Parcial 2

Question 1

Linealización

Answer 1

Sea f una función derivable en x = a. Definimos la linealización de f en a como la función:
L(x) = f’(a)(x-a) + f(a)

Question 2

Diferencial

Answer 2

La expresión: ∆L = f ‘(a)dx
recibe el nombre de diferencial de f en a y se simboliza por df o dy:
dy = f ‘(a)dx
Así, el diferencial de f en x=a es el cambio que experimenta la recta tangente a (a,f(a)) cuando x pasa de a a (a+dx)

Question 3

Extremos locales

Answer 3

Sea f una función definida en un dominio D. Decimos que f tiene un máximo local en el punto c si existe un intervalo abierto (c - r, c + r) centrado en c tal que:
f(x)≤f(c)
Para todo x que pertenezca a D y a (c-r, c+r).
Lo mismo para mínimo local
f(x) ≥ f(c)

Question 4

TVM para derivadas

Answer 4

Sea f una función continua en [a, b] y derivable (a, b). Entonces existe c en (a,b) tal que:
f ‘(c) = f(b) - f(a)/ b - a

Question 5

Consecuencias

Answer 5

1. Sea f una función continua en [a, b] y derivable en (a, b) tal que: f ‘(x) = 0
   para todo x en (a, b). Entonces f es una función constante en [a, b]
2. Si f y g son funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b) tales que: f ‘(x) = g ‘(x)
   Para toda x de (a, b), entonces existe una constante C tal que:
   f(x) = g(x) + C para toda x € [a, b]

Question 6

Concavidad

Answer 6

Sea f una función derivable en (a, b). Tenemos:
• Si f
′ es creciente en (a, b), entonces decimos que f es cóncava hacia
arriba en (a, b)
• Si f′
es decreciente en (a, b), entonces decimos que f es cóncava
hacia abajo en (a, b).

Question 7

Punto de inflexión

Answer 7

Sea f una función continua en (a, b) y sea c un punto de ese intervalo. Decimos que (c, f(c)) es un punto de inflexión de f si es posiboe trazar la recta tangente al gráfico de f en dicho punto, y si la gráfica de f cambia de concavidad en ese punto.

Question 8

Antiderivada

Answer 8

Decimos que una función F es una antiderivada de f en (a, b) si:
F ‘(x) = f(x) para todo x € (a, b)

Question 9

Integral definida

Answer 9

Sea f : [a, b] → R, f ≥ 0. Decimos que la función f es integrable en [a, b] si el límite:
lim ||P|| → 0 S(f, P) = A
existe. El número A se denomina integral definida de f en el intervalo [a, b] y escribimos:
A = integral(a b) f(x)dx

Question 10

Sustitución

Answer 10

Sean f y g funciones continuas en [a, b]. Supongamos además que g’ es continua en [a, b]. Entonces:
integral f(g(x))g’(x)dx = integral f(u)du

Question 11

TFC Parte 1

Answer 11

Sea f una función continua en [a, b]. Sea:
F(x) = I(a x) f(t)dt , x € [a, b]
Entonces:
F ‘(x) = f(x)
para todo x € [a, b]

Question 12

TFC Parte 2

Answer 12

Sea f una función continua en [a, b], y sea F una antiderivada de f en [a, b]. Entonces:
I(a b) f(x)dx = F(b) - F(a)

Question 13

TVM para integrales

Answer 13

Sea f una función continua en [a, b]. Entonces existe un c € [a, b] tal que:
f(c) = 1/b - a I(a b) f(x)dx