som utsätts för en skjuvspänning om elementet är en fast kropp respektive en fluid?

Answer 1

En fast kropp kan motstå skjuvspänning genom statisk böjning (elastisk deformation). En fluid
börjar röra sig och deformeras vid skjuvspänning. Detta beror på de intermolekylära bindningar.

Question 2

Vad menas med ett kontinuerligt medium?

Answer 2

Övergånger mellan fluidens densitet kan antas vara så jämna att differentialkalkyler kan användas för att analysera mediet. Fungerar ej på mikroskopisk nivå eftersom molekylernas rörelse kan skapa variationer. Fungerar inte heller på makroskopisk nivå där skiftningar i rummet kan påverka.

Question 3

Vilka är de primära dimensionerna i strömningsläran? Vad menas med primära dimensioner? Ge
exempel på några sekundära dimensioner. Vad menas med en dimensionsmässigt homogen ekvation?

Answer 3

De primära dimensionerna är massa, längd, tid och temperatur.

Från de primära dimensionerna kan man skapa alla andra dimensioner.

De viktigaste sekundära dimensionerna är kraft och viskositet.

En dimensionsmässigt homogen ekvation har samma dimension på alla dess termer.

Question 4

Förklara skillnaden mellan Lagrangeskt och Eulerskt betraktelsesätt.

Answer 4

Lagrangeskt betraktelsesätt följer fluidpartiklarna, eller elementet och beror därmed bara på tiden, p(t).

Eulerskt sätt betraktar en viss punkt i rummet och beror därför också på koordinaterna för denna punkt, p(x,y,z,t).

Question 5

Vad innebär det att en fluid är Newtonsk?

Answer 5

Skjuvspänningen som uppstår i fluiden är linjärt proportionell mot hastighetsgradienten.

μ är den dynamiska viskositeten.

τ = μ * dθ / dt = μ * du / dy

Question 6

Förklara begreppen: stationär, inkompressibel, friktionsfri, och turbulent strömning.

Answer 6

Stationär eller instationär avgör om strömningsfallet varierar med tiden, eller om flödet är
konstant.

Inkompressibel innebär att densiteten kan antas vara konstant, som i en vätska eller gaser vid 1/3 av ljudets hastighet. Kompressibel betyder att densiteten antas variera vilket den gör i gaser.

Vid friktionsfri strömning är μ noll.

Turbulent strömning är motsatsen till laminär strömning där flödet följer en viss bana.

Question 7

Vad är kavitation och varför uppstår detta ibland i en strömmande vätska?

Answer 7

Kavitation är uppkomsten av kaviteter (hålrum) i vätskor i form av bubblor där vätskan övergått
i gasform genom att det statiska trycket i vätskan sjunker pga gränsskitets utformning.

Question 8

Förklara skillnaden mellan strömlinje, partikelbana och stråk. Vad ska gälla för att dessa ska sammanfalla?

Answer 8

Strömlinje är en kurva till vilken hastighetsvektorn är tangent i varje punkt.

En partikelbana följer den verkliga banan hos ett element.

Ett stråk är banan för partiklar som passerat genom en viss punkt.

Om systemet är stationär blir strömlinjen, partikelbanan och stråket identiska, annars inte.

Question 9

Hur kan flytkraften på en kropp i en fluid tecknas?

Answer 9

Ett föremål som är nedsänkt i vätska känner av en uppåtriktad kraft som är lika stor som tyngden av den undanträngda vätskan.

F = ∫( p2- p1 )dA = -ρ * g * ∫ (z2 − z1)dA

Question 10

Om man håller tummen för övre änden på ett sugrör så rinner inte vattnet ut, varför? Hur hög kan en vattenpelare i ett rör maximalt bli om den övre änden är tät och den undre öppen? Förklara.

Answer 10

Kraften från lufttrycket på undersidan av vattenpelaren måste vara i balans med vattnets tyngd.

ΣF = p_atm * A - mg = 0
ρ * A * h * g = p_atm * A
h = p_atm / (ρ * g)

Question 11

Skriv om Newtons 2:a lag med hjälp av impulsen för ett system. Vad kallas detta samband?

Answer 11

F = m * a = m * dv/dt = d/dt( m * v)

Question 12

Definiera impulsmomentet (angular momentum) för ett system.

