Statistika 1

Question 1

Kuidas leitakse sündmuse tõenäosus? Nimeta vähemalt 3 meetodit.

Answer 1

P=soodsate võimaluste arv/ kõikide võimaluste arv.

Iseloomustab sünmduse toimumise võimalikkust skaalal 0-st 1-ni.

Klassikaline, geomeetriline, statistiline ja subjektiivne tõenäosus.

Question 2

Mida mõeldakse klassikalise tõenäosuse all? Too üks näide.

Answer 2

Kui juhuslikul katsel on kokku N võrdvõimalikku tulemust ja nende hulgas on N_A sellist, mille korral saame sündmuse A toimunuks lugeda, siis sündmuse A tõenäosus avaldub suhtena:
P(A)=N_A/N

Klassikaline tõenäosus on alati 0 ja 1 vahel.

Näide: Loteriis on 1000 piletit ja 10 neist võidavad, mis on tõenäosus ühe pileti ostmisel võita?

Question 3

Mida mõeldakse geomeetrilise tõenäosuse all? Too üks näide.

Answer 3

Kui ruumi piirkonda Ω visatakse juhuslik punkt nii, et kõik Ω punktid on „võrdvõimalikud“, siis tõenäosus, et juhuslik punkt satub alampiirkonda A, on võrdne nende piirkondade suuruste suhtega:
P(A)=m_A/m_Ω

Näide: Leida tõenäosus, et nool tabab märklaua sinist ala. Märklaual on iga punkti tabamine võrdvõimalik.

Question 4

Selgita elementaarsündmuse ja sündmuse mõistet (mis vahe neil on)? Too üks näide.

Answer 4

Mingi vaadeldava protsessi või läbi viidava katse üksikut tulemust nimetame elementaarsündmuseks.
Nendest koosneb katse kõikvõimalike tulemuste hulk ehk elementaarsündmuste hulk.

Suvalist elementaarsündmuste hulka nimetame sündmuseks.

Näide: Täringuviske elementaarsündmuste hulk on {1,2,3,4,5,6} ja sündmus A on näiteks, et tuleb paarisarv täringul ehk {2,4,6}.

Question 5

Sündmuste ühisosa (korrutis) ja ühend (summa). Selgita mõisteid ja too üks näide.

Answer 5

Sündmuste ühend (summa) - A∪B: toimub kas A või B.
Sündmuste ühisosa (korrutis) - A∩B: toimuvad nii A kui ka B.

Näide:
A - valitud vein on punane,
B - valitud vein on Itaaliast. 
A∪B - võeti punane Hispaania vein/ valge Itaalia vein/ punane Itaalia vein
A∩B - võeti punane Itaalia vein

Question 6

Ühest sündmusest järeldub teine. Selgita mõistet ja too üks näide.

Answer 6

B ⊂ A - sündmuse B toimumisest järeldub sündmus A, ehk B on hulga A alamosa.
Sündmuse B korral toimub kindlasti ka sündmus A, aga ei pruugi kehtida vastupidine väide.
Näide:
A - sihtriik on Euroopa riik
B - sihtriik on Itaalia

Question 7

Kahe sündmuse vahe: selgita mõistet ja too üks näide.

Answer 7

Vahe - A\B : toimub sündmus A, aga B ei toimu.
Näide:
A - punane vein
B - Itaalia vein
A\B - Võeti punane Hispaania vein, ehk punane ja mitte Itaaliast.

Question 8

Tõenäosuse üldine definitsioon (aksioomid) – millised kolm tingimust (aksioomi) teevad tõenäosusest tõenäosuse?

Answer 8

Tõenäosuseks nimetatakse funktsiooni P, mis igale sündmusele A kuulub hulka F seab vastavusse arvu P(A) nii, et on täidetud järgmised tingimused ehk aksioomid:

P1. P(A) on suurem võrdne nullist, iga A korral, mis kuulub süsteemi F
P2. P(Ω)=1, P(Ø)=0
P3. Kui sündmused A_1, A_2,… on üksteist välistavad, siis tõenäosus nende sündmuste korrutisest on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga - tõenäosuse loenduv-aditiivsus.

Question 9

Tõenäosuse põhiomadused: liitmisreegel, tõkestatus ja vastandsündmuse tõenäosus.

Answer 9

Liitmisreegel: 
Kui A∩B=Ø, siis P(A∪B)=P(A)+P(B)
Tõkestatus:
Iga sündmuse A korral, mis on süsteemist F  P(A)≤ 1
Vastandsündmuse tõenäosus:
P(vastandA)=1 - P(A)

Question 10

Tõenäosuse põhiomadused: monotoonsus.

Answer 10

Kui B⊂A, siis P(B) ≤ P(A)

Question 11

Tõenäosuse põhiomadused: kahe sündmuse summa ja kahe sündmuse vahe tõenäosused üldisel juhul.

