Proposição Lógica Flashcards
O que é uma proposição lógica?
1- É uma oração que apresenta SUJEITO e PREDICADO;
2- É declarativa (apresenta uma informação);
3- Possui valor lógico bivalente (verdadeiro ou falso);
4- Só há 2 valores lógico (Exclusão do terceiro);
5- Não há “meio termo”, “quase verdade” ou “quase falsa”.
Não são proposições:
1- Perguntas;
2- Exclamações;
3- Ordens;
4- Paradoxos;
5 - OPINIÕES;
6 - Sentenças Abertas (Frases sem verbos ou equações sem o valor da variável);
Operador de CONJUNÇÃO
1- O conectivo “e” (^) passa a ideia de VERDADE;
1.1- Pode ser representado pela MULTIPLICAÇÃO (AND);
2- Uma conjunção só é verdadeira se TODAS as proposições dela forem VERDADEIRAS;
2.1- Verdadeiro = 1 / Falso = 0
Ex: Estou com calor E quero dormir
P e Q / P ^ Q
V e V = V ———————-1 e 1 = 1
V e F = F ———————-1 e 0 = 0
F e V = F ———————- 0 e 1 = 0
F e F = F ———————- 0 e 0 = 0
Operador de DISJUNÇÃO
1- O conectivo “OU” ( v ) passa a ideia de que PELO MENOS UMA proposição é verdadeira;
1.1- Pode ser representado pela SOMA (OR);
2- A disjunção só será falsa se TODAS as suas proposições forem FALSAS;
2.1- Verdadeiro = 1 / Falso = 0
Ex: Estou com calor OU quero sorvete
P ou Q / P v Q
V ou V = V ————————– 1ou 1 = 1
V ou F = V —————————1ou 0 = 1
F ou V = V —————————0 ou 1 = 1
F ou F = F ————————— 0 ou 0 = 0
Operador de CONDICIONAL
1- O conectivo “SE…,ENTÃO” passa a ideia de: uma CONDIÇÃO implica em um RESULTADO;
(P → Q)
2- Único caso em que a Condicional será falsa é quando a primeira proposição for Verdadeira e a segunda for Falsa:
Mnemônico VERA FISHER é FASHION (V ->F = F);
ATENÇÃO¹:
A troca de ordem das proposições altera o valor lógico:
P→Q ≠ Q →P
ATENÇÃO²:
Termos suficiente e necessário:
Regra:
O que está a esquerda da seta é sempre condição SUFICIENTE para o da direita;
O que está à direita é sempre condição NECESSÁRIA para o da esquerda;
( p →q)
ATENÇÃO³:
SEMPRE que aparecer uma questão com a estrutura “TODO A é B”, você poderá transformá-la em uma CONDICIONAL:
“Se é A, então é B” ———- (A → B)
Ex: SE estou com calor, ENTÃO quero sorvete
P → Q
V → V = V
V → F = F
F → V = V
F → F = V
Operador de BICONDICIONAL
1- O conectivo “SE, E SOMENTE SE…” (<–>) passa a ideia de SIMULTANEIDADE;
2.1- A Bicondicional só será Verdadeira se as proposições tiverem valores lógicos IGUAIS;
2.2- A Bicondicional será Falsa se as proposições tiverem valores lógicos DIFERENTES;
Ex: Estou com calor SE, E SOMENTE SE estou com calor;
P <–> Q
V <–> V = V
V <–> F = F
F <–> V = F
F <–> F = V
Operador de DISJUNÇÃO EXCLUSIVA:
1- O conectivo “OU…OU…” ( v ) passa a ideia de EXCLUSÃO;
1.1- As proposições terão valores lógicos OPOSTOS;
2- Produz um valor VERDADEIRO apenas se a quantidade de operadores verdadeiros for ÍMPAR (XOR ou EXOR).
2.1- Verdadeiro = 1 / Falso = 0
Ex: OU estou com calor OU quero sorvete;
P v Q
V v V = F
V v F = V
F v V = V
F v F = V
Como saber quantas LINHAS uma Tabela-Verdade terá?
Número de linhas da tabela:
2^n (2 elevado a n)
Nesta fórmula, “n” é o número de proposições simples presentes na expressão.
Ex: A v [(~B) ^ C]
Nesse caso, temos n = 3 proposições simples (A, B e C). Assim, o número de linhas da nossa tabela é:
2^n = 2^3 = 2x2x2 = 8 linhas
ATENÇÃO:
Casos em que tenha a proposição Negativa junto a sua positiva, não conta no cálculo de linhas.
*Ex: P ^ ~P —————- 2^1 = 2.
TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO e CONTINGÊNCIA (INDETERMINAÇÃO)
1- Tautologia: é uma função lógica que é sempre verdadeira (V) para quaisquer valores de suas variáveis proposicionais.
Ex: Ou o político é ladrão ou o político não é ladrão
Temos duas proposições
A: O político é ladrão;
~A: O político não é ladrão
Por conta do conectivo OU, ou isso ou aquilo, não tem como ambas serem falsas (F / F), nem ambas serem verdadeiras (V / V), logo os casos possíveis são V / F ou F / V, situação em que o resultado é sempre verdadeiro, ou seja, uma tautologia.
I - P → P condicional;
II - P <-> P bicondicional;
III- P v (~P) disj. inclusiva;
IV - P V- (~P) disj. esclusiva;
2- Contradição: é uma função lógica que é sempre falsa (F) para quaisquer valores de suas variáveis proposicionais
Ex: Vamos analisar a tabela verdade para a proposição (A ^ ~A)
Não importa o que ocorra com as proposições simples, a última coluna é sempre Falsa (F). Assim, pode-se afirmar que a função lógica dada, (A ^ ~A) , é uma contradição.
