Séries de potências Flashcards
Para uma série de potências, defina o raio de convergência e o intervalo de convergência. Quais são as três possibilidades?
a) A série converge apenas para x = a (Ponto Central)
b) A série converge para todo x.
c) Existe um número positivo R, tal que converge se | x - a | < R e diverge se | x - a | > R.
Passo a passo para definir o raio de convergência de uma série de potências.
1) Usar um critério de convergência
2) Resolver a inequação
3) Analisar as extremidades do intervalo de convergência.
Se uma série a_n x^n converge para um x̅ ≠ 0, o que podemos afirmar sobre sua convergência?
A série converge absolutamente para todo x, tal que |x|< |x̅|
Se uma série a_n x^n diverge para um x̅ ≠ 0, o que podemos afirmar sobre sua convergência?
A série diverge para todo x, tal que |x|>|x̅|
Se uma série é condicionlmente convergente, o que podemos afirmar?
A série alternada é convergente, porém a série dos termos absolutos é divergente.
O que podemos dizer da convergência da série de potências infinita x^n? Qual condição precisa ser satisfeita?
Se |x| < 1, a série converge para 1/(1-x)
Seja uma série de potências a_n x_n com raio de convergência R, R>0 ou R = inf. O que podemos afirmar sobre sua continuidade?
É contínua no intervalor ]-R,R[
Qual a série de Maclaurin para e^x? Qual seu intervalo de convergência?
(x^n)/n!, converge em R
Dada uma série de potências com raio de convergência R >0 ou R = inf, qual a equação que relaciona os coeficientes com as derivadas?
a_n = f^(n) (0) / n!
Qual a série de Maclaurin para sin(x)? Qual o intervalo de convergência?
(-1)^n x^(2n + 1) / (2n + 1)!, converge em R
Qual a série de Maclaurin para arctg(x)? Qual o intervalo de convergência?
x^(2n+1)/(2n+1), converge p/ -1<= x < 1
Qual a série de Maclaurin para ln(1+x)? Qual o intervalo de convergência?
(-1)^n x^(n+1)/(n+1)
Qual a série de Maclaurin para cos(x)? Qual o intervalo de convergência?
(-1)^n x^(2n) / (2n)!, converge em R
Qual a série de Maclaurin para e^x? Qual o intervalo de convergência?
x^n/n!
Como saber a série de uma função composta, tipo e^(x^3)
Escrever a forma simples da função, ex e^y em série, e substituir y pela função de dentro. Vale tanto ir quanto voltar no raciocínio
Qual o erro ao aproximar uma função pela sua série de taylor em um certo intervalo [-c,c]?
|f(x) - p_n(x)| <= f^(n+1)(c)/(n+1)! (x-x_0)^n+1. Ou seja, ao aproximar a função numa série de taylor de 4 ordem, o erro é da 5 ordem, o próximo termo.
Como resolver EDOs por séries de potências?
(1) Parta do Anzatz e escreva as derivadas a serem utilizadas
(2) Escreva os coeficientes em termos das derivadas, tal coeficiente de taylor
(3) Use as condições iniciais do problema
(4) Aplique o anzatz na EDO
(5) Troque as variáveis mudas para ajustar o expoente e a ordem do início do somatório, é possível q saiam termos
(6) Encontre a fórmula de recorrência
(7) Identifique a série de uma função conhecida se possível, pode ser que seja uma série de uma função composta.
