Parcial 2 Flashcards
En un triángulo rectángulo, ¿qué es la hipotenusa, el lado opuesto a Alfa* y adyacente a Alfa*?
*Puede ser Alfa o cualquier otro ángulo
La hipotenusa es el lado enfrentado al de 90°
El lado opuesto es literalmente el lado opuesto
El adyacente es el que está al lado, pero no es hipotenusa.
SOHCAHTOA
Seno = Opuesto / Hipotenusa
Coseno = Adyacente / Hipotenusa
Tangente: Opuesto / Adyacente
Propiedades si el ángulo beta y alfa dan uno de 90°
Seno de Alfa = Coseno Beta (e inverso)
porque es opuesto y hipotenusa de alfa y Beta es el adyacente y la hipotenusa
Tangente de Alfa es el inverso de Beta ( Tg = 1/TG)
¿Qué es el seno, coseno y adyacente?
El seno es la relación entre el opuesto y la hipotenusa
El coseno es la relación entre adyacente y la hipotenusa
Tangente entre el opuesto y adyacente
Relación pitagórica
1= Cos de alfa al cuadrado . Sen de alfa al cuadrado
se usa principalmente con el teorema de pitágoras.
Relaciones recipríocas
Cosecante Alfa = Secante Beta (y viceversa)
CosA = hipot/op a alfa = hipotenusa /ady a B = SecB
Cotangente Alfa = Cotangente de Beta (1/TG)
CotgA = Ady a A/Opuesto de A = Op de B/ Ady de B = CotgB 1/Tg
Secante al cuadrado es…
Tagente al cuadrado + 1
También Sec - Tg = -1
Tangente es igual a…
Seno/Coseno
Al tener una circunferencia radio 1, ¿para qué lado hay que movernos por el eje para que sea positivo y para que sea negativo?
Desde el cuadrante 1 (el de la izquierda superior) hacia el sentido antihoras, es positivo. Y el sentido del reloj, negativo.
Seno se encuentra ubicado en el eje… Y cos…
Y
X
En el cuadrante 1…
COS, SEN Y TG SON POSITIVOS.
Al ser tanto la dirección de las tres positiva.
Hipotenusa vale 1
Todos ángulos menores a 90°, no hace falta ninguna fórmula
En el cuadrante 2…
Seno es positivo al ser y positivo, pero tan y cos son negativas al ser x neg. SEN ÚNICA POSITIVA.
Para saber sen, (pi - alfa)
Para saber cos, -cos (pi- alfa)
En el cuadrante 3…
SEN y COS sON NEGATIVOS. TANGENTE ES EL ÚNICO POS (-SEN/-COS=TG)
Sen = -Sen (Alfa-Pi) o (Pi+Alfa)
Cos= -Cos (Alfa-Pi) o (Pi+Alfa)
En el cuadrante 4…
1 y 4 son simétricos
Seno y tangente son negativos. COSENO ES POSITIVO.
SEN= -Sen (2pi-Alfa)
Cos= Cos (2pi-Alfa)
Periodicidad: Las funciones seno y coseno…
Esto quiere decir que
sen(t + k2π) = sen(t) y cos(t + k2π) = cos(t)
para cualquier número entero k. El número entero k representa la cantidad
de vueltas con sentido recorridas desde el punto (sen(t), cos(t))
¿Cómo saber a qué cantidad de grados equivale, ej, 1/2 pi?
Hacer regla de 3
2pi = 360°
1/2pi= ?
¿Cómo saber a cuántos pi equivalen 240°?
Hacer regla de 3 simple
360 = 2pi
240 = ?
¿Cómo saber en qué cuadrante está un num y cómo pasarlo al primero?
Por ejemplo, tenemos 1/4 como base.
Si el número es 3/4 (menor a 1) , sabés que es segundo cuadrante. Para saber a qué num es equiv, pi-alfa.
