Polynômes

Question 1

Soit a(k) appartenant à K(N). A quelle condition a(k) est à support fini ?

Answer 1

S’il existe N appartenant à N tel que si k supérieur ou égal à N alors a(k) = 0.
C’est à dire que a(k) est nulle APCR

Question 2

Qu’est-ce que (K[X], +, x) ?

Answer 2

C’est un anneau commutatif

Question 3

Composition :
Si P appartient à K[X] noté : P = sigma(allant de k=0 à p) a(k)X^k
Et Q appartient à K[X]

Answer 3

Alors :

P•Q = sigma(de k=0 à p) a(k)Q^k

Question 4

Degré :

Si P est nul

Answer 4

Alors deg P = -infini

Question 5

Degré :

Si P n’est pas nulle

Answer 5

Alors :
Deg P = max{k appartenant à N / a(k) est différent de 0}
(Qui est une partie de N non vide car P est different de 0(K[X]) et majoré car a(k) est à support fini. Donc cet ensemble admet un plus grand élément)

Question 6

Degré : 
Si a(k) = 1

Answer 6

Alors on dit que P est unitaire

Question 7

Soit (P,Q) appartenant à K[X]^2

1. Si degP diff. degQ
2. Si degP = degQ

Answer 7

Alors
1. deg(P+Q) = max(degP, degQ)

2. deg(P+Q) inf. ou égale à max(degP, degQ)

Question 8

Soient P et Q appartenant à K[X].

On dit que Q est un multiple de P ou que P divise Q si…

Answer 8

S’il existe R appartenant à K[X] tel que Q = PR

Notation : P | Q

Question 9

Soient A appartenant à K[X] et B appartenant à K[X]{0}

Il existe un unique couple (Q, R) appartenant à K[X]^2 tel que…

Answer 9

A = BQ + R

deg R inf. ou égale degB -1

Question 10

Définition d’un polynôme à coeff. dans K

Answer 10

Toute suite à support fini de K -> N

Question 11

Division euclidienne dans K[X]

Answer 11

Soit A appartenant à K[X] 
Soit B appartenant à K[X]\{0} 
Il existe un unique couple (Q,R) appartenant à K[X]^2 tel que : 
 *A = BQ + R 
 * deg R inf. ou égale à deg B-1

Question 12

K[X] intègre

Answer 12

Pour tout (P,Q) appartenant à K[X]^2, PQ = 0(K[X]) => P = 0(K[X]) ou Q = 0(K[X])

Ou

Pour tout (P,Q) appartenant à K[X]^2 , P diff. 0(K[X]) et Q diff. 0(K[X]) => PQ diff. 0(K[X])