Probabilités Flashcards
Quelles sont les 3 approches probabilistes ?
- Théorique (calculer une probabilité).
- Fréquentielle (observer une fréquence relative).
- Subjective (exprimer une opinion probabiliste).
Vrai ou faux, selon la loi des grands nombres, plus que je réalise des essaies avec piles et faces, moins que la compilation des résultats (piles ou face) se rapprochera de 50%, mais le résultat sera que un des résultats c’est plus démarqués.
Faux
Vrai ou faux : Les approches théorique, fréquentielle et subjective des probabilités sont complémentaires?
Vrai, même si elles sont rarement abordées dans leur multiplicité.
Un enseignement-apprentissage des probabilités combinant les approches théorique et fréquentielle offre aux élèves…
- Le potentiel d’amener à développer des intuitions probabilistes appropriées.
- À éviter certaines conceptions probabilistes.
Vrai ou faux, si l’on lance un dé équilibré un grand nombre de fois, la moyenne des résultats tendra à se rapprocher de 3,5, qui est l’espérance théorique (la moyenne des faces possibles). Plus le nombre de lancers augmente, plus la moyenne observée sera proche de cette valeur
Vrai
Nommez les 5 caractéristiques de l’approche théorique.
- C’est l’approche classique.
- Elle inclut notamment des tâches de vocabulaire et de dénombrement des cas possibles.
- Les probabilités y sont déterminées par le calcul du rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles d’un événement lorsque tous les cas sont jugés équiprobables.
- Pour exprimer le résultat émergeant de ce type de calcul, on a généralement recours à l’écriture fractionnaire.
- Probabilté = nbr cas favorables / nbr cas possibles.
Nommez les 3 caractéristiques de l’approche fréquentielle.
- C’est une approche (moins fréquemment abordée) qui vise à mesurer la fréquence relative d’un événement particulier par rapport à une classe de référence.
- Cette approche implique la réalisation d’essais et indique une fréquence absolue (soit un nombre naturel, appelé aussi effectif) ou relative (soit un nombre décimal ou un pourcentage, en se référant au tout).
- Une probabilité y est dégagée à travers la répétition d’un évènement dont on observe la fréquence relative se stabiliser à la suite d’une série de données compilées.
La variabilité
Dans le cadre des probabilités, la loi de la variabilité se réfère à la manière dont les résultats d’une expérience aléatoire se dispersent autour d’une valeur centrale, généralement la moyenne ou l’espérance. Autrement dit, elle explique que les résultats d’un événement aléatoire ne seront pas toujours égaux, mais varieront de manière prévisible, suivant une certaine distribution.
Nommez les 4 caractéristiques de l’approche subjective.
- C’est l’approche la moins fréquemment abordée.
- Elle amène à évaluer la force d’une croyance à travers une analyse intuitive de l’information dont il dispose.
- Elle passe par l’expression d’une opinion probabiliste.
- Cette approche des probabilités permet d’évaluer la mesure de certitude associée à certains événements
personnels (par exemple la réussite d’un examen ou d’une épreuve physique) ; sociaux (par exemple l’issue d’un scrutin, d’un match ou d’un film) ;
scientifiques (par exemple la météorologie).
Vrai ou faux, Vous lancez un dé équilibré 5 fois. Vous pourriez obtenir les résultats suivants : 2, 5, 3, 6, 4. Ces résultats varient autour de la moyenne (qui est 3,5), mais chaque lancer donne un résultat différent
Vrai, la loi de la variabilité explique que, même si la moyenne théorique est 3,5, les résultats individuels vont fluctuer autour de cette valeur, ce qui montre la variabilité des résultats.
Des allers-retours et des combinaisons entre les approches probabilistes sont possibles. Ces combinaisons permettent d’adopter un regard complémentaire pour approcher, lorsque le contexte le permet, la probabilité associée à un ou des évènements.
Nommez les combinaisons possibles entre les 3 approches.
- Les approches théorique et fréquentielle.
- Les approches théorique et subjective.
- Les approches subjective et fréquentielle.
