MEF1 Flashcards
¿Qué implica la condición de simetría en un problema de mecánica de materiales?
La condición de simetría permite considerar solo la mitad del dominio, donde los desplazamientos normales al plano de simetría deben anularse, modelándose como un apoyo de primera especie. Esto resulta en tensiones normales entre ambas partes y tensiones rasantes nulas en el plano de simetría.
¿Cuál es la diferencia entre la condición de simetría y la condición de antisimetría en problemas de carga?
En la condición de simetría, los desplazamientos normales al plano de simetría se anulan, mientras que en la condición de antisimetría, los desplazamientos paralelos a la línea de antisimetría deben anularse. Esto permite analizar solo la mitad del dominio en ambos casos, pero con diferentes restricciones en los desplazamientos.
¿Cuál es la expresión para la matriz de deformaciones ε en términos de la matriz B y el vector de desplazamientos u?
La matriz de deformaciones se expresa como ε = B(ξ,η) ue, donde B es la matriz que relaciona las deformaciones con los desplazamientos.
¿Qué representan las ecuaciones constitutivas para un material elástico e isótropo en un estado de tensión plana?
Las ecuaciones son σ = Cε, donde σ = [σ11 σ22 σ12]^T y C = (E/(1-ν^2)) [1 ν ν 1 (1-ν)/2] es la matriz de rigidez.
¿Cómo se obtiene la matriz de rigidez elemental K_e a partir de la matriz B y la matriz de constitutiva C?
Se obtiene mediante la integral K_e = ∫_v B^T(ξ,η) C B(ξ,η) dv, considerando que todas las variables son constantes en el espesor h.
¿Cuál es la forma del vector de fuerzas nodales equivalentes G_e en función de la fuerza másica y la matriz de funciones de forma?
El vector de fuerzas nodales es G_e = -ρgh ∫_1^(-1) ∫_1^(-1) [0 φ1 0 φ2 0 φ3 0 φ4]^T |J| dξ dη.
¿Qué condición debe cumplirse para que exista una relación biunívoca entre (x1,x2) y (ξ,η)?
El determinante de la matriz de transformación (jacobiana) J debe ser positivo en todo punto, lo que ocurre si todos los ángulos internos del cuadrilátero son menores que π.
¿Cómo se calcula el área de un triángulo utilizando el producto vectorial de sus lados?
El área se calcula como 2A = ∥(x2 - x1) × (x3 - x1)∥, donde x1, x2 y x3 son las coordenadas de los vértices del triángulo.
¿Cuál es la fórmula para calcular el área del triángulo 1 en función de sus proyecciones sobre los ejes?
El área del triángulo 1 se calcula como 2A1 = |a1(x2 - x2^2) - b1(x1 - x2^1)|, donde a1 y b1 son las proyecciones de los lados sobre los ejes.
¿Cómo se expresa la función φ1(x1, x2) en términos de las áreas y las proyecciones?
La función se expresa como φ1(x1, x2) = (2A1 / 2A) = (1 / 2A)[-b1x1 + a1x2 + b1x2^1 - a1x2^2].
¿Qué condición deben satisfacer las funciones de forma φ_J para que los desplazamientos u_J sean independientes en un nudo I?
Las funciones de forma deben cumplir que φ_J(X_I) = δ_IJ, donde φ_I(X_I) = 1 y φ_J(X_I) = 0 para I ≠ J.
¿Cuál es la implicación de que la suma de las funciones de forma φ_I sea igual a 1?
Esto asegura que si todos los nudos se desplazan la misma cantidad u_c, todos los puntos del elemento se desplazan igual, es decir, u(X) = u_c.
¿Qué condición se debe cumplir en la interfaz entre dos elementos para asegurar la continuidad de desplazamientos?
El desplazamiento en la interfaz debe ser el mismo independientemente del elemento desde el cual se evalúe, lo que se logra utilizando funciones de forma nodales φ_I que valen 0 en los lados del elemento que no incluyen al nudo I.