Answer 11

Summa: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Vahe: P(A\B) = P(A) - P(A ∩ B)

Question 12

Boole’i võrratus.

Answer 12

Boole´i võrratus: P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B)

Question 13

Tingliku tõenäosuse mõiste – selgita, mida see tähendab ja kuidas ta matemaatiliselt defineeritud on. Too üks näide.

Answer 13

Olgu antud sündmuse B, mille tõenäosus ei ole 0: P(B)>0. Sündmuse A tinglikuks tõenäosuseks tingimusel, et B on toimunud, nimetatakse suhet P(A|B)=P(A ∩ B)/ P(B).

Näide: Maril on kapis 12 valget sokki, 2 sininst ja 6 musta sokki. Leida tõenäosus, et Mari paneb täna jalga valged sokid (juhuslikult võttes), kui on teada, et mustad sokid on juba mustad ja neid ta jalga ei pane.

Question 14

Tõenäosuste korrutamise lause.

Answer 14

Olgu A ja B sündmused ning kehtigu, et P(B) > 0. Siis saab A ja B samaaegse toimumise tõenäosuse avaldada kui P(A ∩ B) = P(A | B)*P(B).

Näide: Teame nt, et koolitusel osalejatest 30% on kalasööjad (P(A)) ja 90% kalasööjatest on naised (P(B| A)). Seega leiame lihtsalt tõenäosuse, et juhuslikult valitud osaleja on kalasööja naine.

Question 15

Sõltumatud sündmused – selgita sõltumatuse mõistet ja kuidas see matemaatiliselt defineeritud on. Too näide sõltumatutest sündmustest.

Answer 15

Sündmusi nimetatakse sõltumatuteks kui kehtib P(A ∩ B) = P(A) * P(B).

Sündmuse A toimumise tõenäosus ei sõltu sellest, kas samaaegselt on toimunud sündmus B või mitte ja vastupidi.

Näide: Urnis on 5 valget ja 6 musta kuuli. Võetakse kaks kuuli tagasipanekuga, mis on tõenäosus, et võtakse kaks valget kuul?

Question 16

Mida nimetatakse sündmuste täissüsteemiks? Too üks näide olukorrast, kus kaks sündmust moodustavad täissüsteemi ja kuidas selles olukorras saaks kasutada täistõenäosuse valemit (kolmanda sündmuse tõenäosuse leidmiseks).

Answer 16

Sündmuste täissüsteem, sündmuste ruum on jagatud teineteist välistavateks osadeks B_1, B_2, …, B_n nii et kehtivad omadused 1. B_i ∩ B_j=Ø, i!=j; 2. Kõikide B-de ehk ruumi osade ühisosa on võrdne oomegaga ehk sündmuste ruumiga.

Valem P(A)=Summa(P(A | B)*P(B))

Näide: Maril on kodus 40% krimiraamatuid ja 60% elulooraamatuid. 5% krimiraamatutest on raamatukogust laenutatud ja 7% elulooraamatutest. Leida tõenäosus, et juhuslikult valitud raamat on tema enda oma.

Question 17

Too (võimalikult lihtne) näide olukorrast, kus on vaja kasutada Bayesi valemit.

Answer 17

Bayesi valem: P(B | A) = P(A | B)*P(B) / P(A)

Näide: Meil on teada, et diabeet esineb umbes 10% inimestest ja teame ka, et kui inimesel on diabeet, siis tõenäosus, et ta on ka ülekaaluline on 85%. Ülekaalulisi inimesi on üldse umbes 39%, siis on võimalik arvutada ka et kui inimene on ülekaaluline, siis mis tõenäosusega on tal ka diabeet.

Question 18

Millal öeldakse et kaks sündmust on positiivselt korreleeritud? Too üks näide.

Answer 18

P(A | B) > P(A)

Näide: Tõenäosus, et inimene on ülekaaluline on 39%, aga kui teame, et inimene magusaarmastaja, siis tõenäosus, et ta on ülekaaluline on 65%.

Question 19

Millal öeldakse et kaks sündmust on negatiivselt korreleeritud? Too üks näide.

Answer 19

P(A | B) < P(A)

Näide: Tõenäosus, et inimene on ülekaaluline on 39%, aga kui teame et inimene teeb sporti, siis tõenäosus, et ta on ülekaaluline on 5%.

Question 20

Selgita juhusliku suuruse mõistet ja too üks näide.

Answer 20

Juhuslik suurus on muutuja, mille väärtused on määratud juhusliku katse tulemuste poolt (ehk igale võimalikule väärtusele vastab teatud sündmus). Juhuslikku suurust võib vaadelda kui funktsiooni sündmuste ruumist reaalteljele. X : Ω -> R

Näide: Juhuslik suurus X võrdub kui lastevanemate arv, kes käivad regulaarselt koosolekutel.