Si es 5/4, es mayor a 1 pero mucho menor que 2, así que tercer. alfa-pi
Si es 7/4, es mayor a 1 pero sigue siendo menor a 2 pero más cerca, así que cuart. 2pi-alfa
Un período…
Es cada 2pi. Porque se vuelven a repetir los valores.
Si tengo -1/2, ¿eso modifica a su cos, sen o tan?
No.
Si te piden calcular algo entre [0,2] como mucho va a haber … respuestas
2
Si te piden calcular cos 1 en R, se calcula…
1- Buscar aquellos números que tengan cos 1 entre [0,2]
2- A esos sumarles +2kpi
Si te piden calcular cos (x+pi/3) =1/3 de [-1,3] , se calcula…
1- Fijarse qué números del 0 al 2 tienen cos 1/3.
2- Sumarles 2kpi a cada uno.
3- Igualar los dos a x+pi/3 y despejar.
4- Pero hay que acordarse que no son todos los reales, así que para ver que entren entre -1 y 3, reemplazar k por números que sean mayores a -1 y menores a 3. Esos van a ser los resultados.
si está 2cos2 (x)= 3 cos (x) + 5 , ¿cómo hago?
1- Pasar todo al mismo lado e igualar a 0.
2- Cambiar la variable de cos a cualquier letra.
3- Hacer la resolvente.
4- El mayor número que puede llegar cos es 1, y el menor, -1. Si te toca un número mayor a 1 o menor a -1, es absurdo.
5- El resultado tiene que estar sumado a 2kpi keR
Si está cos.2 (pi+1/3)=1, ¿cómo despejo?
Primero despejar el 2 y buscar los números que tengan ese cos.
Y después, hacer todo el procedimiento normal.
P(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a2x
2 + a1x + a0
explicarlo
N pertenece a los números naturales y a 0.
Los a son coeficientes.
A0 es el coeficiente independiente y si An no es igual a 0, es el coeficiente principal y n es el grado del polinomio. Se anota gr(P)=n
Si un polimonio está elevado a una fracción o un número negativo, ¿es polinomio?
No porque no pertenecen a los reales
Si un polinomio es gr(p)= O, ¿es un polinomio?
Sí, y se llama nulo. Ej P(x)= 0
¿Qué es un polinomio mónico?
Cuando el coeficiente principal es 1.
¿Cómo sabés si hay igualdad de polinomios?
Decimos que dos polinomios P y Q son iguales si tienen el mismo grado y los coeficientes
de los términos del mismo grado son iguales
Dados P(x) = −x4 +3x2 +6x+1 y Q(x) = −x4 + (2k +1)x
2 −kx+1, determinar si es posible
hallar k ∈ R para que los polinomios sean iguales
Resolución: Para que ambos polinomios sean iguales, los coeficientes del mismo grado de cada uno, deben coincidir. En nuestro caso, lo que debe suceder es que el coeficiente del término
cuadrático de P y el de Q deben ser iguales, así como el término lineal de cada uno, es decir,
Términos cuadráticos Términos lineales
3 = 2k +1 6 = −k
de la última igualdad se deduce que k = −6, luego reemplazando este valor en la primera ecuación
resulta:
3 = 2.(−6) +1 ⇔ 3 = −12+1 ⇔ 3 = −11
lo que es un absurdo. Por lo tanto, concluimos que no existe k ∈ R tal que los polinomios P y Q
sean iguales.
En la suma de polinomios…
Se pone (P+Q)(x)
Si en algún lado no aparece un término, significa que el coeficiente es 0.
Si los polinomios tienen distinto grado, el grado del polinomio resultante será el grado del
polinomio de mayor gr
Si los polinomios tienen el mismo grado, la suma puede dar un polinomio de igual grado que
los polinomios que se están sumando, puede dar un polinomio de grado menor o puede dar el polinomio nulo.
Si hay signos negativos, RESPETARLOS.
Para los productos de polinomios…
Se ponen ambas partes entre paréntesis y se va haciendo la distributiva, para que queden sumas y/o restas.