- Les approches théorique, fréquentielle et subjective.
Comment réduire l’incertitude dans la probabilité fréquentielle et théorique?
La réalisation d’un nombre suffisant d’essais permet de faire le rapprochement entre la «probabilité fréquentielle» et la «probabilité théorique», puisque les principes de la loi des grands nombres supposent que la variabilité des données aura tendance à être plus petite dans un grand échantillon.
Toutefois, ce n’est que la réalisation d’une infinité d’essais qui permettrait de rendre égales la «probabilité fréquentielle» et la «probabilité théorique».
L’augmentation du nombre d’essais jusqu’à une quantité suffisante (mais inférieure à l’infini) permet d’élever le niveau de certitude associé à une hypothèse qui peut être énoncée au regard des probabilités théoriques.
Nommez les 4 étapes qui mènent l’approche fréquentielle vers l’approche théorique.
- Faire systématiquement des essais en reproduisant une expérience aléatoire.
- Observer une fréquence dans les résultats.
- Atteindre un nombre suffisant d’essais.
- Poser une hypothèse sur la probabilité théorique de voir l’évènement survenir.
L’enseignement-apprentissage des probabilités devrait être basé sur quoi? Pourquoi?
Une articulation des trois approches probabilistes. Ces approches, qui présentent des particularités complémentaires, peuvent être présentées en juxtaposition ou en superposition aux élèves. Encore une fois, plutôt que de privilégier une avenue plutôt qu’une autre, c’est le développement d’une flexibilité dans le recours à ces approches probabilistes qu’il s’agit de viser avec les élèves!
Comment est-ce qu’on formule une hypothèse en probabilité? C’est quoi que ça signifie?
Formuler une hypothèse signifie de proposer une idée de base que l’on considère comme vraie avant de tester les résultats.
Que sont les conceptions probabilistes ?
- Elles sont des constructions mentales élaborées à partir de l’interaction entre les connaissances antérieures et une nouvelle expérience chez une personne.
- Elles persistent dans le temps et reviennent comme
de la mauvaise herbe.
Vrai ou faux + nommez la conception.
Rose a 10 ans. Dans sa boite, il y a 40 billes blanches et 20 billes noires. César, qui a 8 ans, a dans sa boite 30 billes blanches et 15 billes noires. Chacun d’eux tire une bille de sa boite, sans regarder. César affirme que Rose a plus de chance de piger une bille blanche parce qu’elle est plus vieille, et que par conséquent elle est la plus habile des deux.
Faux.
La conception liée à la chance et la qualité du joueur. Une telle personne a tendance à assigner un rôle, dans les évènements aléatoires, aux qualités personnelles des joueurs (par exemple, son intelligence, son habileté, son âge, etc.), malgré le fait qu’objectivement, de tels effets n’existent pas.
Imaginons que quelqu’un roule 2 dés simultanément. Laquelle des deux possibilités suivantes est la plus probable : obtenir un 5 et un 6 ou obtenir un 6 et un 6?
A) 6 et 6 et 5 et 6 ont la même probabilité de survenir;
B) 6 et 6 a une plus grande probabilité de survenir;
C) 5 et 6 a une plus grande probabilité de survenir.
Nommez la conception.
La bonne réponse : C
La conception liée à la confusion entre des évènements simples et composés. Choisir A implique cette conception. Cette conception, souvent présente dans le cas de suites d’évènements particuliers où l’ordre des résultats a une importance, fait croire à l’idée que les deux combinaisons d’évènements ont une même probabilité de se produire. Il existe en somme 2 principaux types d’interprétations d’un raisonnement inscrit dans cette conception : Les deux évènements sont l’effet du hasard et, en conséquence, il n’y a aucune raison d’accorder une plus grande probabilité à l’un de ces évènements qu’à l’autre. Les résultats 5 et 6 sont équiprobables et donc toutes les combinaisons de deux nombres possibles présentent la même probabilité.
Donne un exemple d’une hypothèse.
Exemple: “La pièce est équilibrée, donc la probabilité d’obtenir face est de 50 %.”
