Maths - Formules

Question 1

Géométrie

Al Kashi

Answer 1

a² = b² + c² - 2bc⋅cos(Â)

a = côté opposé à l’angle Â, c-à-d- BC

Question 2

Géométrie

Loi des sinus

Answer 2

a/sin(Â) = b/sin(B̂) = c/sin(Ĉ)

ou

sin(Â)/a = sin(B̂)/b = sin(Ĉ)/c

a = côté opposé à l’angle Â, c-à-d- BC

Question 3

Géométrie

cos(αx) = cos(a)

Comment trouver x ?

Answer 3

• αx = a+2kπ

ou

• αx = -a+2kπ

Question 4

Géométrie

sin(αx) = sin(a)

Comment trouver x ?

Answer 4

• αx = a+2kπ

ou

• αx = π-a+2kπ

Question 5

Géométrie

tan(αx) = tan(a)

Comment trouver x ?

Answer 5

αx = a+kπ

Pas de 2 !
Une seule solution possible.

Question 6

Géométrie

Norme d’un vecteur

Answer 6

‖v‖ = √(a²+b²+c²)

Racine de la somme des carrés des composantes

Question 7

Géométrie

Somme de deux vecteurs

u(a;b) + v(b;c)

Answer 7

u+v = (a+c ; b+d)

Chaque composante = somme des composantes des vecteurs additionnés.

Question 8

Géométrie

Produit scalaire

u (a;b;c) ⋅ v (d;e;f)

Dot product

Answer 8

• u⋅v = ‖u‖⋅‖v‖⋅cos(θ)

et

• u⋅v = ad+be+cf

et
somme des produits des composantes

Produit des normes et de l’angle

“dot cos” — Scalaire = nombre

Question 9

Géométrie

Produit vectoriel

u (a;b;c) × v (d;e;f)

Cross product

Answer 9

• ‖u×v‖ = ‖u‖⋅‖v‖⋅sin(θ)

et

• u×v = w

(Produit vectoriel en soustrayant les produits des composantes du dessous en X)

produit des normes et de l’angle

“cross sin” — Vectoriel = vecteur (perpendiculaire)

Question 10

Géométrie

Vecteur à partir de deux points

A(xA ; yA ; zA) B(xB ; yB ; zB)

Answer 10

Composantes = coordonnées d’arrivée - coordonnées de départ

• xAB= xB - xA
• yAB = yB - yA
• zAB = zB - zA

Question 11

Géométrie

Norme d’un vecteur à partir de deux points

Answer 11

‖AB‖ = √[(xB-xA)² + (yB-yA)² + (zB-zA)²]

Norme calculée via les composantes obtenues par les coord des points.

Question 12

Géométrie

Coordonnées du milieu d’un segment

(Ou d’un vecteur…)

Answer 12

• xM = (xA+xB)/2
• yM = (yA+yB)/2
• zM = (zA+zB)/2

Chaque coordonnée est la moyenne de celle des deux points du segment

Question 13

Géométrie

Composantes des coordonnées cylindriques

Answer 13

• ρ : projection du rayon sur le plan (x;y)
• θ : angle depuis l’axe x
• z : verticale

Question 14

Géométrie

Coordonnées cartésiennes en cylindriques/polaires :
ρ

Comment obtenir ρ depuis x, y, z ?

Answer 14

ρ = √(x²+y²)

Question 15

Géométrie

Coordonnées cartésiennes en cylindriques/polaires :
θ

Comment obtenir θ depuis x, y, z ?

Answer 15

• θ = arccos(x/ρ)
• θ = arcsin(y/ρ)
• θ = arctan(y/x)

cosinus → x

sinus ↑ y

Question 16

Géométrie

Coordonnées cartésiennes en cylindriques :
z

Comment obtenir z depuis x, y, z ?

Answer 16

z = z

Question 17

Géométrie

Coordonnées cylindriques/polaires en cartésiennes :
x

Comment obtenir x depuis ρ ; θ ; z ?

Answer 17

x = ρ⋅cos(θ)

x → cos

Question 18

Géométrie

Coordonnées cylindriques/polaires en cartésiennes :
y

Comment obtenir y depuis ρ ; θ ; z ?