En la resta de polinomios…
Para restar dos polinomios P y Q, multiplicamos a Q por −1 y luego se lo sumamos a
División de polinomios…
Dados dos polinomios P y Q, Q no nulo, existen C y R polinomios con gr(R) < gr(Q) ó R ≡ 0 tales que
P(x) = Q(x)·C(x) +R(x)
El polinomio C se denomina cociente y el polinomio R, resto.
Para realizar la división, el polinomio P debe estar completo (es decir, llenando con 0 donde no hay coeficiente) y ordenado en forma decrecientes, esto es, se escriben todos los términos que no figuran con coeficientes nulos y se los ordena de mayor a menor considerando el grado de cada término. Por su parte, el polinomio Q también debe estar ordenado en forma decreciente.
Se divide el primer término de P con el primero de Q (hay que buscar cuando el primero de Q da justo el primero de P), el resultado se multiplica por cada término de
Q, ese resultado se resta a P y luego se repite el procedimiento con el polinomio resultado de la resta
hasta llegar a un resto de grado menor al de Q o al polinomio nulo.
Especialización de un polinomio
Si P(x) = -x 3 +3x2 +2x+1, la especialización de P en −2 es el número:
P(−2) = −(−2) 3 +3(−2) 2 +2(−2) +1 = −(−8) +3 · 4−4+1 = 8+12−4+1 = 17
Es decir, P(−2) = 17.
P es un Z
Regla de Ruffini
Polinomio cualquiera P y Q x-a
Necesitamos que el polinomio P esté
completo y ordenado de manera decreciente (igual que para la división general). Como el polinomio P no está completo lo completamos: P(x) = 2x
3 −5x 2 +0x+1. Seguidamente, escribimos en
la parte superior los coeficientes del polinomio P y en la parte izquierda inferior la raíz de Q.
Luego, multiplicamos ese número por la raíz de Q y el resultado lo ubicamos debajo del número siguiente al 2, en el lugar marcado con un asterisco. En nuestro caso multiplicamos al 2 por el 3 y el resultado, 6, lo
ubicamos debajo del −5.
Sumamos los números que están en la columna y al resultado lo ubicamos
en la misma columna por debajo de la línea horizontal. Es decir, hacemos
−5+6 = 1, al 1 lo escribimos en el lugar donde está el asterisco.
Llegada a esta instancia, repetimos el procedimiento anterior con este
nuevo número. Es decir, multiplicamos el 1 con el 3, al resultado lo ponemos en el asterisco, sumamos los números de la columna y al resultado
lo ponemos en la misma columna debajo de la línea.
Repetimos el procedimiento, y ualá
Expresar de forma factorizada (x+a) (ñp qie de el polinomio)
Teorema 1. (Teorema del Resto)
Sea P un polinomio. Entonces el resto de dividir a P por x−a. Es decir, reemplazar todas las x por +a.
Encontrar, si es posible, el valor de K e R para que x3-2x2-k sea divisible por x+2
Reemplazar x por -2 e igualar a 0 la ecuación.
Carac isóceles, escaleno y equi
todos, pero todos son un triángulo de 180°
Iso: Tiene dos lados iguales, lo que significa que igual medida y ángulos. Al ser 2 lados iguales, significa que los lados opuestos de este triángulo son iguales. La base es el lado diferente y los lados iguales, la altura. Si cortamosa la mitad (con una bicectriz) un isóceles, nos dan 2 rectángulos. PERO OJO, es 1/2 de la base y la altura sigue igual.
Equiláteros: todos los lados y ángulos son iguales (60° o 1/3 pi). Las 3 alturas son iguales.
Escaleno: no hay lados ni ángulos iguales.
H es perpendicular a b.
¿Cómo sacar el perimétro y el área de un triángulo?
P = L.L.L
A: si tengo la altura b.h/2
Si no tengo, tener en cuenta que el semiplano es P/2. Entonces, v(semp.(semp-L1)(semp-l2)(semp-l3)
Usar el coso que son dos paralelas y una perpendicular numerado del 1 al 8
1 y 2 son adyacentes= 180°
1 y 3 son opuestos por el vértice = miden lo mismo.
