Séries de Potências Flashcards
Condição Necessária de Convergência?
Se a série an converge, então o seu limite é zero.
Se o limite de an for diferente de zero, então a série diverge.
Critério de Cauchy?
Critério usado para estudar a convergência de série de potências.
Regra geral este critério é usado para resolver séries com potências de n.
Conhecido também como o critério da raiz.
Se o limite resultante for:
L>1 - A série diverge
L<1 - A série converge absolutamente
L=1 - Inconclusivo
Visa eliminar a parte da sucessão, de modo a podermos tirar conclusões sobre a convergência.
Critério D’Alembert?
Critério usado para estudar a convergência das séries de potências.
Regra geral este critério é usado para resolver séries com factoriais ou com potências de n.
Conhecido também como o critério da razão.
Se o limite resultante for:
L>1 - A série diverge
L<1 - A série converge absolutamente
L=1 - Inconclusivo
Dada uma série de potências centrada em c, o que se pode concluir sobre a sua convergência?
an(x-c)^n
A série converge absolutamente apenas em x=c e diverge em x diferente de c.
A série converge absolutamente para todo o x pertencente a R.
Existe um único R > 0 tal que a série converge absolutamente para todo o x pertencente a ]c-R,c+R{
No caso de existir um tal R >0, os critérios acima descritos nada nos podem dizer sobre a convergência.
Como se relaciona o Raio com os critérios D’Alembert e de Cauchy?
No caso do Critério D’Alembert:
R pode ser dado pelo inverso do valor absoluto do limite de an+1 sobre an.
No caso do Critério de Cauchy:
R pode ser dado pelo inverso do limite da raiz n do valor absoluto de an.
Regra geral para estudar a convergência de séries?
- Testar a condição necessária de convergência.
2. Aplicar critérios D’Alembert (razão) ou Cauchy (raiz).
Critério de Leibniz
Usado para séries alternadas
Numa série alternada que passos devemos tomar para estudar a sua convergência?
- Estudar a série dos módulos
2. Se for uma série de Dirichlet, então se o p>1 a série converge, se o p<1 a série diverge.
De que outra maneira, para além dos critérios, se pode provar a convergência de uma série?
Por comparação. Podemos comparar com séries que são sempre maiores do que a nossa original e tirar as seguintes conclusões:
Se a série original for menor que a série escolhida e a série escolhida for convergente, então a série original também converge.
Se a série original for menor que a série escolhida e a série escolhida for divergente, então nada se conclui sobre a convergência da série original.
Que outro método de comparação existe?
Se calcularmos o limite da série original sob a série escolhida e esse limiter der um número real não nulo, então podemos concluir que a serie original converge.
A série escolhida tem de ser uma série conhecida e convergente.
Critério de Leibniz?
Dada uma série alternada ((-1)^n * an).
Se o limite de uma série an for igual a zero e a série an for decrescente então a série an converge.
Se o limite
No estudo da convergência de uma série de potências, o que pode também influênciar a natureza da série?
Num dado caso em que o limite calculado por um dos critérios seja mais ou menos infinito, diz-se que a série converge apenas para o ponto onde esta centrada. Ou seja, diverge em R excepto c.
Numa série em que o limite calculado através dos critérios dê 0 o que se pode concluir?
Que a série converge e que o seu raio de convergência é R, tal como o seu domínio e intervalo.
Dada uma serie de potencias continua num intervalo [a,b] o que se pode concluir sobre a integrabilidade da funcao S(x) (a funcao que engloba a soma da serie de potencias)?
S(x) = SOMA(f(n))
Que S(x) é continua e integravel em [a,b].
Dada uma serie de potencias onde fn(x)=an(x-c)^n continua e convergente, num intervalo de convergencia dado por:
I=]c-R,c+r[
O que se pode concluir sobre a funcao fn(x)?
- f é continua em todo o intervalo de convergencia.
- f é derivavel e f’n(x) = nan(x-c)^n-1 no intervalo I.
- f é integravel em I, para um a e um b pertencentes ao intervalo de convergencia.