Answer 12

F = d/dt( v * δ * m)
M = r × F = F = d/dt( r × v) * δ * m
⇒ M = ΣM = Σ d/dt( r × v) * δ * m = dH/dt

Question 13

Hur kan volymflödet Q och massflödet 𝑚̇ genom en kontrollvolyms yta tecknas generellt? Visa detta. Hur lyder sambandet mellan Q och 𝑚̇ om densiteten är konstant? Hur definieras den volymsmedelvärderade medelhastigheten genom en yta vid konstant densitet?

Answer 13

dV= v dt dA cosθ = (v • n)dA dt
Q = ∫ dV/dt = ∫ (v * n) dA
𝑚̇ = ∫ ρ * (v * n) dA
𝑚̇ = ρ * Q

Question 14

I Reynolds transportteorem används beteckningarna B och β för extensiva respektive intensiva storheter. Vad menas med detta? Om β, den intensiva storheten, är känd hur bestäms då den extensiva storheten B? Ge några exempel på intensiva och extensiva storheter.

Answer 14

En extensiv storhet kännetecknas av att dess storlek är additiv för delar av systemet medan en intensiv storhet är oberoende av systemets storlek.

β = dB/dm

Question 15

Varför vill man använda sig av kontrollvolyms-analyser just inom strömningsmekaniken? Förklara vad de i R.T.T.
𝑑/𝑑𝑡 (𝐵𝑠𝑦𝑠𝑡) = 𝑑 𝑑𝑡 (∫ 𝛽𝜌𝑑 𝑐𝑣 V)+∫ βρ(𝐕r cs ∙𝐧)dA ingående termerna representerar.

Answer 15

Förändringen av en storhet, B, inom systemet beror på ändringar av B per tidsenhet inom kontrollvolymen, men även på grund av in- och utflöden av B genom kontrollytan.

Question 16

Varför vill man använda sig av kontrollvolyms-analyser just inom strömningsmekaniken? Förklara vad de i R.T.T.
𝑑/𝑑𝑡 (𝐵𝑠𝑦𝑠𝑡) = 𝑑/𝑑𝑡 (∫ 𝛽𝜌𝑑V)+∫ βρ(𝐕r ∙𝐧)dA ingående termerna representerar.

Answer 16

Förändringen av en storhet, B, inom systemet beror på ändringar av B per tidsenhet inom kontrollvolymen, men även på grund av in- och utflöden av B genom kontrollytan.

Question 17

Hur kan Reynolds transportteorem för det helt generella fallet (ekv 3.16) förenklas för en fix kontrollvolym?

Answer 17

Om kontrollvolymen är fix kan R.T.T varierar inte volymelementet. Detta betyder att yttrycket kan förenklas genom att flytta in tidesderivatan i första termen in i integralen.
𝑑/𝑑𝑡 (∫ 𝛽𝜌𝑑V) = ( ∫ 𝜕/𝜕𝑡 (𝛽𝜌) 𝑑𝑉 )
Vr i andra termen kan också förenklas till V, eftersom relativ hastigheten är samma som hastigheten.
∫ βρ(𝐕r ∙𝐧)dA = ∫ βρ(𝐕 ∙𝐧)dA

Question 18

Härled kontinuitetsekvationen på integralform för en fix kontrollvolym genom att utgå från Reynolds transportteorem 𝑑/𝑑𝑡 (𝐵𝑠𝑦𝑠𝑡) = 𝑑/𝑑𝑡 (∫ 𝛽𝜌𝑑 𝑐𝑣 V)+∫ βρ(𝐕r ∙𝐧)dA. Förklara även vad kontinuitetsekvationen betyder fysikaliskt.

Answer 18

Sätt B = m vilket ger β = dB/dm = dm/dm = 1
⇒ 0 = 𝑑/𝑑𝑡 (∫ 𝜌𝑑V)+∫ ρ(𝐕r ∙𝐧)dA
Eftersom kontrollvolymen är fix kan vi flytta in tidsderivatan och sätta Vr=V.
⇒ 0 = (∫ 𝜕/𝜕𝑡 (𝜌)𝑑V+∫ ρ(𝐕 ∙𝐧)dA

Kontinuitetsekvationen betyder, i princip, att massa inte kan förstöras eller försvinna i systemet, utan det som kommer in kommer också ut.

Question 19

Hur kan flödestermen i Reynolds transportteorem (ekv 3.16) förenklas om vi kan anta att alla in- och utlopp är endimensionella? Vad menas med att ett in-/utlopp är endimensionellt?