1 y 7 son ángulos alternos externos = miden lo mismo.
4 y 6 son ángulos alternos internos = miden lo mismo.
1 y 5, son ángulos correspondientes, = “”
4 y 5, son ángulos conjugados int, = “”
2 y 7, son ángulos conjugados ext, =””
Teorema del resto
Sea P un polinomio. Entonces el resto de dividir a P por x−a e.
Ej, dividir P(x) = 5x5 +7x+1 por Q(x)= x - 1
P(1) = 5 ·(1)5 +7 ·(1) + 1 = 13
el resto es 13.
¿Cuándo un número es divisor de otro?
Colorlario 1. x−a divide a P ⇔ P(a)=0
Es decir, que al reemplazar, debe dar 0 el resto.
¿Cuál es la diferencia si me ponen x - 1 o P(1)
A x-1 lo vamos a tener que cambiar por el opuesto (1), para reemplazar. A P(1), en cambio, no.
Si te piden P(x) = x4 +2kx3 +x2 −4kx+9
por Q(x) = x+1 sea −3.
Reemplazar todas las x por -1 e igualar a =-3
¿Cómo factorizar?
Dividir el número por el número que nos den que es divisible. OJO, si ponen que es raíz doble, ese número puede dividir es 2 veces, si ponen que es triple, tres, etc.
Luego, hacer resolvente. El resultado se expresa a(x-x1)(x-x2)(x-x3) etc…
A es el número que nos queda en lugar de a antes de hacer la resolvente.
En caso de que tengan MULTIPLICIDAD mayor a 1, elevarlos a su correspondiente grado.
La cantidad de raíces junto a su elevación corresponde al número al que estaba elevado a en un principio.
también se puede simplicifar con factor común y ruffini, depende el caso
Sea P(x) = x3 +2x
2 +x+2 y divisible por (x+2). Factorizar completamente P sabiendo que es divisib
Ruffini. Va a quedar x2-1 pero esto es imposible de hacer porque no raíz de -1.
Por ende, poner (x+2)(x2+1) A la hora de graficar, x2+1 no nos interesa.
Dar la fórmula de un polinomio P de grado 4 que sea divisible por x
2 −4, se anule en x = 3 y en
x = −1, y P(1) = −6. Factorizarlo compl
Fijarse en polinomios 2 teoría
Hallar todas las raíces reales de P(x) = x4 −9x
2 +4x+12 si se sabe que x = 2 es una raíz doble
de P.
Teorema de Bolzano
donde hay raíces, cambia el signo función.
Para saber si es + o - ese intervalo entre raíces, reemplazar
SIEMPRE FACTORIZAR TOTALMENTE, AUNQUE QUEDEN NO RAÍCES Y…
si hay un polinomio de grado 3 o más, aparte de buscar raíz, hacer ruffini.
Siempre que no haya un polinomio mónico (ej, 3x-5), tenemos que hacer…
Sacar un factor común de tal manera que la x quede sola 3(x-5/3)
Para división de polinomios
1- Factorizar todos los denominadores y dejar las raíces.
2- Sacar el dominio
3- Factorizar arriba
4- Buscar denomidadores comunes (multiplicando al número por la raíz que no tiene)
5- Hacer distributivas de lo de arriba
NO SE PUEDE CANCELAR DENOMINADORES CON DENOMINADORES
Si te piden que hayaunpolinomiode grado3 pero con solo dos raíces y simples
Agregar (x2+1)
Si te piden que hayaunpolinomiode grado3 pero con solo dos raíces y simples
Agregar (x2+1)
Si te dicen que -3 no pertenece al dom, significa que..
-3 es raíz.
ACORDATE DE PONER EL COEFICIENTE PRINCIPAL EN LAS FACTORIZADAS
AAAAAAAAAAAAA
Leer PDF expresiones alge
muy útil
NO SE PUEDE CANCELAR SI…
nos va a quedar 0 en el den. Para eso, igualar a 0 lo que quede.
