Rationale getallen Flashcards
Wat zijn gehele getallen?
Verzameling van de gehele getallen (omvat de natuurlijke getallen en de tegengestelden van de natuurlijke getallen)
Wat is de leerlijn van de gehele getallen?
1e graad:
- Negatieve getallen in een zinvolle context kunnen gebruiken (temperatuur, lift, …
- ZILL: Onderzoeken en vaststellen van negatieve getallen in betekenisvolle situaties
2e graad:
- Binnen een zinvolle context gehele getallen op een as kunnen afbeelden
- De waarde van een getal kunnen afleiden uit zijn plaats op een as
- ZILL: gehele en negatieve getallen lezen, schrijven en vergelijken in betekenisvolle situaties
- betekenisvolle context
- ordenen op getallenas/vergelijken
- Berekenen van het verschil
–> eerst van het negatieve getal tot 0, dan stappen tellen tot aan het getal en hier de som van maken
Negatieve getallen in de klas:
- Weerkaarten bestuderen en lln laten verwoorden
- opzoeken in de krant of op het internet
Wat zijn rationale getallen?
Kommagetallen, breuken en procenten
–> Elk rationaal getal kan op oneindig veel manieren worden voorgesteld
Wat zijn mogelijke misvattingen bij de overgang van natuurlijke naar rationale getallen?
Verschil in aantal representaties
- Natuurlijke –> 1 mogelijkheid
- Rationale –> 3 mogelijkheden (breuk, kommagetal en procent)
verschillen in vergelijken en ordenen
- natuurlijke getallen gemakkelijk te vergelijken in de telrij
- bij rationale getallen moet je breuken gelijknamig maken of door eenzelfde representatie te gebruiken (procent met procent)
Discreet versus dicht
- natuurlijk getal= discreet–> tussen het getal 30 en 32 zit 1 getal (31)
- rationaal getal= dicht –> tussen getal 30 en 32 zitten oneindig veel rationale getallen
Waar staan breuken in het leerplan?
- Getallenkennis= breukbegrip
–> Inzicht verwerven in breuken, kommagetallen, procenten en hun onderlinge relatie - Rekenvaardigheden= rekenen met breuken
–> handig hoofdrekenen met breuken en kommagetallen
Hoe gebruik je het CSA-model bij breuken:
Concreet: materiaal manipuleren of in context
- geheel echt gaan verdelen –> zorgen voor veel variatie en gebruik voorbeelden die herkenbaar zijn voor lln
schematisch: visuele voorstelling
- zo ontdoe je de werkelijkheid van alle overbodige kenmerken
abstract: bewerking
- wiskundige notatie noteren bij de schematische voorstelling op het bord.
Wat zijn de 6 verschijningsvormen van breuken?
- Deel-geheel
- Verhouding
- Kans
- Getal
- Operator
- Maat
Leg de verschijningsvorm ‘Deel-geheel’ uit
- Er is steeds een geheel, ook als deze niet volledig zichtbaar is –> uit context opmaken
- vertrekken vanuit leefwereld van de kinderen
- zelf geheel verdelen in gelijke delen
- het is al verdeeld en kind moet het leren herkennen
Wat is continu en discontinu materiaal?
- Continu materiaal= in principe kan je deze gehelen in om het even hoeveel gelijke delen verdelen en dus ook steeds fijner gaan verdelen
–> Strook papier, een taart, een zak aarde
–> grootheden zoals tijd, lengte, gewicht en afstand - Discontinu materiaal= de grootheid ‘aantal’ kun je enkel verdelen in een beperkt aantal gelijke delen zonder te scheuren, knippen of breken
–> aantal personen, blokken, knikkers
Leg de verschijningsvorm ‘operator’ uit
- De lln maken de koppeling tussen het breukbegrip, hoe je het noteert en hoe je de breuk verwoordt
- dubbele doe-opdracht: verdelen in gelijke delen EN een aantal delen nemen
Heuristiek:
- wat is het geheel?
- in hoeveel gelijke delen is het geheel verdeeld?
- hoeveel is 1 deel?
- hoeveel gelijke delen neem je?
- hoeveel heb je dan in totaal?
