Rudiments de Logique et Théorie des Ensembles

Question 1

Définition Assertion :

Answer 1

On appelle assertion un énoncé mathématique pouvant être soit V soit F

Question 2

Définition Équivalence :

Answer 2

Soit P et Q deux assertions, on dit qu’elle sont équivalentes lorsqu’elles sont simultanément vraies ou fausses

Question 3

Définition Négation d’une assertion :

Answer 3

Soit P une assertion, on appelle négation de P l’assertion ayant les valeurs de vérité opposées. Elle est notée nonP.

Question 4

Propriété Double négation :

Answer 4

Soit P une assertion. Alors nonnonP =P

Question 5

Propriété Équivalence + Négation :

Answer 5

Soit P et Q deux assertions équivalentes. Alors, nonP = nonQ

Question 6

Définition Conjonction :

Answer 6

Soit P et Q deux assertions, on appelle conjonction de P et Q l’assertion vraie lorsque P et Q le sont, fausses sinon. Elle est notée PnQ, ou encore P et Q.

Question 7

Définition Disjonction :

Answer 7

Soit P et Q deux assertions, on appelle disjonction de P et Q l’assertion vraie dès que l’une des deux est vraie, fausse sinon. Elle est notée PuQ, ou encore P ou Q.

Question 8

Propriété Équivalences à connaître :
non(PnQ) =
non(PuQ) =

Answer 8

= (nonP)u(nonQ)
= (nonP)n(nonQ)

Question 9

Propriété Équivalences logiques :
PnQ =
PuQ =
(PnQ)nR =
(PuQ)uR =
Pn(QuR) =
Pu(QnR) =

Answer 9

= QnP
= QuP
= Pn(QnR)
= Pu(QuR)
= (PnQ)u(PnR)
= (PuQ)n(PuR)

Question 10

Définition Implication :

Answer 10

Soit P et Q deux assertions. L’assertion (nonP)uQ est appelée implication de P vers Q, notée P=>Q

Question 11

Définition Implication (Réciproque) :

Answer 11

Soit P et Q deux assertions. Q=>P est appelée réciproque de P=>Q.

Question 12

Propriété Négation des assertions de l’implication :

Answer 12

Soit P et Q deux assertions.
P=>Q = ((nonQ)=>(nonP))

Question 13

Propriété Négation de l’implication :

Answer 13

Soit P et Q deux assertions.
Non(P=>Q) = Pn(nonQ)

Question 14

Définition P<=>Q :

Answer 14

Soit P et Q deux assertions. L’assertion P<=>Q est l’assertion (P=>Q)n(Q=>P).

Question 15

Définition Ensemble :

Answer 15

Un ensemble est une collection d’objets. Un élément x d’un ensemble E appartient à E, ce qui se note x€E

Question 16

Définition Ensemble vide :

Answer 16

L’ensemble ne contenant aucun élément est appelé ensemble vide, noté ø

Question 17

Définition Ensembles égaux :

Answer 17

Soit E et F deux ensembles. On dit que E et F sont égaux lorsque tout élément x de E appartient à F, et réciproquement. On note E = F

Question 18

Définition ensemble inclus :

Answer 18

On dit que E est inclus dans F lorsque tout élément de E appartient à F. On note ECF.

Question 19

Définition Parties d’un ensemble :

Answer 19

Soit E un ensemble. L’ensemble des ensembles inclus dans E est noté P(E), c’est l’ensemble des parties de E

Question 20

Définition Complémentaire d’une partie :

Answer 20

Soit E un ensemble et F une partie de E. Le complémentaire de F dans E est l’ensemble des éléments de E n’appartenant pas à F. Il est noté E\F ou F^c, F(conjugué), C_E(F)

Question 21

Définition d’un ensemble en extension/compréhension :

Answer 21

Définir un ensemble en extension, c’est faire la liste de ses éléments
Définir un ensemble en compréhension, c’est définir ses éléments selon plusieurs critères.

Question 22

Définition : Intersection de E et F :

Answer 22

Soit E et F deux ensembles. L’intersection de E et F, notée EnF est l’ensemble des éléments appartenant à la fois à E et F.
EnF = {x€E|x€F} = {x€F|x€E}

Question 23

Définition Union de E et F :

Answer 23

Soit E et F deux ensembles. L’union de E et F est l’ensemble des éléments appartenant à E ou à F. Il est noté EuF.

Question 24

Définition Différence entre A et B :

Answer 24

Soit E un ensemble. A,B deux parties de F. La différence de A par B est l’ensemble des éléments de E qui appartiennent à A, mais non a B, noté A\B.

Question 25

Définition Différence symétrique :

Answer 25

Soit E un ensemble, A et B deux parties de E. La différence symétrique de A et B notée AdeltaB est l’ensemble des éléments appartenant à A ou B, mais pas au deux, autrement dit,
(AuB)(AnB)

Question 26

Propriété Différence symétrique (différente notation) :

Answer 26

Soit E un ensemble, A et B deux parties de E. AdeltaB = (A\B)u(B\A)

Question 27

Définition Quantificateur universel :

Answer 27

L’assertion pour tout (quantificateur universel) x€E, P(x) est vraie lorsque P(x) est vraie pour tout élément x de E.

Question 28

Définition Quantificateur existentiel :

Answer 28

L’assertion il existe (quantificateur existentiel) x€E, P(x) est vraie lorsqu’il existe au moins un élément x de E tel que P(x) est vraie.

Question 29

Définition Quantificateur existentiel unique :

Answer 29

L’assertion il existe un unique (QE unique) x€E est vraie lorsqu’il existe un et un seul élément x de E tel que P(x) est vraie.

Question 30

Propriété Négation sur les quantificateurs :

Answer 30

Non(pour tout x€E, P(x)) = il existe x€E, nonP(x)

Non(il existe x€E, P(x)) = pour tout x€E, nonP(x)

Question 31

Théorème Unique minimum d’une partie :

Answer 31

Soit À une partie de |N non vide, alors A possède un unique minimum a. Il vérifie a€A et pour tout x€A, a=<x

Question 32

Propriété Principe de récurrence :

Answer 32

Soit A une partie de |N non vide qui vérifie pour tout n€A, n+1€A.
Alors, en notant à le minimum de A,
A = {n€|N tel que a=<n} = [a;+l’infini].

Question 33

Définition Indicatrice :

Answer 33

Soit A une partie de F. L’indicatrice de A est la fonction qui a tout élément x de E associe 1 si c appartient à A, 0 sinon. Elle est notée 1_A.

Question 34

Propriété : Indicatrice (rédaction pour 1_A(x) = 1

Answer 34

Soit A une partie de E, alors pour tout x€E, (x€A<=>1_A(x) = 1)

Question 35

Propriété Indicatrice de l’intersection/union de deux parties :

Answer 35

Soit A et B deux parties de E. Alors :
- pour tout x€E, 1_AnB(x) =1_A(x)1_B(x)
- pour tout x€E, 1_AuB(x) = 1_A(x) + 1_B(x) - 1_AnB(x)