Parcial 1

Question 1

Definición de función

Answer 1

Sea A un subconjunto de números reales. Una función f definida en A asigna a cada número x de A un único número f(x). El dominio de f es el conjunto A. La imagen de f es el conjunto de los y € R tales que existe x € A que cumple
f(x) = y
El conjunto de llegada o condominio de f es cualquier conjunto que contenga a la imagen de f.

Question 2

Funciones pares e impares

Answer 2

• Una función y = f(x) es par si f(x) = f(-x) para todo x en el dominio de f.
• Una función y = f(x) es impar si f(x) = -f(-x) para todo x en el dominio de f

Question 3

Funciones crecientes

Answer 3

Una función y = f(x) definida en un intervalo I es creciente en I si para todo par de puntos x¹ y x² en I tales que x¹ < x² se tiene:
f(x¹) ≤ f(x²)

Question 4

Funciones decrecientes

Answer 4

Una función y = f(x) definida en un intervalo I es decrecientes en I si para todo par de puntos x¹ y x² tales que x¹ > x² se tiene que:
f(x¹) ≥ f(x²)

Question 5

Composición de funciones

Answer 5

Sean f: D(f) -> R y g: D(g) -> R dos funciones. Definimos la composición de f con g como la función f o g: D(f o g) -> R con dominio:
D(f o g) = {x € D(g) : g(x) € D(f) }
y cuyas imágenes se obtienen mediante la fórmula:
(f o g)(x) = f(g(x)), x € D(f o g)

Question 6

Tasa de cambio promedio

Answer 6

La tasa de cambio promedio de una función y = f(x) con respecto a la variable x en el intervalo [x1, x1 + h] es:
∆y/∆x = f(x1 + h) - f(x1)/h

Question 7

Teorema de la compresión

Answer 7

Sea I un intervalo abierto que contiene a un punto c. Supongamos que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para todo x ≠ c en I. Si
limx->c g(x) = limx->c h(x) = L
Entonces:
limx->c f(x) = L

Question 8

Continuidad

Answer 8

Sea f una función definida en un intervalo abierto (a, b) que contiene a c. Decimos que f es continua en x = c si
limx->c f(x) = f(c)
Decimos que f es continua en (a, b) si y solo si f es continua en cada punto del intervalo (a, b)

Question 9

Continuidad por derecha e izquierda

Answer 9

Sea f una función definida en un intervalo [a, b]. Decimos que f es continua por derecha en x = a si y solo si:
limx->a+ f(x) = f(a)
De forma análoga, decimos que f es continua por izquierda en x = b si y solo si:
limx->b- f(x) = f(b)

Question 10

Continuidad en intervalos cerrados

Answer 10

Decimos que f: [a, b] -> R es continua en [a, b] si y solo si f es continua en (a, b), es continua por derecha en x = a y es continua por izquierda en x = b

Question 11

Discontinuidad

Answer 11

Si una función f no es continua en un punto c, entonces decimos que f es discontinua en c y que c es un punto de discontinuidad en f

Question 12

Teorema del valor intermedio

Answer 12

Sea f: [a, b] -> R una función continua en [a, b]. Sea y0 un número real entre f(a) y f(b). Entonces, existe c € [a, b] tal que
f(c) = y0

Question 13

Asíntota horizontal

Answer 13

Decimos que la recta horizontal y = b es una asíntota horizontal de la función y = f(x) si:
limx→∞ f(x) = b
O: limx→-∞ f(x) = b

Question 14

Asíntota vertical

Answer 14

Decimos que x = a es una asíntota vertical de la función y = f(x) si:
limx→a- f(x) = ∞ o -∞
O
limx→a+ f(x) = ∞ o -∞

Question 15

Asíntota oblicua

Answer 15

Una recta y = ax + b, con a ≠ 0, es una asíntota oblicua de la función y = f(x) si:
limx→∞ [f(x) - (ax + b)] = 0
O
limx→-∞ [f(x) - (ax + b)] = 0

Question 16

Pendiente de una curva en un punto

Answer 16

La pendiente de una curva y = f(x) en el punto (x0; f(x0)) es aquella recta que tiene pendiente: (ecuación de x0+h) siempre que el límite exista.

Question 17

Recta tangente

Answer 17

La recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (x0; f(x0)) es aquella recta que tiene pendiente: (ecuación de x0+h) siempre que el límite exista.
y pasa por el punto (x0; f(x0))

Question 18

Derivada 1

Answer 18

La derivada de una función f en un punto x = x0 se simboloza como f’(x0) y se obtiene como: f’(x0) = (ecuación de x0+h) siempre que el límite exista.
y pasa por el punto (x0; f(x0))

Question 19

Derivada 2

Answer 19

La derivada de una función f en un punto x se obtiene:
f’(x) = limz→x f(z) - f(x)/z-x
Siempre que el límite exista

Question 20

Discontinuidad evitable

Answer 20

f(c) y limx→c f(x) existen pero f(c) ≠ limx→c f(x)
O
f(c) no existe (c no pertenece al dominio de f) pero limx→c f(x) si existe

Question 21

Discontinuidad de salto

Answer 21

limx→c f(x) no existe pero
limx→c- f(x) y limx→c+ f(x) existen.

Question 22

Discontinuidad esencial

Answer 22

Al menos uno de los límites laterales no existe