3- Contingência: quando não há nem uma tautologia e nem uma contradição, ou seja, quando a tabela-verdade apresenta, ao mesmo tempo, alguns valores verdadeiros e alguns falsos, a depender do valor das proposições que dão origem à afirmação em análise.
*Ex: Pode-se verificar que a sentença
(A <–> B) é uma contingência, verificando-se sua tabela-verdade.
FORMAS ALTERNATIVAS DAS PROPOSIÇÕES:
1- “mas” tem sentido de conjunção (“e”);
2- “…ou…, mas não ambos” tem sentido de disjunção exclusiva;
3- Exemplo de Formas alternativas para a CONDICIONAL:
3.1- Quem está com calor quer sorvete;
3.2- Toda vez que estou com calor, quero sorvete;
3.3- Quando estou com calor, quero sorvete;
3.4- Estou com calor, logo, quero sorvete;
3.5- Sempre que estou com calor, quero sorvete;
3.6- Caso esteja com calor, vou querer sorvete;
3.7- Quero sorvete, pois estou com calor
3.7.1- nesse caso, primeiro veio o resultado, depois veio a condição.
Negação de proposições simples
1- A negação de uma proposição é uma outra proposição cujo valor lógico é sempre o seu OPOSTO;
2- Usa-se os símbolos ~ ou então ¬ para representar o operador negação;
3- Para negar uma proposição basta achar o MÍNIMO que preciso fazer para DESMENTIR o autor da frase;
Atenção:
A Negação de Todos ≠ Nenhum, pois as duas situações podem ter valores lógicos iguais:
Todo gato mia = Pode ser Falso;
Nenhum gato mia = Também pode ser Falso;
Negação de TODO:
ALGUM gato NÃO mia
EXISTE gato que NÃO mia
PELO MENOS UM gato NÃO mia
NEM TODOS os gatos miam;
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Algum cão tem 5 patas
Negação de ALGUM:
Neste caso precisamos avaliar todos os cães para demonstrar que NENHUM deles tem 5 patas:
NENHUM cão tem 5 patas
NÃO EXISTE cão com 5 patas
TODO cão tem um número de patas diferente de 5
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
Para NEGAR uma proposição, basta procurar:
O que é o MÍNIMO que preciso fazer para DESMENTIR o autor da frase?
-
Negação da Conjunção:
P ^ Q => ~P v ~Q -
Negação da Disjunção:
P v Q => ~P ^ ~Q -
Negação da Condicional:
Mnemônico = MANÉ (MAntém a primeira e NEga a segunda):
P → Q => P ^ ~Q -
Negação da Bicondicional:
Forma 1:
P↔Q => P v Q
Forma 2: Nega um dos lados da proposição
P ↔ ~Q ou então: ~P ↔ Q
-
Negação da Disjunção Exclusiva:
P v Q => P↔Q
Bizu de negação para Quantificadores: NENHUM, TODO, ALGUM e NÃO EXISTE:
Proposição | Negação
Todo A é B | Algum A não é B
Nenhum A é B | Algum A é B
Algum A é B | Nenhum A é B
Algum A não é B | Todo A é B
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Negação do pelo menos um, algum ou existe um é NETONÃO = NENHUM OU TODO+NÃO
EX: Algum concurseiro estuda para prova
negação: Nenhum concurseiro estuda para prova; ou
Todo concurseiro não estuda para prova
TODO e QUALQUER
Pelo menos um + NÃO;
Existe + NÃO
Algum+ NÃO
(e vice versa);
“P.E.A. + Não” é negação de TODO;
NENHUM
Pelo menos um;
Existe;
Algum;
(e vice versa);
Apenas “P.E.A.” é com NENHUM;
ALGUM
Nenhum;
Não Existe;
TUDO
Nem tudo;
Não vou mais ter X Ainda vou ter
QUANTIFICADORES
Universais:
Todo, Nenhum, Qualquer
Existenciais:
Existe, Pelo menos um, Existe, Algum, Nem todo;
Dica¹: Se for o quantificador Universal você troca pelo Existencial e vice versa.
Resolução: Troca a primeira parte por TODO por não ter nenhum nas respostas. Depois você vai para a parte do conectivo Se…, então.
Negação do TODO
1. Existe um + não
2. Pelo menos um + não
3. Algum + não
Negação do Algum:
1. Nenhum
2. Todo + não
Negação do Nenhum:
1. Existe um
2. Pelo menos um
3. Algum
Negação do V(ou) é Só trocar pelo ^ ( e ) negando;
PROPOSIÇÕES EQUIVALENTES
1- Duas proposições são equivalentes entre si quando elas apresentam a mesma informação (embora de maneiras diferentes), ou seja, possuem a mesma tabela-verdade;
ATENÇÃO:
As equivalências mais COBRADAS em provas são essas:
1° (P → Q)
2° (~Q→~P) => Contrapositiva
3° (~P ou Q) => Mnemônico = NEyMAr (NEga a Primeira ou MAntém a segunda)
Precedência de Conectivos
1° Realizar as operações de NEGAÇÃO (~);
2° Realizar as operações de CONJUNÇÃO (^);
3° Realizar as operações de DISJUNÇÃO (v);
4° Realizar as operações de CONDICIONAL (->);
1) “E” CONJUNÇÃO
2) “OU” DISJUNÇÃO NÃO EXCLUDENTE
3) “OU…OU” DISJUNÇÃO EXCLUDENTE
4) “SE, ENTÃO” CONDICIONAL
5) “ SE, E SOMENTE SE” BICONDICIONAL