Question 21

Selgita diskreetse juhusliku suuruse mõistet ja too üks näide.

Answer 21

Diskreetseks juhuslikuks suuruseks nimetatakse funktsiooni X, mille võimalike väärtuste hulk on kas lõplik või loenduv.

Näide:
Patsientide arv 1 kuu jooksul.

Question 22

Milline juhuslik suurus on Bernoulli jaotusega? Too üks näiide.

Answer 22

Juhuslik suurus X on Bernoulli jaotusega, kui tema võimalikud väärtused on kas 0 või 1 ning p=P(X=1).

X ~ Be(p)

Näide: Juhuslik suurus X=1, kui juhuslikult valitud inimesel on majalaen ja X=0 muidu.

Question 23

Milline juhuslik suurus on binoomjaotusega? Too üks näide.

Answer 23

Juhuslik suurus X on binoomjaotusega, kui ta on mingi sündmuste A toimumiste arv n sõltumatus katses, kus igal üksikkatsel P(A)=p.

X ~ B (n, p)

Näide: Uue treeningmeetodi tõhususprotsent on 65%. Leida tõenäosus, et 5-st inimesest, kes seda proovisid, vähemalt 3 said vormi.

Question 24

Kuidas on defineeritud diskreetse juhusliku suuruse keskväärtus. Too näide keskväärtuse arvutamisest olukorras, kus diskreetsel juhuslikul suurusel on kaks võimalikku väärtust: 1 ja 2.

Answer 24

EX=summa(x_ip_i)=summa(x_iP(X=x_i)) - üksikväärtuste kaalutud keskmine.

Näide: Mari joob 60% juhtudest 1 pudeli vett päevas ja 40% juhtudel 2 pudelit vett päevas. Keskväärtus 0.61+0.42=1.4

Question 25

Kuidas leitakse diskreetse juhusliku suuruse funktsiooni keskväärtus?

Answer 25

Eg(X) = summa(g(x_i)) * P(X=x_i) = summa(g(x_i))*p_i
Juhusliku suuruse Y=g(X) keskväärtuse (nt EX^2) arvutamiseks pole vaja leida Y jaotust / piisab argumendi X jaotuse teadmisest.

Question 26

Keskväärtuse lineaarsuse omadus.

Answer 26

E(aX+b) = aEX + b

–E(b)=b

Question 27

Kuidas on defineeritud juhusliku suuruse dispersioon? Kuidas avaldub Bernoulli jaotusega juhusliku suuruse dispersioon?

Answer 27

Dispersiooniks nimetatakse arvu DX = E(X - EX)^2 → DX = EX^2 - (EX)^2

Inglise keeles variance. Dispersioon in jaotuse hajuvuse mõõt (X väärtuste hajuvus ümber EX-i)

Bernoulli jaotusega: DX=(0^2p_1+1^2p_2) - (0p_1+1p_2)^2=p_2 - (p_2)^2

Question 28

Dispersiooni kolm põhiomadust. Avaldage nende põhjal juhusliku suuruse aX + b dispersioon DX kaudu (kui a ja b on konstandid).

Answer 28

Dc = 0; D(X+ c)= DX; D(cX)=c^2DX

D(aX+b) =a^2DX

Question 29

Kuidas avaldub juhuslike suuruste summa keskväärtus.

Answer 29

Eg(x, y) = summa(summa(g(x_i, y_j) * P(X=x_i, Y=y_j))) - korrutad ja liidad terve tabeli läbi xyp+…

Question 30

Sõltumatud diskreetsed juhuslikud suurused: kuidas on defineeritud? Too näide kahest sõltumatust diskreetsest juhuslikust suurusest.

Answer 30

Suurusi nimetatakse sõltumatuteks, kui iga i ja j korral sündmused (X=x_i) ja (Y=y_j) on sõltumatud, st P(X=x_i, Y=y_j) = P(X=x_i) * P(Y=y_j)

Näide: Kahe täringu viskamine ja X ja Y on silmade arvud kummagil täringul.
X - laste trenniskäimise arv nädalas; Y - laste lemmikloomade arv

Question 31

Olgu X ja Y juhuslikud suurused. Nimeta vähemalt kaks omadust, mis kehtivad ainult siis, kui X ja Y on sõltumatud.

Answer 31

E(XY) = EX* EY
D(X+Y) = DX + DY

Question 32

Kuidas on defineeritud juhuslike suuruste kovariatsioon ja mida see iseloomustab?

Answer 32

cov(X, Y) = E(X - EX)* (Y- EY → cov(X,Y) = E(XY) - EX*EY

Väljendab kahe suuruse koosmuutumist.