Mesure De Lebesgue

Question 1

Mesure extérieure sur un ensemble E

Answer 1

µ* est une mesure extérieure sur E si
µ(∅)=0
B contient A => µ(B)>=µ(A)
µ est sous-aditive (µ(AUB)<=µ(A)+µ(B))
On associe à µ la tribu M(µ)={B€P(E) tq pour tout A€P(E),µ(A)=µ(A∩B)+µ(A∩com(B)) def sur E.
µ* restreint à M(µ) est une mesure sur M(µ)

Question 2

Mesure de Lebesgue sur R

Answer 2

Soit A€P(R)
L(A)=inf { som(n)(bn-an), ]an,bn[ tq A soit dans l’union sur n des ]an,bn[ }
L est une mesure extérieure sur R.
on note L la restriction de L* à M(L), L est la mesure de Lebesgue sur R.
M(L) contient B(R)

Question 3

propriété de la mesure de Lebesgue

Answer 3

L(]a,b[)=L([a,b])=b-a
la mesure d’un ensemble dénombrable est nulle.
M(L*) est la complété de B(R).

Question 4

Semi-Algèbre

Answer 4

Une semi-algèbre d’ensembles est un ensemble S de parties d’un ensemble X qui vérifie :
∅€S
Pour tous A, B éléments de S, A∩B€S
S est stable par intersection (finie).

Question 5

THM d’extension de Caratheodory

Answer 5

S={intervalle de R}
Soit µ de S dans R+U{inf} additive tq µ(∅)=0
Alors il existe une unique extension de µ (noté encore µ) à l’algèbre engendré par S, elle est encore additive.
µ s’étend à la tribu engendré par S. Cette dernière extension est unique si µ est sigma-finie.