Probabilidade Flashcards
Os conjuntos A e B são chamados disjuntos se:
Encontre o número de palavras distintas que podem ser formadas usando todas as letras da palavra PIRACICABA
Afunção beta é simétrica entre p e q. Isto é:
B(p,q)=B(q,p)
Se A e B forem eventos mutuamente excludentes, então:
e
2,71828…
Na Teoria da Probabilidade, estamos interessados em experimentos cujos resultados possíveis são conhecidos, mas não determinísticos
Um experimento aleatório é um procedimento que tem resultados não determinísticos em determinada situação
x garotas são escolhidas , ao acaso, de um conjunto de m líderes de torcida. Qual é o conjunto dos resultados?
Quais a propriedades para que uma medida de probabilidade seja satisfeita?
P(A)=0 não implica…
que A seja conjunto vazio
sempre que A1,A2,…,An forem todos eventos mutuamente exclusivos
Sempre que A1, A2,…,An forem todos eventos mutuamente exclusivos
Qual a probabilidade de um ponteiro atingir determinado arco de um relógio?
O que significa eventos mutualmente independentes?
Teorema de Bayes
A,B e C disputam a eleição e a probabilidade de vencer é 0,5;0,3 e 0,2. A probabilidade de promover mudanças é: 0,7;0,6 e 0,9.Qual a probabilidade de haver mudanças depois da eleição?
Chance do diagnóstico estar errado é 10%. Paciente morrer se o diagnóstico estiver errado é de 10% e CC, é de 5%. Sabe que o paciente morreu. Qual a probabilidade de que o diagnóstico errado tenha sido a causa da morte?
A1=Diag errado; A2=Diag certo B=Paciente morre
fdp da Gama
Esperança e Variância de fdp da Gama
E(X)=ab
Var(X)=ab2
Distribuição Binomial
Se lançarmos uma moeda não viciada 4 vezes, qual a probabilidade de obtermos exatamente x caras
Se lançarmos uma moeda não viciada 4 vezes, qual a probabilidade de obtermos pelo menos x caras
Esperança e Variância de uma Binomial
E(X)=Np
Var(X)=Np(1-p)
Função geratriz de momentos de uma distribuição de probabilidade binomial.
fdp de Poisson
E(X) e Var(x) de uma Poisson
Temos uma média de 5 partículas num intervalo de 20 minutos. Usando o modelo de Poisson dizemos que a probabilidade de que em um determinado intervalo de 20 minutos haja exatamente 2 emissões
Temos uma média de 5 partículas num intervalo de 20 minutos. Usando o modelo de Poisson dizemos que a probabilidade de que em um determinado intervalo de 20 minutos haja pelo menos 2 emissões
Num processo de fabricação a probabilidade de uma peça ser defeituosa é 0,01. Utilizando a fdp Binomial, se 30 peças são selecionadas ao acaso, qual a probabilidade de que exatamente duas sejam defeituosas?
Num processo de fabricação a probabilidade de uma peça ser defeituosa é 0,01. Utilizando a fdp Poisson, se 30 peças são selecionadas ao acaso, qual a probabilidade de que exatamente duas sejam defeituosas?
fdp de poisson até o instante t
Recebo 1 chamada a cada 5 minutos, em média. Admitindo fdp de Poisson, qual a probabilidade de que em um particular intervalo de 15 minutos, eu receba exatamente 2 chamadas?
Qual a fgm de uma Poisson?
fdp de um modelo Hipergeométrico
Formação de um baralho
Duas cartas são retiradas sem reposição de um baralho. Qual a probabilidade de que elas sejam ases?
É uma hipergeométrica sendo
Sendo uma população finita com N indivíduos dos quais a pertencem à uma categoria de interesse. Seja a v.a. X=nº de indivíduos pertencentes à categoria de interesse numa a.a. de tamanho nsem reposição qual o modelo utilizado? E com reposição?