Comment réalisons-nous les essaies?
On réalise les essaie en réalisant la tâche (lancé pièce ou dé). Pour ce faire, vous devez lancer l’objet en utilisant des conditions équivalentes d’un essai à l’autre. Et vous ne devez pas tricher (en essayant d’obtenir une position)!
Pour garder des traces des résultats de vos essais, vous pourriez vous faire un tableau de compilation comme celui-ci sur une feuille.
Vrai ou faux + nommez la conception.
Lorsqu’elle participe à une loterie, Amélie choisit des nombres consécutifs comme 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Véronique déclare que les chances d’obtenir 6 nombres consécutifs sont plus petites que les chances d’obtenir une quelconque séquence aléatoire de 6 nombres. Cette dernière affirme que la loterie est un jeu de hasard et qu’on ne peut obtenir des nombres consécutifs.
Faux.
La conception de représentativité. Véronique présente cette conception. Une telle personne a tendance à estimer les possibilités d’un évènement en fonction du degré de similitude de ses caractéristiques essentielles avec celles de la population parente ou, encore, en s’appuyant sur les faits saillants de la procédure par laquelle cet évènement a été généré et sur la façon dont celui-ci reflète ces faits saillants.
Daniel rêve de devenir médecin. Il aime aider les gens. Quand il était au secondaire, il était volontaire pour la Croix rouge. Il a fait de brillantes études et il a servi dans l’armée en tant qu’assistant médical. À la fin de son service militaire, Daniel s’est inscrit à l’université. Qu’est-ce qui semble le plus probable ?
A) Daniel est un étudiant à l’école de médecine ?
B) Daniel est un étudiant ?
Nommez la conception.
Bonne réponse : B
La conception liée à l’erreur de conjonction. Choisir A implique cette conception. Avec cette conception, la probabilité d’un évènement en interaction simultanée avec un autre évènement apparait, sous certaines conditions, plus probable que la probabilité de voir survenir le même évènement, mais individuellement. Pourtant, en probabilités, la possibilité d’occurrence simultanée de deux évènements distincts est moins probable que la chance d’apparition d’un seul de ces deux évènements.
Quel sont les étapes de réalisation d’un évènement probabiliste?
- Hypothèse
- Réalisation des essaies
- Interprétation des résultats
Vrai ou faux + nommez la conception.
Lorsqu’on lance une pièce de monnaie, il y a deux résultats possibles : soit pile, soit face. Alexandre a lancé une pièce trois fois, et à chaque coup le côté face est sorti. Alexandre veut lancer la pièce encore une fois et il croit que la pièce est rendue à donner un pile.
Faux.
La conception liée aux effets trompeurs de la recension. Alexandre présente cette conception. Cette conception est en lien avec l’indépendance des évènements ou des probabilités. Elle est basée sur la nécessité d’une équilibration entre les fréquences des différents résultats possibles à travers des essais. Une telle personne a tendance à croire que la fréquence des évènements d’une expérience aléatoire a une influence à long terme sur la probabilité d’obtenir un résultat particulier. Dans le cas présent, on parlerait des effets positif (face) ou négatif (pile) de la recension.
Deux amis sont assis côte à côte. Ils ont chacun une pièce de monnaie et ils jouent à pile ou face en parallèle. Le premier ami gagne s’il obtient face. Il lance la pièce 25 fois et il obtient 15 fois face. Le deuxième ami gagne s’il obtient pile. Il lance la pièce 75 fois et il obtient 45 fois pile. Lequel des deux amis a été le plus chanceux?
A) Les deux amis ont été aussi chanceux.
B) Le deuxième ami a été le plus chanceux.
C) Le premier ami a été le plus chanceux.
Nommez la conception.