Answer 18

y = ρ⋅sin(θ)

y ↑ sin

Question 19

Géométrie

Coordonnées cylindriques/polaires en cartésiennes :
z

Comment obtenir z depuis ρ ; θ ; z ?

Answer 19

z = z

Ne pas confondre avec les coordonnées sphériques.

Question 20

Géométrie

Composantes des coordonnées sphériques

Answer 20

• r : rayon (du centre au point)
• θ : angle depuis l’axe z (verticale)
• φ : angle depuis l’axe x (horizontale)

Ne pas confondre avec les coordonnées cylindriques ou géographiques

Question 21

Géométrie

Coordonnées cartésiennes en sphériques :
r

Comment obtenir r depuis x, y, z ?

Answer 21

r = √(x²+y²+z²)

r = racine de la somme des carrés des trois coordonnées

cf. Pythagore

Question 22

Géométrie

Coordonnées cartésiennes en sphériques :
θ

Comment obtenir θ depuis x, y, z ?

Answer 22

θ = arccos(z/r)

Ne pas confondre avec les coord. cylindriques.
En sphérique, θ part de la verticale : z.

Question 23

Géométrie

Coordonnées cartésiennes en sphériques :
φ

Comment obtenir φ depuis x, y, z ?

Answer 23

φ = arctan(y/x)

Ne pas confondre avec les coord. cylindriques.

Question 24

Géométrie

Coordonnées sphériques en cartésiennes :
x

Comment obtenir x depuis r ; θ ; φ ?

Answer 24

x = r ⋅ sin(θ) ⋅ cos (φ)

Question 25

Géométrie

Coordonnées sphériques en cartésiennes :
y

Comment obtenir y depuis r ; θ ; φ ?

Answer 25

y = r ⋅ sin(θ) ⋅ sin (φ)

Question 26

Géométrie

Coordonnées sphériques en cartésiennes :
z

Comment obtenir z depuis r ; θ ; φ ?

Answer 26

z = r ⋅ cos(θ)

z est l’axe vertical, donc on se contente de l’angle à la verticale, θ.

Question 27

Algèbre

Dérivée de :
f(x) = a

Answer 27

f’(x) = 0

Question 28

Algèbre

Dérivée de :
f(x) = ax

Answer 28

f’(x) = a

Question 29

Algèbre

Dérivée de :
f(x) = x²

Answer 29

f’(x) = 2x

Question 30

Algèbre

Dérivée de :
f(x) = x ⁿ

Answer 30

f’(x) = nx ⁿ⁻¹

Question 31

Algèbre

Résolution d’équation :
a  c
— = —
b  d
Comment simplifier ?

Answer 31

ad = bc

Produit en croix

On multiplie le dénominateur de l’une par le numérateur de l’autre, et vice-versa.

Question 32

Algèbre

Discriminant (Δ) d’une équation du 2° degré.

f(x) = ax² + bx +c

Answer 32

Δ = b² - 4ac

Question 33

Algèbre

Caractéristique de la courbe d’une équation du 2° degré dont le discriminant est négatif
Δ < 0

Answer 33

Δ < 0 :
l’équation n’a pas de solution

(Dans ℝ, l’ensemble des nombres réels… mais OSEF.)

Question 34

Algèbre

Caractéristique de la courbe d’une équation du 2° degré dont le discriminant est nul
Δ = 0

Answer 34

Δ = 0 :
l’équation a une seule solution
(elle est tangente à l’axe x)

  -b
x = ——
  2a

Question 35

Algèbre

Caractéristique de la courbe d’une équation du 2° degré dont le discriminant est positif
Δ > 0

Answer 35

Δ > 0 :
l’équation a deux solutions
(elle croise l’axe x)

  -b-√Δ
x₁ = ————
   2a

  -b+√Δ
x₂ = ————
   2a

Δ = b² - 4ac

Question 36

Algèbre

Forme factorisée d’une équation du second degré

f(x) = ax² + bx +c

Équation // Polynôme

Answer 36

f(x) = a⋅(x-x₁)⋅(x-x₂)

x₁ et x₂ possibles seulement si Δ > 0