Leg de verschijningsvorm ‘getal’ uit van breuken
- Breuken op een getallenas plaatsen
- belangrijk om voldoende ruimte te laten om breuken gelijknamig te maken
Leg de verschijningsvorm ‘verhouding’ uit
exacte aantallen zijn niet belangrijk, wel de verhouding tussen deel en geheel
- deel-deelvergelijking –> verhouding van de delen tov elkaar
- deel-geheelvergelijking –> verhouding van de delen ten opzichte van het geheel
Leg de verschijningsvorm ‘kans’ uit
- toeval bepaalt of een bepaalde speler een bepaalde prijs wint
- heel concreet werken en schematisch ondersteunen met een kruistabel
Leg de verschijningsvorm ‘maat’ uit
- meetresultaten nauwkeuriger schrijven
Welk materiaal kan je bij breuken allemaal gebruiken?
Concreet:
- Breukenblokjes
- Breukstaven
- Breekstokken
- Breukenpizza’s
Schematisch:
- Breukendoos van ZoWiSo
- Breukentafel
Welke soorten breuken bestaan er?
Stambreuken= met teller 1 –> Door het geheel in gelijke delen te verdelen, zie je vlug wat 1 deel is.
Gelijkwaardige breuken= breuken met dezelfde waarde
- laten ervaren dat ze met verschillende breuken eenzelfde deel van het geheel kunnen vormen
- materiaal en betekenisvolle situaties!! –> breukenladder of breukenmuur is goede schematische voorstelling
Welk materiaal kan je gebruiken om breuken te vereenvoudigen?
- breekstokken (C), breukentafel (S) of verhoudingstabel (S-A)
Welke strategieën zijn er om breuken te gaan vergelijken met elkaar?
- Breuken gelijknamig maken
- Residueel denken (hoeveel nog tot geheel?)
- Benchmarking (derde breuk als referentie gebruiken)
- Kloofdenken –> foute strategie
Wat is de leerlijn bij optellen en aftrekken met breuken?
- Gelijknamige breuken optellen en aftrekken
- Ongelijknamige breuken optellen en aftrekken (ene noemer is veelvoud van de andere
- Ongelijknamige breuken optellen en aftrekken
hoe ga je aan de slag om gelijknamige breuken op te tellen?
- Vanuit een schematische voorstellen met de strook gemakkelijk overstappen naar de voorstelling op de getallenlijn
- je maakt de som van de tellers en de noemers behoud je
–> strookmodel, cirkelmodel of breukenmuur
Hoe ga je aan de slag om gelijknamige breuken af te trekken?
- wegneemmodel gebruiken
- maak het verschil van de tellers en behoud de noemers
- vereenvoudig indien mogelijk
- strook of cirkelmodel
Hoe ga je aan de slag om ongelijknamige breuken optellen en aftrekken?
- eerst dezelfde noemer geven
–> elke breuk vervangen door gelijkwaardige breuk- Ene noemer is een veelvoud van de andere noemer
- ene noemer is geen veelvoud van de andere noemer
Hoe kan je differentiëren bij breuken?
- Breuken voluit schrijven en niet in getallen
- Meerdere bewerkingen
- Taliger maken
–> Laat de kinderen hun denkprocessen verwoorden!!
Wat is de leerlijn van breuken vermenigvuldigen en delen?
- Vermenigvuldigen van een natuurlijk getal met een breuk
- Vermenigvuldigen van een breuk met een natuurlijk getal
- 2 breuken met elkaar vermenigvuldigen
Leg uit hoe je een natuurlijk getal vermenigvuldigt met een breuk
- Vermenigvuldiging omzetten naar een herhaalde optelling
- Nadien herstructureren
- opgave lezen als ‘… keer …’
- Breuk vereenvoudigen
- Vermenigvuldig je natuurlijk getal met de teller van de breuk
- Behoud de noemer
- Vereenvoudig
Leg uit hoe je een breuk vermenigvuldigt met een natuurlijk getal
- lees de opgave als ‘3/4 van 100’ ipv ‘3/4 keer 100’
- verschijningsvorm: operator
- Breuk vereenvoudigen
- Deel de noemer met het natuurlijke getal
- Vermenigvuldig met de teller
- vereenvoudig
Welke mogelijkheden heb je bij breuk x breuk?
