nummód feldat szerkezetek Flashcards
Hibaanalízis
A feladatban kapunk két számot amelyek mérések, tehát csak megközelítőleg jók.
A feladat leírásából kiderül hogy milyen művelet van a két szám között és annak megfelelő képletet kell használni.
| abszolút hiba | relatív hiba |
| — | — | — |
| + | $\triangle _x+\triangle_y = \triangle _{x+y}$ | $max( \delta _x; \delta_y)$ |
| - | $\triangle _x-\triangle_y = \triangle _{x-y}$ | $max( \delta _x; \delta_y) * (\frac{x}{x-y}* \frac{y}{x-y})$ |
| × | $| \tilde{x} |\triangle_y + |\tilde{y}| \triangle_x + \triangle_x\triangle_y$ | $\delta_x + \delta_y + \delta_x * \delta_y$ |
| ÷ | $\frac{| \tilde{x} |\triangle_y + |\tilde{y}|* \triangle_x}{|\tilde{y}|*(|\tilde{x}|-\triangle_y)}$ | $\frac{ \delta_x + \delta_y }{1-\delta_y}$ |
Iterációk: fixpont iteráció
- függvény
- intervallum
- x_0
- leállási feltétel
- f(x) függvényt átrendezni x = valami -re - ebből jön a g(x) függvény
- a g(x) és a x_0 segtségével kiszámoljuk a következő, az az x_1 elemet
- minden alkalommal ellenőrizzük hogy teljesül e a leállási feltétel és csak akkor nem számolunk több elemet ha teljesül
- le deriváljuk a g(x)-et és az intevallum hét végét behelyezzesítjük a kapott függvénybe
- a nagyobb eredmény lesz a maximum, amit utána fel kell használni a legnagobb hibázási érték kiszámolására:
|x_n-p| \leq \frac{c^n}{1-c}*|x_0-x_1|
Iterációk: Húr módszer
- lesz két függvény
- lesz egy intervallum
- ki kell számolni a h(x)-et
- két megadott f(x) és g(x) alapján
- f(x)-g(x) vagy fordítva
- két megadott f(x) és g(x) alapján
- táblázat: a = intervallum első eleme, b = második, c = képlet alapján számolandó
$c = a-\frac{h(a)*(b-a)}{h(b)-h(a)}$
- minden új sorban minden elemnek ki kell számolni a h(x) értékét → megadja hogy + vagy - e (jobb felső sarokban jelöljük)
- a c elemet behelyetteyítjük oda (vagy az $a$ vagy a $b$ helyére) ahol hogyan olyan a h(x) előjele mint a h(c)-nek
- addig csináljuk ezt amíg a külön megadott leállási feltétel nem teljesül
Iterációk: Szelő Módszer
- kapunk egy függvényt
- kapunk egy intervallumot
- kapunk egy leállási feltételt
- kapunk két elemet
$x_{n+1}=x_n-(\frac{f(x_n) * (x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})})$
- a képlet alapján tudunk tovább haladni és a következő elemet kiszámolni
- addig kell csinálni amíg a leállási feltétel igaz nem lesz
Iterációk: Newton Módszer
- kapunk két függvényt
- kapunk egy intervallumot
- kapunk egy leállási feltételt
- kapunk egy x_0-t
- Ki kell számolni fő függvényt ($f(x)$), ami kell ahhoz hogy a következő elemt kiszámolhassuk$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f’(x_n)}$
- Hibabecslés
- lederiváljuk az $f(x)$ függvényt, mert ez kell ahhoz hogy a hibabecslést kiszámolhassuk
- a tört nevezőjében lévő képlet alapján a derivált függvénybe behelyettesítjük az intervallum elejét és végét, és kiválasztjuk a legkisebbet
Iterációk: Intervallum Felező
- kapunk két függvényt
- kapunk egy intervallumot
- kapunk egy leállási feltételt
- ki kell számolni a fő függvényt (akár $f(x)$), úgy hogy azzal a legkönnyebb legyen utána a számolás (pl.: h(x) = f(x) - g(x), hogyha könnyebb az f(x) - g(x)-et megcsinálni
- táblázatot felírjuk a két intervallum értékkel
- a c itt csak simán a felező pont lesz az a és b érték között (átlag)
- minden lépésnél leellenőrizzük a leállási feltételt
leállási feltétel ellenőrzése (ha a leállási feltétel a bal oldalhoz hasonlít):
$|x_n-p| \leq \frac{b-a}{2^{n+1}}$
Lin. egy.: Gauss elimináció
- kapunk egy egyenletrendszert
$A = \begin{bmatrix}(a) & b \c & d \end{bmatrix}$
$d-b*\frac{c}{a}$
- az egyenletrendszert felírjuk mátrixként
- a mátrixot átalakítjuk úgy hogy egy alsó hátomszög jöjjön ki belőle, a megadott képletet kell fent használni hozzá
- amikor kész az alsó háromszög újra fel kell írni egyenketrenszerként, és megoldani
- eredményül kijön $x_1$ $x_2$ és $x_3$ szám megoldásnak
Lin. egy.: Paraméteres egyenletrendszer
- kapunk egy egyenletrendszert, tele d vitaminnal
$A = \begin{bmatrix}(a) & b \c & d \end{bmatrix}$
$d-b*\frac{c}{a}$