Answer 19

Vi antar att strömningen är vinkelrät mot in – och utloppsytan.
Flödestermen ∫ 𝛽 ∙ 𝜌(𝑽𝒓 ∙ 𝒏)𝑑𝐴 kan ersättas med:
∑_ut 𝛽𝑖 ∙ 𝜌𝑖 ∙ 𝐴𝑖 ∙ 𝑉𝑖 −∑_in 𝛽𝑖 ∙ 𝜌𝑖 ∙ 𝐴𝑖 ∙ 𝑉𝑖
Anledningen är att hastighetsvektorn är konstant över gränsarean.
Med ett endimensionellt in- och utlopp menas att flödena i ett godtyckligt tvärsnitt
är likartade.

Question 20

Hur kan kontinuitetsekvationen (3.21) förenklas om vi har;

a. endimensionella in- och utlopp?
b. stationär strömning?
c. inkompressibel och instationär strömning?

Answer 20

a. 0 = (∫ 𝜕𝜌/𝜕𝑡 𝑑𝑉) + ∑(𝜌𝑖 * 𝐴𝑖 * 𝑉𝑖)_ut− ∑(𝜌𝑖 * 𝐴𝑖 * 𝑉𝑖)_in
b. 0 = ∫ 𝜌(𝑽 ∙ 𝒏)𝑑𝐴
c. 0 = ∫ 𝜌(𝑽 ∙ 𝒏)𝑑𝐴 kan ytterligare förenklas då 𝜌 = konst. till: 0 = ∫ (𝑽 ∙ 𝒏)𝑑𝐴

Question 21

Härled impulssatsen på integralform genom att utgå från Reynolds transportteorem

Answer 21

𝐵 = 𝑚𝐕, 𝛽 =𝑑𝐵/𝑑𝑚 ⇒ 𝛽 =V

𝑑/𝑑𝑡 (𝑚𝐕)𝑠𝑦𝑠𝑡 = ∑ 𝑭 = 𝑑/𝑑𝑡 (∫ 𝐕𝜌 𝑑𝑉) + ∫ 𝐕𝜌(𝐕𝐫 · 𝐧) 𝑑A

Question 22

Förenkla impulsekvationen (3.35) för

a. fix kontrollvolym
b. fix kontrollvolym med endimensionella in- och utlopp
c. fix kontrollvolym med endimensionella in- och utlopp samt stationär strömning.

Answer 22

Generellt: ∑ 𝑭 = 𝑑/𝑑𝑡 (∫ 𝐕𝜌 𝑑𝑉) + ∫ 𝐕𝜌(𝐕𝐫 · 𝐧) 𝑑A

a. Vr = V och tidsderivatan flyttas in i integralen:
∑ 𝑭 = (∫ 𝜕/𝜕𝑡 𝐕𝜌 𝑑𝑉) + ∫ 𝐕𝜌(𝐕𝐫 · 𝐧) 𝑑A

b. ∑ 𝑭 = (∫ 𝜕/𝜕𝑡 𝐕𝜌 𝑑𝑉) + ∑ V* (𝜌𝑖 ∙ 𝐴𝑖 ∙ 𝑉𝑖)_ut −∑V * (𝜌𝑖 ∙ 𝐴𝑖 ∙ 𝑉𝑖)_in
⇒ ∑ 𝑭 = (∫ 𝜕/𝜕𝑡 𝐕𝜌 𝑑𝑉) + ∑ (𝑚̇ ∙ 𝑉𝑖)_ut −∑(𝑚̇ ∙ 𝑉𝑖)_in

c. ∑ 𝑭 = ∑ (𝑚̇ ∙ 𝑉𝑖)_ut −∑(𝑚̇ ∙ 𝑉𝑖)_in

Question 23

Vid härledningen av energiekvationen delas energin per massenhet, e, och arbetet upp i ett antal olika typer. Vilka?

Answer 23

e= e_int + e_kin + e_pot
W' = W'_shaft + W'_press + W'_viscous stresses

Question 24

Bernoullis ekvation (3.54) är en förenklad form av energiekvationen. På vilka sätt är den mer restriktiv än energiekvationen på formen (3.72).

Answer 24

Båda ekvationerna utgår ifrån energiekvationen som multipliceras med ρ. Den första ekvationen
antar friktionsfritt, stationärt och inkompressibelt system.

Question 25

Till vad använder man differentialformuleringarna av grundekvationerna?

Answer 25

De används för att analysera fluiders rörelser genom att låta CV → 0 → man studerar en
infinitesimal volym dvs punkt i strömningsfältet.

Question 26

Skriv om den totala accelerationen med hjälp av kedjeregeln till formen med en lokal och en konvektiv term. Förklara även fysikaliskt vad de olika bidragen betyder.

