Sessie2 - Orthogonale functies & Fourierreeksen

Question 1

Hoe plot je een periodieke functie in matlab? Je hebt een functie f en tussen 0 en 1 (=T) is de functie periodiek. Maar als je x tussen -2T en 2T neemt krijg je geen periodieke functie. Hoe los je dit op?

Answer 1

Door de rest te berekenen van de x-waarde en de periode. Hierdoor krijg je altijd een getal tussen 0 en T en kan je dus wel een periodieke functie plotten. Dit doe je met het commando:
mod(x,T)

Question 2

Hoe plot je de periodieke functie van een meervoudig voorschrift
=> {f1(x) = …. als 0 <= t < 1
{f2(x) = …. als 1 <= t < 3
met T=3?

Answer 2

We gaan werken met logische operatoren:
f = @(t) 2.(t>=0 & t<1) + t.(t>=1 & t<3)

Question 3

Wat is het scalair product van 2 reële functies (tip: orthogonale functies)
<f, g> =??

Answer 3

<f, g> = integral(f(t)*g(t), a,b)

Question 4

Wat is de norm van een functie f(t)?
||f(t)|| = ??

Answer 4

||f(t)|| = sqrt(<f, f>)
= sqrt( integral( f(t)², a, b ) )

Question 5

Wanneer zijn 2 reële functies orthogonaal?

Answer 5

Als het scalair product op en interval [a,b] gelijk is aan nul, n hun normen ||f|| en ||g|| verschillend zijn van nul.
=> <f,g> = 0 en ||f|| = <f, f> != 0

Question 6

Wat is de formule voor de Fouriercoëfficienten van de Fourierreeks?

Answer 6

ck = <f,fk>/<fk,fk>
= 1/||fk||² integral( @(t) f(t).fk(t), a, b) )

Question 7

Wat is de Fourierreeks die een reële functie f benadert?

Answer 7

f(t) ~= c1f1(t) + c2f2(t) + … + cNfN(t)
= (N,k=1)Σ ckfk(t)

Question 8

Waarvoor staat GKF?

Answer 8

gemiddelde kwadratische fout

Question 9

Wat is de formule voor de GKF?

Answer 9

GKF = gemiddelde kwadratische fout = 1/(b-a) * integral( @(t) (f(t) - g(t)).^2, a, b)

Question 10

Waarvoor staat ω? En wat is de formule?

Answer 10

Hoeksnelheid = 2π/T

Question 11

Welk orthogonale functies gebruiken we in de Fourierreeks?

Answer 11

sinus en cosinus, dit zijn periodieke orthogonale functies.