Maths - Formules Flashcards
Géométrie
Al Kashi
a² = b² + c² - 2bc⋅cos(Â)
a = côté opposé à l’angle Â, c-à-d- BC
Géométrie
Loi des sinus
a/sin(Â) = b/sin(B̂) = c/sin(Ĉ)
ou
sin(Â)/a = sin(B̂)/b = sin(Ĉ)/c
a = côté opposé à l’angle Â, c-à-d- BC
Géométrie
cos(αx) = cos(a)
Comment trouver x ?
- αx = a+2kπ
ou
- αx = -a+2kπ
Géométrie
sin(αx) = sin(a)
Comment trouver x ?
- αx = a+2kπ
ou
- αx = π-a+2kπ
Géométrie
tan(αx) = tan(a)
Comment trouver x ?
αx = a+kπ
Pas de 2 !
Une seule solution possible.
Géométrie
Norme d’un vecteur
‖v‖ = √(a²+b²+c²)
Racine de la somme des carrés des composantes
Géométrie
Somme de deux vecteurs
u(a;b) + v(b;c)
u+v = (a+c ; b+d)
Chaque composante = somme des composantes des vecteurs additionnés.
Géométrie
Produit scalaire
u (a;b;c) ⋅ v (d;e;f)
Dot product
- u⋅v = ‖u‖⋅‖v‖⋅cos(θ)
et
- u⋅v = ad+be+cf
et
somme des produits des composantes
Produit des normes et de l’angle
“dot cos” — Scalaire = nombre
Géométrie
Produit vectoriel
u (a;b;c) × v (d;e;f)
Cross product
- ‖u×v‖ = ‖u‖⋅‖v‖⋅sin(θ)
et
- u×v = w
(Produit vectoriel en soustrayant les produits des composantes du dessous en X)
produit des normes et de l’angle
“cross sin” — Vectoriel = vecteur (perpendiculaire)
Géométrie
Vecteur à partir de deux points
A(xA ; yA ; zA) B(xB ; yB ; zB)
Composantes = coordonnées d’arrivée - coordonnées de départ
- xAB= xB - xA
- yAB = yB - yA
- zAB = zB - zA
Géométrie
Norme d’un vecteur à partir de deux points
‖AB‖ = √[(xB-xA)² + (yB-yA)² + (zB-zA)²]
Norme calculée via les composantes obtenues par les coord des points.
Géométrie
Coordonnées du milieu d’un segment
(Ou d’un vecteur…)
- xM = (xA+xB)/2
- yM = (yA+yB)/2
- zM = (zA+zB)/2
Chaque coordonnée est la moyenne de celle des deux points du segment
Géométrie
Composantes des coordonnées cylindriques
- ρ : projection du rayon sur le plan (x;y)
- θ : angle depuis l’axe x
- z : verticale
Géométrie
Coordonnées cartésiennes en cylindriques/polaires :
ρ
Comment obtenir ρ depuis x, y, z ?
ρ = √(x²+y²)
Géométrie
Coordonnées cartésiennes en cylindriques/polaires :
θ
Comment obtenir θ depuis x, y, z ?
- θ = arccos(x/ρ)
- θ = arcsin(y/ρ)
- θ = arctan(y/x)
cosinus → x
sinus ↑ y
Géométrie
Coordonnées cartésiennes en cylindriques :
z
Comment obtenir z depuis x, y, z ?
z = z
Géométrie
Coordonnées cylindriques/polaires en cartésiennes :
x
Comment obtenir x depuis ρ ; θ ; z ?
x = ρ⋅cos(θ)
x → cos
Géométrie
Coordonnées cylindriques/polaires en cartésiennes :
y
Comment obtenir y depuis ρ ; θ ; z ?
y = ρ⋅sin(θ)
y ↑ sin
Géométrie
Coordonnées cylindriques/polaires en cartésiennes :
z
Comment obtenir z depuis ρ ; θ ; z ?
z = z
Ne pas confondre avec les coordonnées sphériques.
Géométrie
Composantes des coordonnées sphériques
- r : rayon (du centre au point)
- θ : angle depuis l’axe z (verticale)
- φ : angle depuis l’axe x (horizontale)
Ne pas confondre avec les coordonnées cylindriques ou géographiques
Géométrie
Coordonnées cartésiennes en sphériques :
r
Comment obtenir r depuis x, y, z ?
r = √(x²+y²+z²)
r = racine de la somme des carrés des trois coordonnées
cf. Pythagore
Géométrie
Coordonnées cartésiennes en sphériques :
θ
Comment obtenir θ depuis x, y, z ?
θ = arccos(z/r)
Ne pas confondre avec les coord. cylindriques.
En sphérique, θ part de la verticale : z.
Géométrie
Coordonnées cartésiennes en sphériques :
φ
Comment obtenir φ depuis x, y, z ?
φ = arctan(y/x)
Ne pas confondre avec les coord. cylindriques.
Géométrie
Coordonnées sphériques en cartésiennes :
x
Comment obtenir x depuis r ; θ ; φ ?
x = r ⋅ sin(θ) ⋅ cos (φ)
Géométrie
Coordonnées sphériques en cartésiennes :
y
Comment obtenir y depuis r ; θ ; φ ?
y = r ⋅ sin(θ) ⋅ sin (φ)
Géométrie
Coordonnées sphériques en cartésiennes :
z
Comment obtenir z depuis r ; θ ; φ ?
z = r ⋅ cos(θ)
z est l’axe vertical, donc on se contente de l’angle à la verticale, θ.
Algèbre
Dérivée de :
f(x) = a
f’(x) = 0
Algèbre
Dérivée de :
f(x) = ax
f’(x) = a
Algèbre
Dérivée de :
f(x) = x²
f’(x) = 2x
Algèbre
Dérivée de :
f(x) = x ⁿ
f’(x) = nx ⁿ⁻¹
Algèbre
Résolution d’équation :
a c
— = —
b d
Comment simplifier ?
ad = bc
Produit en croix
On multiplie le dénominateur de l’une par le numérateur de l’autre, et vice-versa.
Algèbre
Discriminant (Δ) d’une équation du 2° degré.
f(x) = ax² + bx +c
Δ = b² - 4ac
Algèbre
Caractéristique de la courbe d’une équation du 2° degré dont le discriminant est négatif
Δ < 0
Δ < 0 :
l’équation n’a pas de solution
(Dans ℝ, l’ensemble des nombres réels… mais OSEF.)
Algèbre
Caractéristique de la courbe d’une équation du 2° degré dont le discriminant est nul
Δ = 0
Δ = 0 :
l’équation a une seule solution
(elle est tangente à l’axe x)
-b
x = ——
2a
Algèbre
Caractéristique de la courbe d’une équation du 2° degré dont le discriminant est positif
Δ > 0
Δ > 0 :
l’équation a deux solutions
(elle croise l’axe x)
-b-√Δ
x₁ = ————
2a
-b+√Δ
x₂ = ————
2a
Δ = b² - 4ac
Algèbre
Forme factorisée d’une équation du second degré
f(x) = ax² + bx +c
Équation // Polynôme
f(x) = a⋅(x-x₁)⋅(x-x₂)
x₁ et x₂ possibles seulement si Δ > 0
