Intro À La Théorie De La Mesure

Question 1

Algèbre

Answer 1

Une algèbre A sur E est un sous-ensemble de P(E) tq
•E€A
•B€A => Comp(B)€A
•A1,A2 € A => A1UA2 € A
Rmq : une algèbre est stable par intersection finie.
L’intersection de d’algèbre est une algèbre.

Question 2

Tribu

Answer 2

une tribu A est un sous ensemble de P(E) tq
E€A
B€A => comp(B)€A
pour tout (Ai), i€I, I au plus dénombrable, alors l’union des Ai est dans A.
Une tribu est donc une algèbre stable par union et par intersection dénombrable.
L’union de tribu n’est pas forcément une tribu.

Question 3

tribu engendré par une partie

Answer 3

soit X€ P(E), on appelle tribu engendré par X, et on note s(X) la plus petite tribu contenant X.
s(X) est l’intersection de toutes les tribus contenant X.

Question 4

tribu image reciproque

Answer 4

soit E et F deux ensembles et f : E->F.

Soit A une tribu sur F alors f^(-1)(A)={B€E | f(B)€A} est une tribu sur E.

Question 5

tribu borélienne

Answer 5

La tribu B(R) dite Borélienne est la tribu engendré par les intervalles ouverts de R.
Par exemple, les intervalles semi-ouverts et fermés sont des boréliens.
B(R) est engendré par { ]-inf,x], x€R} et par
{ ]-inf,x], x€Q}

Question 6

espace mesurable

Answer 6

un couple (E,A) où E est un ensemble et A une tribu sur E est dit espace mesurable.
Une mesure sur A est une application
µ : A -> (R+)U{+inf} tq
µ(∅)=0
µ(UAi)=som(µ(Ai)) avec les Ai disjoint dans A

Question 7

Propriétés de la mesure

Answer 7

Soit µ une mesure sur (E,A) un espace mesurable.
µ(AUB)+µ(A∩B)=µ(A)+µ(B)
An croissante alors µ(UAi)=lim µ(An)
An décroissante et tq il existe A0 de mesure finie alors µ(∩Ai)=lim µ(An)
A inclu dans B alors µ(A)<=som µ(Ai)

Question 8

espace mesuré et ensemble négligeable

Answer 8

(E,A,µ) est un espace mesuré

un ensemble N de E est µ-négligeable s’il est contenue dans un mesurable de mesure nul.

Question 9

classe des négligeables

Answer 9

on note Ñ la classe des µ-négligeables
∅€Ñ
Aۄ, B inclu dans A =>Bۄ
Ñ est stable par union et intersection dénombrable.

Question 10

Tribu completé

Answer 10

On appelle tribu complétée de A et on note à la tribu engendré par A et Ñ.
Ã={X€P(E) tq il existe B,D€A, B dans X dans D et µ(D\B)=0}
Ã={X€P(E) tq X=BUN, B€A N€Ñ}
Ã={X€P(E) tq il existe B€A et µ((A\B)U(B\A))=0}
La mesure µ s’étend de manière unique à Ã
les négligeables par rapport à cette nouvelle mesure sur à est encore Ñ.

Question 11

mesure de proba, mesure finie, mesure sigma-finie, mesure régulière

Answer 11

(E,A,µ) espace mesuré
µ est une mesure de proba si µ(E)=1.
µ est une mesure finie si µ(E) est finie
Toute mesure finie peut être normalisé en une mesure de proba.
µ est sigma-finie si E=UAn avec An€A et µ(An) finie pour tout n.
µn = µ( * ∩ An)/µ(An) est une mesure de proba.
Une mesure est régulière si
µ(A)=sup { µ(K),K compact de A}
µ(A)=inf { µ(O), O ouvert contenant A}