- úgy kell átalakítani (oszlopokat vagy sorokat cserélni) hogy ne legyen d a fő átlóban!!! ha oszlopot cserélünk akkor figyelni kell arra melyik vektor hova kerül (x_1 x_2 x_3)
- utána végig kell menni a gauss elliminációval
- az eredményt vissza kell írni egy egyenletrendszerbe majd kifejezni az $x_1$ $x_2$ és $x_3$ számokat
főelem kiválasztásos módszernél figyelni kell hogy melyik eleme a legnagyobb elem abszolútértékben, és mindig úgy kell átrendezni a sorokat/oszlopokat hogy az legyen a legközelebbi kiválasztott elem, és csak úgy tovább haladni a számolással
Interpolációk: Lagrange Inerpoláció
- kapunk egy alap képletet
- kapunk n számot, amik az $x_0$ … $x_n$ számok lesznek
- kiszámoljuk a z $y_1$ … $y_n$ számokat úgy hogy az $x_0$… $x_n$ számokat behelyettesítjük a képletbe
- utána létrehozzuk a háromszög ábrát és kiszámoljuk
- ezekből kiszűrjük a b értékeket (a háromszög ábra felsp elemei) majd ezzel a logikával felírjuk őket:$L_{n-1}(x) = b_0 + b_1(x-x_0)+b_2(x-x_0)*(x-x_1) …$
Hibabecslés:
- egy bizonyos számra$|f(x)-L_{n}(x)| \leq M_{n+1} \frac{|(x-x_0)* … *(x-x_n)|}{(n+1)!}$
- az $M_{n+1}$ helyére ezt kell írni:
- kiszámlojuk az eredeti képlet $n+1$-szeres deriváltját
- a kapott képletbe beírjuk az $x_0$ $x_1$ $x_2$ számokat és megnézzük melyik lesz a legnagyobb
- a legnagyobb elemet behelyettesítjük az $M_{n+1}$ helyére és kiszámoljuk a képletet, így megkapjuk a hibabecslést
- az $M_{n+1}$ helyére ezt kell írni:
- egy intervallumra$|f(x) -L_n(x)| \leq M_{n+1} \frac{(\frac{b-a}{n})^{n+1}}{4*(n+1)}$itt az $a$ az intervallum elejét, a $b$ pedig a végét jelöli
Interpolációk: Newton interpoláció
a Lagranga félén alapul
ha képlet helyett $\sum$ van, akkor a summában lévő képlettel kell az y-t kiszámolni, viszont az előző elemet hozzá kell adni az eredményhez!
Interpoláció: Hermite interpoláció
Newton féle Lagnrange-on alapul
- kapunk egy függvényt
- kapunk valahány pontot
- ugyan úgy kezdjük az ábrafelírást mint eddig, viszont minden párost dublán írunk
- az azonos párosok közé máshogy számojuk az eredményt:
- az eredeti függvényt deriváljuk
- ebbe behelyettesítjük az adott pontot és kiszámoljuk
- ez után viszont ugyan úgy járunk el a háromszö ábrában és a végén a képletet ugyan úgy adjuk meg
- a végén a képletnél figyelni kell arra, hogy az $x-1$-ek meg ilyenek annyiszor legyenek benne ahányszor a háromszög ábrában felsoroltuk őket
hibabecslés
- egy bizonyos számra$|f(x)-H_{2n+1}| \leq M_{2n+2} \frac{(x-x_0)^2 * … * (x-x_n)^2}{2n+2}$úgy mint a lagrange
- egy inttervallumra
- a képletben a tört számámlójűban lévő többször zárójeles részt kell deriválni
- ez egy másodfokú egyenletet ad, amit utána meg kell oldani
- a két gyökével pedig ki kell számolni az eredeti sok zárójeles eredményét (x-ekbe behelyettesítve) és a nagyobb lesz a mérvadó
- a megfelelő eredményt behelyetteítjük az eredeti képletbe és kiszámoljuk
LU felbontás
- kapunk két mátrixot egy L-t és egy U-t
- kapunk egy b vektort
- igaz az LUx = b állítás
- úgy oldjuk meg hogy az U*x = y hozunk létre
- tehát Ly = b lesz
- ebből létrehozhatunk egy egyenletrendszert, ahool a tényezők az L mátrix számai és az ismeretlen y_1 y_2 y_3
- meg kell oldani az egyenletrendszert és kifejezni a 3 y-t
- eztekkel utána megoldható lesz az ux = y egyenletrendszer is ahol a három x megoldást számoljuk ki, ami pedig a megoldásvektor lesz majd
Trapéz szabály
hibabecslés: \frac{(b-a)^3}{12n^2}M_2
h = \frac{b-a}{n}
\int_a^bf(x) dx = \frac{h}{2}(f(x_0)+2*\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n))
n az az hogy hány lépésből kell megtenn
a = integrál alsó haátra
b = integrál felső határa
$M_2$ - mindig a függvény kitszer derivált formája kell
integrál határok behelyettesítése és a nagyobb eredmény kell
abszolút értéke kell a fügvénynek!!
kijön egy n = egész szám, ez lesz az hogy mennyi részre bontjuk az intervallumot
Simpson szabály
hibabecslés: \frac{(b-a)^5}{2880n^4}*M_4
h = \frac{b-a}{2n}
\int_a^bf(x) dx = \frac{h}{3}(f(x_0)+4\sum_{i=1}^{n}f(x_{2i-1})+2*\sum_{i=1}^{n-1}f(x_{2i})+f(x_{2n}))