- Stambreuk x stambreuk
- product is altijd een stambreuk
- Noemer is het product van de noemers van beide factoren - stambreuk x niet-stambreuk
- product is breuk met als noemer product van beide noemers
- teller= teller van de niet-stambreuk - niet-stambreuk x niet-stambreuk
- product is een breuk met als noemer het product van beide noemers
- teller is product van beide tellers
Wat is de leerlijn van breuken delen?
- Breuken delen door een natuurlijk getal –> verdelingsdeling
a. teller deelbaar door natuurlijk getal
- deel de teller door het natuurlijke getal
- behoud de noemer
b. teller is niet deelbaar door de deler
- vervang de breuk door een gelijkwaardige breuk waarbij de teller wel deelbaar is
- werk verder zoals bij ‘teller wel deelbaar’ - natuurlijk getal delen door een (stam)breuk –> verhoudingsdeling
a. Natuurlijk getal delen door een stambreuk
B. natuurlijk getal delen door een niet-stambreuk
- hoeveel keer gaat de (stam)breuk) in het natuurlijk getal? - Breuk delen door een breuk
Wat is de leerlijn van kommagetallen?
- dagelijks leven herkennen
- geld rekenen
- introductie kommagetallen met positietabel: als maatgetal (werkelijkheid waarnemen, meten van een grootheid) of als rekengetal (resultaat van een deling)
Wat is de voorwaarde om met kommagetallen te starten?
De leerlingen moeten het positiestelsel bij natuurlijke getallen goed kennen
Wat is het nut van kommagetallen?
- getal preciezer aanduiden en meetresultaten nauwkeuriger schrijven
- uitbreiding plaatswaardesysteem naar rechts –> 10x, 100x, 1000x kleiner
Wat is een bekende fout bij kommagetallen?
Kommascheidingsfout= deel voor komma en deel na de komma als aparte getallen beschouwen
voorbeelden:
- 0,5 < 0,14 want 5<14
- 2,7 is niet gelijk aan 2,70 want 7 is niet gelijk aan 70
3,6 +2,9= 5,15 want 3+2=5 en 6+9= 15
Pas het CSA-model toe bij kommagetallen
Concreet
- bestaat niet
- sommigen proberen met MAB-materiaal maar kan verwarrend zijn
- 1 vierkant blad van 10cmx10cm en dit dan verdelen in blokjes –> een tiende is dan ook echt een tiende
Schematisch
- Positietabel en lange verwoording
- Getallenlijn uitvergroten
- Meetstroken
- Abacus
Abstract
- de abstracte notatie
Noem de 3 verschijningsvormen van procenten
- als operator
- als verhouding
- als getal
Hoe ga je het begrip ‘procent’ aanbrengen?
- komen veel voor in het dagelijks leven in betekenisvolle situaties –> uitverkoop of batterij van tablet, kortingen, hellingspercentages, …
- procent –> per cent –> verhouding weergeeft ten opzichte van 100
Welke visuele voorstelling zijn er allemaal voor procenten? (CSA-model)
concreet gestructureerd materiaal:
- MAB-materiaal waarbij het vlak het geheel is namelijk 100
Schematisch gestructureerd materiaal
- Honderdveld
- Stroken in 100 gelijke delen verdelen
- Verhoudingstabel
Abstract
- door middel van breuken en/of kommagetallen
Wat wordt er bedoelt met de relatieve betekenis van procenten?
Een procent krijgt maar betekenis als het geheel bekend is en is dus veranderlijk
–> 12% suiker bij 200g appelmoes komt overeen met 24g
–> 12% suiker bij 300g appelmoes komt overeen met 36g
Welke toepassingen zijn er allemaal van procenten?
als operator
- op een continu of discontinu geheel
- de werkelijke grootte die de percentages aanduiden is afhankelijk van het geheel
als verhouding
- verhoudingen met elkaar vergelijken
- omzetten naar percentages
- gebruikmaken van benchmarking –> vergelijken met een derde verhouding
groeipercentages
= als er een beginwaarde, eindwaarde en een toename of afname is bij een bepaalde hoeveelheid
- toename: prijsverhoging, bevolkingstoename
- afname: korting, solden
Welke 3 types van oefeningen heb je bij procenten?
- Hoeveel bedraagt het deel van het geheel?
- Hoeveel procent bedraagt het deel van het geheel?
- deel en geheel zijn getallen
- deel en geheel zijn grootheden (lengtes met procentrekker) - Hoeveel bedraagt het geheel?
