PROVA MAT I 1B Flashcards
Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP) – Minas Gerais
No meio da “invasão tecnológica” que toma conta de nossas vidas, dona Antônia esqueceu sua senha bancária justamente na hora de efetuar um saque. Ela lembra que a senha é formada por quatro algarismos distintos, sendo o primeiro 5 e o algarismo 6 aparece em alguma outra posição.
Qual é o número máximo de tentativas que o banco deveria permitir para que dona Antônia consiga realizar o saque?
Primeiramente temos que identificar se este problema está relacionado a um ARRANJO ou a uma COMBINAÇÃO.
Basicamente devemos saber se a ordem dos elementos a serem combinados é importante ou não. Em se tratando de senhas, a ordem de cada número é muito importante, pois a senha 5123 é diferente da senha 5321.
Sendo assim, usaremos Arranjo.
O exercício nos informa que o primeiro dígito é o número 5, e o número 6 estará em algum dos outros 3 dígitos.
Teremos a resposta somando as possibilidades de cada caso, ou seja:
A8,2 + A8,2 + A8,2 = 3.A8,2
Esse número três é proveniente das possibilidades que existem para as posições do número 6 nesta senha.
3A8,2 = 128 possibilidades para o saque.
Universidade Estadual do Rio de Janeiro (EU-RJ)
Para montar um sanduíche, os clientes de uma lanchonete podem escolher:
- Um entre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo;
- Um entre os tamanhos: pequeno e grande;
- De um até cinco entre os tipos de recheio: sardinha, atum, queijo, presunto e salame; sem possibilidade de repetição de recheio num mesmo sanduíche.
Calcule:
a) Quantos sanduíches distintos podem ser montados;
b) O número de sanduíches distintos que um cliente pode montar, se ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada sanduíche.
Este é um problema de Combinação, pois podemos ver que cada elemento é de natureza diferente, então, cada organização feita deste sanduíche resultará em um tipo de sanduíche.
Aqui temos três Combinações diferentes, uma referente ao tipo de pão, outra ao tamanho e outra ao recheio. Quando fazemos a combinação do recheio devemos nos atentar, pois existem 5 modos diferentes do cliente rechear seu sanduíche.
Combinação do pão x Combinação do tamanho x Combinaçaõ do Recheio
A questão (a) quer saber quantas maneiras diferentes o cliente pode montar o seu sanduíche, as escolhas do pão e do tamanho se restringem a apenas uma possibilidade, entretanto, no recheio o cliente pode escolher quantos itens deseja colocar, resultando em 5 possibilidades, cada uma com uma combinação diferente.
a) Somando as possibilidades dos 5 casos, teremos um total de 186 possibilidades para que os clientes montem seus sanduíches.
b) Neste caso o cliente tem algumas preferências, logo restringirá algumas de nossas opções para combinação. Ele escolherá apenas dois recheios, com isso teremos a seguinte combinação:
C2,1 x C1,1 x C5,2 = 2 x 1 x 10 = 20
Universidade Federal de Juiz de Fora – Minas Gerais
Um jornalista foi designado para cobrir uma reunião de ministros de Estado. Ao chegar ao local da reunião, descobriu que havia terminado. Perguntou ao porteiro o número de ministros presentes e ele disse: “Ao saírem, todos os ministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 15 apertos de mão”.
Com base nessa informação, qual foi o número de ministros que estiveram presentes na reunião?
Novamente trata-se de elementos de natureza diferente, pois o fato de o ministro A apertar a mão do ministro B é o mesmo acontecimento do ministro B apertar a mão do ministro A, portanto, trata-se de um problema envolvendo combinação.
Essa quantidade de ministros é o nosso fator de combinação, ou seja, quantos ministros eu tenho que combinar, dois a dois, de modo que eu tenha um total de 15 apertos de mão. Transcrevendo isso na linguagem matemática:
C(m,2) = 15, onde m = quantidade de ministros
Deveremos desenvolver esta equação envolvendo fatorial para que possamos encontrar o valor de m.
Ao desenvolvermos a equação do segundo grau na incógnita m, encontramos o seguinte conjunto solução. S={m=6 ou m=-5}
Como m é a quantidade de ministros, não é possível ter uma quantidade negativa, logo, teremos que o valor de m é 6.
Então, o número de ministros presentes na reunião foi de 6 ministros.
Júlia deseja viajar e levar 5 pares de sapatos, sabendo que ela possui em seu guarda-roupa 12 pares, de quantas maneiras diferentes Júlia poderá escolher 5 pares de sapatos para a sua viagem?
Se Júlia leva o sapato preto e o sapato rosa, é a mesma coisa que ela levar o sapato rosa e o sapato preto, logo, a sequência dos elementos não importa, com isso usaremos Combinação, para eliminarmos os arranjos repetidos.
C(12,5) = 792 combinações.
Em época de eleição para o grêmio estudantil do colégio, tiveram 12 candidatos aos cargos de presidente, vice-presidente e secretário. De quantos modos diferentes estes candidatos poderão ocupar as vagas deste grêmio?