- utiliza-se o modelo hipergeométrico com a reparametrização b=N-a;
- 2.Utiliza-se o modelo binomial sento p=a/N
E(X) e Var(X) de um modelo hipergeométrico
E(X) = np(1-p)
Var(X) = np(1-p)(N-n)/(N-1)
fdp de um modelo Binomial Negativo
Qaundo podemos utilizar o modelo Binomial negativo?
Quando quisermos calcular a probabilidade de se obter o k-ésimo sucesso no x-ésimo ensaio, para x=k,k+1,…
A probabilidade de eu acertar um alvo é 0,3, Qual a probabilidade de que no décimo tiro eu acerte pela segunda vez o alvo?
BBinomial negativa com x=10 e k=2;
Uma máquina produz 2% de peças defeituosas. Selecionando-as ao acaso, qual a probabilidade de que tenha que inspecionar pelo menos 4 peças para encontrar 2 defeituosas?
Isso pode ocorrer em 2 ou mais casos. É um caso de Binomial Negativa
FGM de uma Distribuição Binomial Negativa
Para que serve o Modelo de probabilidade Geométrica?
Para calcular a probabilidade de que sejam necessários x ensaios para obter o primeiro sucesso.
fdp de uma distribuição Geométrica
f(x)=pqx-1, x=1,2,…
q=1-p
A probabilidade de a predição feita por um adivinho ser verdadeira seja de 0,02. Qual é a probabilidade de que sua 13ª predição seja a primeira a se tornar realidade?
É uma distribuição geométrica com p=0,02 e x=13. Logo:
Qual a função das marginais de uma variável discreta?
Qual a função das marginais de uma variável contínua?
Como calcular as marginais de qualquer número de variáveis?
É obtida pela integração ou soma em relação às variáveis restantes
Quais as propriedades de uma função de probabilidade?
Verifique se é função de probabilidade
Para x=2 e y=1, f(x,y)=-1/8, o qual é negativo, logo não é função de probabilidade conjunta já que a 1ª condição não é satisfeita
E(X) e E(Y) utilizando as marginais
Verifique se é uma função de probabilidade e se for, calcule E(x)
Sim, pois satisfaz as propriedades.
Função de probabilidade condicional de X, dado Y=y: hx(x|y)
h(x|Y=y)
k(y|X=x)
Como provar que X e Y são independentes?
se f(x,y)=f(x)g(y) para quaisquer valores x,y de X e Y, respectivamente
h(x|y)
Analogamente k(y|x)=g(y)
Sejam X, Y v.a.s independentes. Então E(XY)=
EXY)=E(X)E(Y)
Cov(XY)
=E(XY)-E(X)E(Y)
Coeficiente de correlação linear
Propriedades do coeficiente de correlação linear
- O fato e Cov(X,Y)=0, e então p=0, não implica que X e Y sejam independentes;
Temos X e Y, sendo Y=aX+b, calcule p
W=aX+b, Z=cY+d, calcule pw,z
Sendo Y=a1X1+…anXn e Z=b1X1+…+bnXn.
Defina E(Y), V(Y) e Cov(Y,Z)
V(Y) e Cov(Y,Z) quando as variáveis Xi não independentes
Calcule MY(t) sabendo que Y=a1X1+…anXn
Integral de convolução
Sendo f(x,y), e Z=H1(X,Y), W=H2(X,Y)
Defina k(z,w)
Defina o Jacobiano da transformação: J(z,w)
Quando a função abaixo assume o valor máximo?
Quando n cresce, o valor máximo cresce, e a variância amostra decresce
Qual distribuição tem Z?
Qual a relação tem uma distribuição quiquadrado e a Gama?
Quiquadrado tem distribuição Gama com alfa=1/2 e lambda = 1/2
Distribuição de
Var(X+Y)
Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)
Sendo uma variável aleatória com esperança e variância finitas, então Y=X2 também tem esperança finita.
Correto
MPU 2013
Errado. Essa informação só é válida quando os eventos forem Mutuamente excludentes
