Suites Flashcards
Raisonnement par récurrence
- Initialisation : P(0) vraie // 2. Hérédité : On suppose que P(n) est vraie pour un certain entier naturel n ≥ 0 (càd…) et on montre que cela entraîne que P(n+1) est encore vraie (càd…) […] donc P(n) est héréditaire // 3. Conclusion : P(0) vraie et P(n) héréditaire donc P(n) est vraie
Suite définie de façon explicite
U(n) = f(n)
Suite définie par récurrence
U(n+1) = f (u(n))
Suite strictement croissante
U(n+1) > u(n)
Suite strictement décroissante
U(n+1) < u(n)
Suite constante
U(n+1) = u(n)
Suite monotone
Elle est soit croissante, soit décroissante
Méthodes pour le sens de variation d’une suite definie de manière explicite
M1: u(n+1) - u(n) // M2: si u(n) = f(n) on étudie le sens de variation de f sur [0; +∞]
Méthodes pour le sens de variation d’une suite definie par une relation de récurrence
M1: u(n+1) - u(n) // M2: comparer u(n+1) / u(n) à 1 // M3: raisonnement par récurrence
Suite majorée
∇n Ε Ν, u(n) ≤ M
Suite minorée
∇n E N, u(n) ≥ m
Suite bornée
A la fois majorée et minorée
Méthodes pour montrer qu’une suite est majorée, minorée, ou bornée
M1: encadrement classique // M2 : difference de u(n) et de m ou M // M3 : raisonnement par récurrence
Lim (√n) =
+∞
Lim (n)=
+∞
Lim (n²) =
+∞
Lim (n³) =
+∞
Lim (nᵖ) =
+∞
lim (1 / √n)=
0
lim (1 / n)=
0
lim (1 / n²)=
0
lim (1 / n³)=
0
lim (1 / nᵖ)=
0
Operation de limites F.I. :
(+∞) + (-∞) // 0× (±∞) // ±∞ / ±∞ // 0 / 0
Theoreme des gendarmes
Si ∇n ≥ n₀, v(n) ≤ u(n) ≤ w(n) et lim (v(n)) = lim (w(n)) = l E R alors lim (u(n)) = l
Theoreme de comparaison
- Si ∇n ≥ n₀, u(n) ≥ v(n) et lim v(n) = +∞ alors lim u(n) = +∞ // 2. Si ∇n ≥ n₀, u(n) ≤ v(n) et lim v(n) = -∞ alors lim u(n) = -∞
Théorème de convergence monotone
- Si une suite est croissante et majorée alors elle est convergente // 2. Si une suite est décroissante et minorée alors elle est convergente
Si une suite est croissante et converge vers une limite l, alors
∇n E N, u(n) ≤ l
Si une suite est decroissante et converge vers une limite l, alors
∇n E N, u(n) ≥ l
Si une suite u(n) est convergente, alors
elle est bornée
Si une suite u(n) est non bornée, alors
Elle est divergente
Si une suite est croissante et non majorée, alors
Elle diverge vers +∞
Si une suite est décroissante et non minorée, alors
Elle diverge vers -∞
Une suite est arithmetique si
u(n+1) = u(n) + r
Variation d’une suite : Soit u(n) une suite arithmétique arithmétique de raison r
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