Cada combinação é diferente da outra neste caso, existe diferenciação entre o Candidato A ser presidente e o Candidato B ser vice-presidente, com a possibilidade de B ser presidente e A ser vice. Por isso usaremos Arranjo.
A(12,3) = 1320 possibilidades.
De quantas maneiras diferentes, uma pessoa pode se vestir tendo 6 camisas e 4 calças?
a) 10 maneiras
b) 24 maneiras
c) 32 maneiras
d) 40 maneiras
Resposta correta: b) 24 maneiras diferentes.
Para solucionar esta questão, devemos utilizar o princípio fundamental da contagem e multiplicar o número de opções entre as escolhas apresentadas. Temos:
6.4 = 24 maneiras diferentes.
Portanto, com 6 camisas e 4 calças uma pessoa pode se vestir de 24 maneiras diferentes.
De quantas maneiras diferentes 6 amigos podem sentar em um banco para tirar uma foto?
a) 610 maneiras
b) 800 maneiras
c) 720 maneiras
d) 580 maneiras
Resposta correta: c) 720 maneiras.
Podemos usar a fórmula de permutação, pois todos os elementos farão parte da foto. Note que a ordem que faz diferença.
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 maneiras.
Em uma competição de xadrez existem 8 jogadores. De quantas formas diferentes poderá ser formado o pódio (primeiro, segundo e terceiro lugares)?
a) 336 formas
b) 222 formas
c) 320 formas
d) 380 formas
Resposta correta: a) 336 formas diferentes.
Como a ordem faz diferença, usaremos arranjo. Assim:
A8,3 = 8!/(8-3)! = 8!/5! = 8.7.6 = 336
Portanto, é possível formar o pódio de 336 formas diferentes.
Uma lanchonete tem uma promoção de combo com preço reduzido em que o cliente pode escolher 4 tipos diferentes de sanduíches, 3 tipos de bebida e 2 tipos de sobremesa. Quantos combos diferentes os clientes podem montar?
a) 30 combos
b) 22 combos
c) 34 combos
d) 24 combos
Resposta correta: d) 24 combos diferentes.
Usando o princípio fundamental da contagem, multiplicamos o número de opções entre as escolhas apresentadas. Assim:
4.3.2 = 24 combos diferentes
Portanto, os clientes podem montar 24 combos diferentes.
Quantas comissões de 4 elementos podemos formar com 20 alunos de uma turma?
a) 4 845 comissões
b) 2 345 comissões
c) 3 485 comissões
d) 4 325 comissões
Resposta correta: a) 4 845 comissões.
Note que como para uma comissão a ordem não faz diferença, usaremos a fórmula de combinação para calcular:
C20,4 = 4845 comissões.
A família de Carlos é formada por 5 pessoas: ele, sua esposa Ana e mais 3 filhos, que são Carla, Vanessa e Tiago. Eles desejam tirar uma foto da família para enviar como presente ao avô materno das crianças.
Determine o número de possibilidades de os membros da família poderem se organizar para tirar a foto e de quantas formas possíveis Carlos e Ana podem ficar lado a lado.
Resposta correta: 120 possibilidades de foto e 48 possibilidades de Carlos e Ana estarem lado a lado.
Primeira parte: número de possibilidades dos membros da família se organizarem para tirar a foto
Cada forma de dispor as 5 pessoas lado a lado corresponde a uma permutação dessas 5 pessoas, uma vez que a sequência é formada por todos os membros da família.
O número de posições possíveis é:
5! = 120
Portanto, há 120 possibilidades de foto com os 5 membros da família.
Segunda parte: formas possíveis de Carlos e Ana ficarem lado a lado
Para que Carlos e Ana apareçam juntos (lado a lado), podemos considerá-los como uma única pessoa que irá permutar com as outras três, num total de 24 possibilidades.
4! = 24
Porém, para cada uma dessas 24 possibilidades, Carlos e Ana podem trocar de lugar entre si, de 2 maneiras distintas.
2! = 2
Assim, o cálculo para encontrar o resultado é:
4!.2! = 24.2 = 48
Sendo assim, existem 48 possibilidades de Carlos e Ana tirarem a foto lado a lado.
Uma equipe de trabalho é formada por 6 mulheres e 5 homens. Eles pretendem se organizar em grupo de 6 pessoas, com 4 mulheres e 2 homens, para compor uma comissão. Quantas comissões podem ser formadas?
a) 100 comissões
b) 250 comissões
c) 200 comissões
d) 150 comissões
Resposta correta: d) 150 comissões.
Para formar a comissão deve-se escolher 4 das 6 mulheres (C6,4) e 2 dos 5 homens (C5,2). Pelo princípio fundamental da contagem multiplicamos estes números:
C6,4.C5,2 = 150
Assim, podem ser formadas 150 comissões com 6 pessoas e com, exatamente, 4 mulheres e 2 homens.