Answer 26

𝒂 =𝑑𝐕/𝑑𝑡 = (𝑎𝑥, 𝑎𝑦, 𝑎𝑧) = (𝑑𝑢/𝑑𝑡 𝑖̂ + 𝑑𝑣/𝑑𝑡 𝑗̂ +𝑑𝑤/𝑑𝑡 𝑘̂) =
= (𝜕𝑢/𝜕𝑡 +𝜕𝑢/𝜕𝑥 * 𝜕𝑥/𝜕𝑡 +𝜕𝑢/𝜕𝑦 * 𝜕𝑦/𝜕𝑡 +𝜕𝑢/𝜕𝑧 * 𝜕𝑧/𝜕𝑡) 𝑖̂+(𝜕𝑣/𝜕𝑡 +𝜕𝑣/𝜕𝑥 * 𝜕𝑥/𝜕𝑡 + 𝜕𝑣/𝜕𝑦 * 𝜕𝑦/𝜕𝑡 + 𝜕𝑣/𝜕𝑧 * 𝜕𝑧/𝜕𝑡) 𝑗̂ + (𝜕𝑤/𝜕𝑡 + 𝜕𝑤/𝜕𝑥 * 𝜕𝑥/𝜕𝑡 + 𝜕𝑤/𝜕𝑦 * 𝜕𝑦/𝜕𝑡 + 𝜕𝑤/𝜕𝑧 * 𝜕𝑧/𝜕𝑡)𝑘̂

Då {𝜕𝑥/𝜕𝑡 = 𝑢, 𝜕𝑦/𝜕𝑡 = 𝑣, 𝜕𝑧/𝜕𝑡 = 𝑤} fås:
𝜕𝑢/𝜕𝑡 + 𝜕𝑣/𝜕𝑡 + 𝜕𝑤/𝜕𝑡 =𝜕𝐕/𝜕𝑡
Där 𝜕𝐕/𝜕𝑡 står för den lokala accelertionen, dvs när hastigheten ändras med tiden.

De övriga termerna:
(𝜕𝑢/𝜕𝑥 * 𝜕𝑥/𝜕𝑡 +𝜕𝑢/𝜕𝑦 * 𝜕𝑦/𝜕𝑡 +𝜕𝑢/𝜕𝑧 * 𝜕𝑧/𝜕𝑡) 𝑖̂+(𝜕𝑣/𝜕𝑥 * 𝜕𝑥/𝜕𝑡 + 𝜕𝑣/𝜕𝑦 * 𝜕𝑦/𝜕𝑡 + 𝜕𝑣/𝜕𝑧 * 𝜕𝑧/𝜕𝑡) 𝑗̂ + (𝜕𝑤/𝜕𝑥 * 𝜕𝑥/𝜕𝑡 + 𝜕𝑤/𝜕𝑦 * 𝜕𝑦/𝜕𝑡 + 𝜕𝑤/𝜕𝑧 * 𝜕𝑧/𝜕𝑡) 𝑘̂ =
= 𝑢 * 𝜕𝐕/𝜕𝑥 + 𝑣 * 𝜕𝐕/𝜕𝑦 + 𝑤 * 𝜕𝐕/𝜕𝑧
Motsvarar de konvektiva termerna, dvs hur förflyttningen sker i rummet, ändringen sker då i olika delar i rummet och kan ha olika tillstånd.

Question 27

Härled kontinuitetsekvationen på differentialform utgående från ekv (3.22) genom att låta kontrollvolymen gå mot noll.

Answer 27

Grundekvation (3.22):
∫𝜕𝜌/𝜕𝑡 𝑑𝑉 + ∑(𝜌𝑖𝐴𝑖𝑉𝑖)_𝑢𝑡 − ∑(𝜌𝑖𝐴𝑖𝑉𝑖)_𝑖𝑛 = 0

Eftersom cv är infinitesimal kan uttrycket förenklas på följande vis:

lim𝑐𝑣→0 ∫𝜕𝜌/𝜕𝑡 𝑑𝑉 + ∑(𝜌𝑖𝐴𝑖𝑉𝑖)𝑢𝑡 − ∑(𝜌𝑖𝐴𝑖𝑉𝑖)𝑖𝑛 =
= 𝜕𝜌/𝜕𝑡 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + ∑(𝜌𝑖𝐴𝑖𝑉𝑖)𝑢𝑡 − ∑(𝜌𝑖𝐴𝑖𝑉𝑖)𝑖𝑛