Wat zijn de 4 mogelijke oplossingsmethodes bij procenten?
- verhoudingstabel
- pijlenschema
- procentstrook
- decimale breuken (vereenvoudigen)
hoe kan je de relatie breuken, kommagetallen en procenten met materiaal duidelijk maken?
- met de structuur van de breukenmuur kan je breuken vergelijken met procenten en kommagetallen
- spelmateriaal zoals ‘breukosaurus’ waarbij ze trio’s moeten vormen van de 3.
Wat zijn voorwaarden voordat je kan starten met bewerkingen met kommagetallen?
- lln moeten inzicht hebben in de lange verwoording en de kommagetallen op verschillende manieren kunnen lezen
- eigenschappen van bewerkingen met natuurlijke getallen
- herleidingen binnen meten en metend rekenen
Hoe kan je leerlingen ondersteunen bij de bewerkingen met kommagetallen?
- getallenlijn om de doorrekenmethode weer te geven
- pijlenvoorstelling om eigenschappen van de bewerkingen te noteren
- vanuit contexten uit meten en metend rekenen om de tussenstappen inzichtelijk te ondersteunen
- kommagetallen inzichtelijk lezen (lange verwoording) zodat je kan rekenen alsof het natuurlijke getallen zijn
Wat is de leerlijn van kommagetallen optellen en aftrekken?
- optellen en aftrekken met getallen tot op een tiende
- zonder brug en kleiner dan 1
- eerste term groter dan 1 en tweede term bestaat enkel uit tienden - optellen en aftrekken met kommagetallen tot op een honderdste (of duizendste)
Welke ondersteuning kunnen lln gebruiken bi j optellen en aftrekken met kommagetallen tot op een tiende
- kommagetallen wegwerken door te herleiden naar een kleinere maateenheid om aan het einde terug te herleiden naar de gevraagde maateenheid
- Met MAB-materiaal
- Met magneten in een positietabel
- Met een getallenas
- Abstract zonder context
- kommagetallen herstructureren –> 1,2 lezen als 1 en 2t of als 12t
- doorrekenmethode –> eerst de eenheden en dan de tienden bij tellen of aftrekken met de optellingswip of aftrekkingshalter
Optellen en aftrekken met kommagetallen tot op een honderdste (of duizendste)
- Eerst vanuit contexten meten en metend rekenen, daarna met abstracte getallen
Wat doe je als je moet optellen of aftrekken met een kommagetal met verschillend aantal cijfers na de komma?
- gelijk maken door nullen achteraan toe te voegen
- door de termen te herschrijven volgens de kleinste rang van beide zorg je ervoor dat beide termen evenveel cijfers na de komma hebben
Leg uit hoe je gaat vermenigvuldigen met kommagetallen
- lees je als ‘… keer het kommagetal’
- herhaalde optelling van hetzelfde kommagetal
starten vanuit contexten meten en metend rekenen
Welke verschillende oplossingsmethodes heb je bij het vermenigvuldigen van kommagetallen?
- kommagetal wegwerken door te herleiden naar een kleinere maateenheid
- standaardmethode: splitsen en verdelen
evenredigheidseigenschap gebruiken –> x10 bij de tweede term en x10:10 bij de uitkomst - de vermenigvuldigingswip –> :2 bij de eerste term is x2 bij de tweede term
- handige rekenwijze
Wat is de leerlijn bij kommagetallen vermenigvuldigen met cijferen?
- E x kommagetal
- factoren onder elkaar rangschikken waarbij de cijfers rechts zijn uitgelijnd - TE x kommagetal
- pas de vermenigvuldigingswip toe en maak je vermenigvuldigtal tot een kommagetal
- wissel beide factoren van plaats - kommagetal x kommagetal
- getal met de meeste cijfers kiezen als vermenigvuldigtal
- komma in de beide factoren wegwerken
Hoe kan je lln begeleiden om zelf de regel van een kommagetal te ontdekken?
- werken met natuurlijke getallen (door komma weg te werken)
- rekentoestel gebruiken
- hoofdrekenen
- schatten
Hoe kan je lln ondersteunen bij vermenigvuldigen van kommagetallen met cijferen?
- legschema (met MAB-materiaal)
- schrijfschema
Wat is de leerlijn bij kommagetallen delen met cijferen?
- kommagetal : natuurlijk getal
- kommagetal : kommagetal