¿Qué se entiende por la notación de Voigt en el contexto de deformaciones y tensiones?
La notación de Voigt es una forma matricial de representar los campos de desplazamientos, deformaciones y tensiones, donde se utilizan vectores y matrices para simplificar las ecuaciones en mecánica de materiales.
¿Qué ocurre con los desplazamientos virtuales en los puntos donde los desplazamientos reales son conocidos?
En esos puntos, los desplazamientos virtuales son nulos, lo que significa que el desplazamiento real no es incógnita del problema y no establece una condición de equilibrio.
¿Cómo se definen las funciones de interpolación en un triángulo maestro en términos de las áreas de los triángulos formados por un punto Q y los vértices del triángulo?
Las funciones de interpolación se definen como: φ₁(ξ, η) = A₁/A = 1 - ξ - η, φ₂(ξ, η) = A₂/A = ξ, φ₃(ξ, η) = A₃/A = η, donde A es el área total del triángulo maestro.
¿Cuál es la relación entre las áreas de los triángulos formados por un punto Q y los vértices del triángulo maestro?
Las áreas de los triángulos son A₁ = (1/2) - (ξ/2) - (η/2), A₂ = ξ/2, y A₃ = η/2, donde A es el área total del triángulo maestro que es A = 1/2.
¿Cómo se expresan las funciones de forma en un triángulo arbitrario en el plano x₁-x₂?
Las funciones de forma en un triángulo arbitrario se expresan como: φ₁(x₁, x₂) = A₁(x₁, x₂)/A, φ₂(x₁, x₂) = A₂(x₁, x₂)/A, φ₃(x₁, x₂) = A₃(x₁, x₂)/A, donde A es el área total del triángulo.
¿Qué interpretación geométrica se da a las funciones de interpolación en el contexto de un triángulo maestro?
La interpretación geométrica se basa en que un punto Q en el interior del triángulo divide el triángulo en tres subtriángulos, y las funciones de interpolación representan la relación entre el área de cada subtriángulo y el área total del triángulo maestro.
¿Cuál es la expresión para el trabajo virtual asociado en el contexto de elementos finitos?
TV E_s = ∫ L v·fds = [v_11 v_12 v_21 v_22] ∫_0^1 [1−ξ 1−ξ ξ ξ] [1−ξ ξ 1−ξ ξ] Ldξ [f_11 f_12 f_21 f_22]
¿Cómo se define la variación de temperatura dentro de un elemento en un estado plano discretizado?
∆T(x_1,x_2) = ∑_{I=1}^{3} φ_I ∆T_I
¿Cómo se expresa el estado tensional inicial en un sólido bajo un cambio térmico?
σ_0{ii} = -Eα∆T/(1−2ν) = -3Kα∆T, donde σ_0 = [σ_0{11} σ_0{22} σ_0{33}] = -Eα∆T/(1−2ν) [1 1 1]
¿Qué es discretizar el dominio?
Es el proceso de dividir un dominio continuo en un conjunto finito de elementos más pequeños (generalmente triángulos, cuadriláteros, tetraedros, etc.) para poder resolver aproximadamente un problema continuo. Cada elemento está conectado por nodos donde se definen las incógnitas (desplazamientos, temperatura, etc.).
¿Qué son las funciones de interpolación?
Son funciones matemáticas utilizadas para aproximar las variables dentro de un elemento (como desplazamientos) a partir de los valores conocidos en los nodos. Estas funciones son polinomios que dependen del tipo de elemento (lineal, cuadrático, etc.).
¿La función de interpolación es continua entre elementos?
La función de interpolación generalmente es continua en los nodos compartidos entre elementos, lo que asegura compatibilidad en los desplazamientos.
Sin embargo, las tensiones y deformaciones no necesariamente son continuas entre elementos, porque estas se derivan de los desplazamientos, y las derivadas de las funciones de interpolación pueden ser discontinuas en los bordes entre elementos.