Bonne réponse : B
La conception liée à l’effet de la taille de l’échantillon : Choisir A implique cette conception. La personne qui présente cette conception a tendance à ignorer l’effet de la taille de l’échantillon dans son estimation des probabilités d’un ou de plusieurs évènements probabilistes. L’effet le plus courant associé à cette conception serait d’accorder au nom de la proportionnalité une même probabilité à 2 évènements distincts, et ce, indépendamment des échantillons que ceux-ci sous-tendent. Dans ce sens, Tversky et Kahneman (1971) ont parlé d’une application erronée de la loi des grands nombres à des petits nombres, c’est-à-dire la loi des petits nombres.
C’est quoi un tirage avec remise?
Cela signifie que, après avoir tiré un élément (par exemple, une boule dans une urne), on le remet dans l’urne avant de tirer à nouveau. Chaque tirage est indépendant, et la probabilité reste la même à chaque tirage.
Vrai ou faux + nommez la conception.
David roule en voiture dans une ville et il est heurté par un autre véhicule. À partir de ce jour, il estime que la probabilité d’être impliqué dans un accident de la route est élevée dans cette ville.
Faux.
La conception liée à l’accessibilité. David présente cette conception. Une telle personne a tendance à estimer les probabilités d’un évènement sur la base de la facilité avec laquelle des exemples particuliers de l’évènement peuvent lui venir à l’esprit, par la facilité de rappel, de construction ou d’association.
C’est quoi un tirage sans remise?
Après avoir tiré un élément, on ne le remet pas dans l’urne. Cela change les probabilités à chaque tirage, car il y a moins d’éléments disponibles à chaque fois.
C’est quoi un évènement dépendant?
Un événement dépendant se produit quand la probabilité de l’événement est influencée par un événement précédent. Par exemple, si tu tires une boule sans la remettre, la probabilité de tirer une autre boule change.
C’est quoi un événement indépendant?
Un événement est indépendant si le résultat d’un tirage n’affecte pas le suivant. Par exemple, lancer une pièce plusieurs fois, chaque lancer ne dépend pas des autres.
Nommez 3 exemples de probabilités qui se retrouvent dans la vie de tous les jours.
- La probabilité de précipitation en météorologie.
- Les primes d’assurance.
- L’achat d’une garantie prolongée.
C’est quoi un évènement incertain?
Un événement incertain est un événement dont le résultat n’est pas prévisible avec certitude, mais qui peut être analysé en termes de probabilité. Par exemple, “tirer une boule rouge” dans une urne.
C’est quoi un évènement retenant du hasard?
Le hasard désigne un événement dont le résultat est totalement imprévisible, comme le résultat d’un lancer de dés.
Vrai ou faux : les probabilités sont un domaine mathématique contreintuitif qui pose plusieurs défis conceptuels (élèves et enseignants).
Vrai.
C’est quoi l’arbre des probabilités?
C’est un diagramme qui montre toutes les possibilités d’événements dans une situation, avec leurs probabilités. Cela permet de visualiser les différents résultats possibles et de calculer les probabilités combinées.
Dans une urne, il y a 3 boules rouges et 2 boules bleues. On tire une boule au hasard, puis on la remet dans l’urne et on tire une deuxième boule.
Construis un arbre de probabilité pour cet exercice.
Calcule la probabilité de tirer deux boules rouges.
L’arbre de probabilité aura deux branches principales : une pour le premier tirage (rouge ou bleue) et une pour le deuxième tirage (encore rouge ou bleue, car la boule est remise).
Ensuite, pour chaque branche, tu calcules les probabilités et les multiplies pour obtenir la probabilité des événements combinés (deux boules rouges dans ce cas).
Vrai ou faux : la pensée probabiliste ne permet pas de sensibiliser les jeunes aux dangers des jeux de hasard et d’argent.
Faux. Elle permet de sensibiliser les jeunes.
C’est quoi le diagramme de Venn?
Un diagramme de Venn est un dessin avec des cercles qui montrent les relations entre différents événements. Les zones où les cercles se croisent représentent des événements qui peuvent se produire en même temps.
Quels sont les éléments dans un diagramme de Venn? Décris les cercles et les zones.
Les cercles : Un diagramme de Venn est composé de cercles qui représentent des événements ou des ensembles. Chaque cercle montre un groupe d’éléments qui partagent une caractéristique commune.