Si te piden factor común para hacer resta, y en el dem de uno hay (x-3) y en el otro (x-3)2, hay que poner como común a…
(x-3)2
considerar siempre el máximo exp
Los exponentes de las exponenciales…
Pueden ser todos los reales
¿Cómo pasar v2 a potencia?
2´1/2
¿La asíntota se puede tocar?
no.
Dato extra: escribirla como AH=y=0 o número que corresponda
Si k>0
Imagen (b+infinito)
a>1 es creciente por encima abs.
a<1 descreciente por “”
Si k<0
Imagen (-inf,b)
a>1 decreciente por debajo de abs
a<1 es creciente por debajo de abs
Para graficar, es recomedable…
Hacer tabla de valores
Propiedades importantes para func exp
Ab=Ac b=c (una vez ya igualadas las bases, sumar o restar los exponentes)
4´x-2= 4´x . 4´-2 NO SE PONE 2, ES SIEMPRE 4
Acordarse que a0 es 1
Si tenemos V(2´3x-2)=4, ¿QUÉ HACEMOS?
elevamos ambos términos a la 2.
¿La compo. de funciones es conmutativa?
No.
Si tengo G o F (2), ¿qué hago?
(f compuesto por g)
Reemplazo las x de F con 2. El resultado, va a ser el número con el que voy a reemplazar las x de g.
¿cuál es la primera f y la última en fog?
G es la primera
F la última
La imagen de f…
Es el dom de g.
Si te piden buscar h de gof, ¿qué signica?
Que busques el resultado de gof
Si tengo G o F (x), ¿qué hago?
Escribir la fórmula de f, como no se puede reemplazar con nada la x, srguimos con la G. En la G, reemplazamos la x por la función f.
ACORDATE DE SIEMPRE SACAR DOM
sdfasdfgsd
¿Qué necesito para saber si una función es inversa?
Tiene que ser biyectiva, es decir
-Inyectiva: la imagen no se repite para ninguna preimagen.
-El codominio = imagen (el cod abarca lo mismo que el dom)
probar hacer una línea vertical en caso de que no caigas
Para graficar, siempre…
Graficar la bicectriz (x=y)
función identidad
¿cómo hacer para conseguir la inversa / f´-1(x)
invertir los lugares de y e x, y despejar.
Las f inversas son las únicas compuestas donde…
F o G y G o F son conmutativas.
Me tienen que dar como resultado x.
Si te ponen f´-1(5)=3, ¿qué hago?
Invierto los lugares f (3) = 5
K.A´x+B
K dif a 0
A dif a 0 y a 1
Logaritmo definición
log a(b) = c si y solo si b = a{
c
LA BASE (m) SIEMPRE TIENE QUE SER
POSITIVAAA
Propiedades de la log
las propiedades se leen de izq a der y viceversa
Si x, y, a y b son números positivos tales que a dist 1 y b dist 1 entonces:
(a) loga (x) + loga (y) = loga (x · y)
(b) loga(x) − loga(y) = loga(x)/log(y)
(c) loga(x´r) = r · loga(x)
(d) loga(x) = logb(x)/logb(a)
(e) loga(1) = 0
(f) loga(a) = 1
Para la calculadora
Log4(1/8)
0-(Log8)/(Log4)
Cuando es Log, significa que tiene base
10
Sea f : R → R la función que tiene como funcióninversa a
f (x) = a´3 v(x +1) + b
Hallar a y b reales si se sabe que f-1(7) =4
y f (− 2) = 0
Hacen la inversa de f(-2)=0 y reemplazar en f(X). Una vez obtenido b, reemplazar en f con f-1 y el resulado de B. Despejar A. Con A despejada, despejar b,
Graficar exp y log
Imagen de F = Dom de F-1 (y viceversa)
X de F = Y de F-1 (viceversa)
AH de F = AV de F-1
Exp siempre Dom R
Log siempre Im R
