T07 - Sistemas de ecuaciones Flashcards
Ecuaciones lineales con dos incógnitas
Una ecuación lineal con dos incógnitas es una ecuación de primer grado de la forma ax + by = c, donde:
Los números a y b son los coeficientes de la ecuación, x e y son las incógnitas y c es el término independiente.
Las soluciones de la ecuación ax + by = c son los pares de valores que toman x e y que cumplen la igualdad.
Una solución se expresa así (x,**y).
Tiene infinitas soluciones.
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de ecuaciones de primer grado de la forma (ver imagen).
Los números a, b, c y d son los coeficientes del sistema, x e y son las incógnitas y e y f son los términos independientes.
Solución de un sistema de ecuaciones
Un par de números son solución de un sistema cuando verifican las dos ecuaciones al mismo tiempo.
Sistemas de ecuaciones equivalentes
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
Criterios de equivalencia de un sistema de ecuaciones
Algunas operaciones que se pueden realizar para obtener sistemas de ecuaciones equivalentes son:
- Cambiar el orden de las dos ecuaciones.
- Sumar o restar un número a una de las dos ecuaciones (regla de la suma).
- Multiplicar o dividir una de las dos ecuaciones por un número distinto de 0 (regla del producto).
- Cambiar una ecuación por la suma de las dos ecuaciones.
Resolución de un sistema por el método gráfico
Para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, se siguen los siguientes pasos:
- Se construye una tabla de valores para cada una de las ecuaciones.
- Se dibuja la recta correspondiente a cada ecuación, usando esas tablas.
- Las soluciones del sistema corresponden a los puntos de corte de ambas rectas.
Posición relativa de dos rectas según el número de soluciones de su sistema
- Las rectas son secantes si el sistema tiene una única solución.
- Las rectas son paralelas si es sistema no tiene solución.
- Las rectas son coincidentes si el sistema tiene infinitas soluciones.
Método de sustitución
- Despejar una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones.
- Sustituir la expresión de la incógnita despejada en la otra ecuación.
- Resolver la nueva ecuación que ya sólo tiene una incógnita.
- Sustituyendo la solución del paso 3 en la ecuación despejada del paso 1, se obtiene el valor de la otra incógnita.
Pistas para elegir la incógnita en el método de sustitución
Algunas pistas, de mejor a peor, para elegir qué incógnita vamos a despejar y en cuál de las ecuaciones serían:
- La mejor opción es despejar una incógnita con coeficiente 1.
- Si la mejor opción tiene coeficiente -1, primero multiplicaremos su ecuación por -1 para que se transforme en 1.
- Si los dos coeficientes de una incógnita son múltiplos uno del otro, despejaremos en la ecuación que tenga el divisor.
- Coger la incógnita con coeficiente menor.
Método de igualación
- Despejar una de las incógnitas en las dos ecuaciones.
- Igualamos las dos expresiones obtenidas.
- Resolver la nueva ecuación que ya sólo tiene una incógnita.
- Se sustituye el valor obtenido en una de las ecuaciones despejadas y se obtiene el valor de la otra incógnita.
Pistas para elegir la incógnita en el método de igualación
Algunas pistas, de mejor a peor, para elegir qué incógnita vamos a despejar y en cuál de las ecuaciones serían:
- Elegimos una incógnita que tenga los dos coeficnes iguales.
- Elegimos una incógnita que tenga un coeficiente múltiplo del otro.
- Elegimos una incógnita que tenga de coeficiente 1.
Método de reducción
El método de reducción consiste en transformar un sistema en otro equivalente, de modo que al sumar las dos ecuaciones, obtengamos una ecuación en la que sólo aparezca una incógnita. Para aplicarlo se siguen los siguientes pasos:
- Se multiplican las ecuaciones por los números adecuados para igualar el coeficiente de una de las dos incógnitas. Para ello podemos dividir el mcm de los coeficientes de una incógnita entre cada coeficiente y multiplicar cada ecuación por el resultado de dicha división.
- Si los dos términos tienen signo contrario no tenemos que hacer nada más, pero si tienen el mismo, tenemos que multiplicar una de las ecuaciones por -1.
- Sumando las ecuaciones obtenidas, se elimina la incógnita con coeficientes iguales, pero opuestos.
- Si el sistema es compatible determinado se obtiene el valor de una incógnita.
- Se sustituye el valor de la incógnita obtenido en una de las dos ecuaciones iniciales del sistema, para calcular el valor de la otra incógnita.
Pistas para el método de reducción
Elegiremos la incógnita por la que reducimos según estos criterios de mejor a peor opción:
- Si una incógnita tiene coeficientes opuestos, sería nuestra mejor opción.
- Si tiene coeficientes iguales, multiplicamos una de las dos ecuaciones por -1.
- Si tiene coeficientes que son múltiplos entre sí.
- Calculamos el mcm de los coeficientes de las dos incógnitas y reducimos por el que salga menor.
Método de reducción doble
Si al aplicar el método de reducción obtenemos una fracción como valor de la incógnita, en lugar de operar con fracciones, podemos volver a aplicar el método de reducción, pero eliminando la otra incógnita. Este método se llama reducción doble.