Les zones :
Zone unique : Représente les éléments qui font partie uniquement de cet ensemble (par exemple, les éléments qui sont dans l’ensemble A, mais pas dans l’ensemble B).
Zone d’intersection : L’endroit où les cercles se croisent. Cette zone représente les éléments qui appartiennent à plusieurs ensembles à la fois. Par exemple, les éléments qui sont à la fois dans A et dans B.
Zone à l’extérieur des cercles : Les éléments qui ne font partie d’aucun des ensembles représentés par les cercles.
Nommez les éléments que représente la corde à linge probabiliste.
- La diversité (expériences sociales variées des élèves).
- Les phénomènes socioécologiques (évènements incertains ou risqués découlant d’enjeux sociaux, environnementaux, politiques, etc.)
- Le jugement critique (pertinence des informations, conscience de l’affectivité).
Que veut dire A ∪ B
- A union B
- Cela représente tous les éléments qui sont dans A, dans B, ou dans les deux. C’est la zone qui couvre tous les cercles et leurs intersections.
Que veut dire A ∩ B?
- A intersection B
- Cela représente les éléments qui sont à la fois dans A et dans B (la zone où les cercles se croisent).
Que veut dire A - B?
- A différence de B
- Cela représente les éléments qui sont dans A mais pas dans B. C’est la zone dans le cercle A, mais pas dans l’intersection.
Vrai ou faux : pour exercer les probabilités et la prise de décision, il est suggérer, au primaire, d’utiliser de manière qualitative, la matrice des risques.
Vrai.
Que veut dire complément dans le diagramme de Venn?
Cela représente tous les éléments qui ne font pas partie d’un ensemble donné. Par exemple, le complément de A (noté A’) contient tous les éléments qui ne sont pas dans A.
Dans un diagramme de Venn, représente cet exercice:
Dans une classe de 30 élèves, 18 élèves aiment les mathématiques, 12 élèves aiment les sciences, et 7 élèves aiment à la fois les mathématiques et les sciences.
1. Représente cette situation avec un diagramme de Venn.
2. Calcule la probabilité qu’un élève choisi au hasard aime les mathématiques ou les sciences.
Diagramme de Venn :
Ensemble A : Les élèves qui aiment les mathématiques (18 élèves).
Ensemble B : Les élèves qui aiment les sciences (12 élèves).
Intersection A ∩ B : Les élèves qui aiment à la fois les mathématiques et les sciences (7 élèves).
Voici comment organiser les informations :
Dans l’intersection (A ∩ B), tu mets 7 élèves.
Le reste des élèves qui aiment uniquement les mathématiques sera 18 - 7 = 11 élèves. Donc, dans la partie de A mais pas de B, tu mets 11.
Le reste des élèves qui aiment uniquement les sciences sera 12 - 7 = 5 élèves. Donc, dans la partie de B mais pas de A, tu mets 5.
Enfin, pour les élèves qui n’aiment ni les mathématiques ni les sciences, tu mets 30 - (11 + 7 + 5) = 7 élèves.
Le calcule de la probabilité:
On te demande de calculer la probabilité qu’un élève aime les mathématiques ou les sciences. Cette probabilité inclut :
Ceux qui aiment les mathématiques (11 + 7 = 18)
Ceux qui aiment les sciences (5 + 7 = 12)
Mais attention, les élèves qui aiment à la fois les mathématiques et les sciences ont été comptés deux fois, une fois dans chaque ensemble. Il faut donc les enlever une fois de l’addition.
La probabilité est donc de 23 sur 30.
Expliquez ce qu’est la matrice des risques.
La matrice des risques est un outil simple qui permet de réfléchir à des situations en tenant compte de deux éléments importants : la probabilité qu’un événement arrive et la gravité de ses conséquences. En combinant ces deux aspects, on peut mieux comprendre si un risque est faible ou élevé, et décider s’il faut agir ou non.
Par exemple, si un événement est très probable, mais pas grave du tout, il ne cause pas beaucoup de souci. À l’inverse, si un événement est rare, mais très grave lorsqu’il se produit, il peut quand même représenter un risque important.
Qu’est-ce qu’une expérience aléatoire ?
Une action dont le résultat n’est pas prévisible à l’avance, mais pour laquelle on connaît tous les résultats possibles. On peut la répéter, et elle donne des résultats au hasard (lancer un dé à six faces, lancer une pièce de monnaie, tirer une carte dans un jeu).
À la suite de la réalisation de l’activité de la corde à linge, en classe cette tâche peut être fait dans quelle occasion?
Peut être pilotée en virtuel, au TNI ou avec du matériel imprimé;
en grand groupe, petites équipes ou de manière individuelle…
Représente une occasion pour parler de
diversité (expériences sociales variées des élèves)
phénomènes socioécologiques (évènements incertains ou risqués découlant d’enjeux sociaux, environnementaux, politiques, etc.)
jugement critique (pertinence des informations, conscience de l’affectivité)
et de mathématiques!
Explique moi c’est quoi un évènement certain?
Un événement est certain s’il se réalise à chaque essai, c’est-à-dire qu’il a une probabilité égale à 1.
Donne moi un exemple d’un évènement probable?
Le fait qu’un lancer de dé donne un résultat compris entre 1 et 6 (tous les résultats possibles sur un dé à 6 faces).
C’est quoi un évènement impossible?
Un événement est impossible s’il ne peut jamais se réaliser, c’est-à-dire qu’il a une probabilité de 0.
Donne moi un exemple d’un évènement impossible.
Le fait qu’un lancer de dé donne un résultat de 7.
C’est quoi un évènement probable?
Un événement est probable lorsqu’il a une probabilité qui est supérieure à 0, mais inférieure à 1. Cela signifie qu’il a des chances de se produire, mais n’est pas garanti.
Donne moi un exemple d’un évènement probable.
Lors d’un tirage au sort parmi 1000 tickets, le fait de tirer un ticket gagnant est probable, mais pas certain.
C’est quoi un événement peu probable?
Un événement est peu probable lorsqu’il a une probabilité faible mais non nulle. Il a peu de chances de se produire, mais cela reste possible.
Expérience aléatoire à une seule étape, c’est quoi?
Une expérience aléatoire à une seule étape signifie qu’on effectue une seule action. On appelle cela une expérience simple.
Exemples :
Lancer un dé : les résultats possibles sont 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.
Lancer une pièce : les résultats possibles sont pile ou face.
Tirer une boule d’une urne contenant des boules rouges et vertes.
Expérience aléatoire à plusieurs étapes, c’est quoi?
Une expérience à plusieurs étapes comprend plusieurs actions successives, qu’on effectue l’une après l’autre. On peut représenter les résultats sous forme de paires, de triplets, ou de chemins dans un arbre de probabilités.
Exemples :
Lancer deux dés successivement → chaque lancer est une étape.
Lancer une pièce puis un dé → deux actions = deux étapes.
Tirer une boule, la remettre, puis en tirer une autre.
Donne moi un exemple événement peu probable
Lancer un dé et obtenir un 6 à chaque essai, si vous effectuez un grand nombre de lancers, cet événement est possible, mais il est très peu probable à chaque essai.
Comment connaître le nombre de résultats possibles dans une expérience à plusieurs étapes?
On multiplie le nombre de résultats de chaque étape.
Formule :
Nombre total de résultats = nombre de choix à l’étape 1 × étape 2 × étape 3, etc.
Exemple :
Lancer une pièce (2 résultats) et un dé (6 résultats) →
Nombre total de résultats = 2 × 6 = 12 résultats possibles.
C’est quoi un événement presque certain?
Un événement est presque certain si sa probabilité est très proche de 1, mais pas tout à fait égale à 1. Cela signifie que l’événement se produira dans presque tous les cas
Donne moi un exemple d’un évènement presque certain.
Si on choisit un nombre au hasard entre 1 et 1000 et qu’on veut que ce nombre soit inférieur ou égal à 1000, cet événement est presque certain
