Maths 4° Géometrie Advanced Flashcards
Parallélogrammes particuliers
Le rectangle
1- Définition
2- Proposition 1 (les angles)
3- Proposition 2 (les diagonales)
4- Réciproque 2 (les diagonales)
Définition 1 : Un rectangle est un parallélogramme ayant un angle droit.
Proposition 1 : Tous les angles d’un rectangles sont droits.
Proposition 2 : Les diagonales d’un rectangles ont la même longueur.
Réciproque 2 : Un parallélogramme qui a ses diagonales de même longueur est un rectangle
Parallélogrammes
1- Définition
2- Proposition par rapport aux diagonales
3- Proposition par rapport aux côtés opposés et 2 réciproques
1- Un parallélogramme est un quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles.
Soit un quadrilatère :
2- Proposition 1 : S’il est un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leurs milieux.
2- Réciproque 1 : Si ses diagonales se coupent en leurs milieux, c’est un parallélogramme.
3- Proposition 2 : S’il est un parallélogramme, ses côtés opposés ont même longueur.
3- Réciproque 2 : Si ses côtés opposés ont même longueur, c’est un parallélogramme.
3- Réciproque 3 : S’il a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, c’est un parallélogramme.
Triangle
Médiatrice
Définition et propriété
Dans un triangle, une médiatrice est une droite perpendiculaire à un côté et qui coupe ce côté en son milieu.
Donc tout point M de la médiatrice vérifie MA = MB .
Réciproquement, si un point M vérifie MA = MB alors M est un point de la médiatrice d .
Un triangle a trois médiatrices.
Leur point d’intersection correspond au centre du cercle circonscrit au triangle.
Théorème de Pythagore
Propriété
Propriété de Pythagore
Si un triangle est rectangle, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés de l’angle droit.
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC ² = AB ² + AC ² .
Utilisation : Pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle
A noter : Réciproque du théorème
Si dans un triangle ABC, on a la relation BC ² = AB ² + AC ² alors ABC est rectangle en A .
Utilisation : Pour démontrer qu’un triangle est rectangle
Triangle
Bissectrice
Définition
La bissectrice est la demi-droite qui coupe un angle, en 2 angles de même mesure.
Ex : (BC) est la bissectrice de l’angle A B D.
Dans un triangle, il y a trois bissectrices.
Leur point d’intersection correspond au centre du cercle inscrit dans le triangle.
Triangle
Hauteur
Définition et 2 propriétés
Une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.
Les hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.
Les hauteurs concourent à l’intérieur du triangle si tous ses angles sont aigus.
Les hauteurs concourent à l’extérieur si un des angles est obtus.
Triangle rectangle
Propriété des hauteurs
Les 3 hauteurs concourent en un point qui est le sommet de l’angle droit.
Triangle isocèle
Particularité des angles ?
Un triangle isocèle a 2 angles égaux.
Triangle équilatéral
Combien mesurent les angles ?
Un triangle équilatéral a 3 angles égaux qui font 60° chacun.
3 x 60° = 180°
Triangle
Théorèmes des milieux (1/3)
Enoncer le théorème qui sert à démontrer que deux droites sont parallèles.
Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, elle est parallèle au troisième.
Cette droite est la droite des milieux.
(DE) // (CB), AD = DC et AE = EB
Triangle
Théorèmes des milieux (2/3)
Enoncer le théorème qui sert à démontrer qu’un point est le milieu d’un segment.
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un second côté, elle coupe le troisième en son milieu.
Triangle
Théorèmes des milieux (3/3)
Enoncer le théorème qui sert à calculer des longueurs.
Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.
Triangle
Médianes
Définition et 2 propriétés
Une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé.
Les médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité.
Le centre de gravité est situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet. Si G est le centre de gravité, on a alors : AG = 2/3 AA’ ou A’G=1/3AA’ ou AG = 2A’G BG = 2/3 BB’ etc…
Triangle rectangle
Comment calculer la longueur d’une médiane à partir de l’hypoténuse ?
Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse.
Triangle rectangle
Comment démontrer qu’un triangle est rectangle ?
5 possibilités
Il a un angle de 90°.
ou
Il a deux angles qui sont complémentaires.
ou
A l’aide de la réciproque du théorème de Pythagore :
Si dans un triangle ABC, on a la relation BC ² = AB ² + AC ² alors ABC est rectangle en A .
ou
Si, dans un triangle, la médiane issue d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé alors le triangle est rectangle en ce sommet.
ou
Triangle dans un cercle circonscrit (voir cette fiche)
Triangle rectangle
Comment calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle ?
A l’aide du théorème de Pythagore.
Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés de l’angle droit.
Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC ² = AB ² + AC ² .
Triangle rectangle en A
Où se situe l’Hypoténuse
L’hypoténuse est le côté le plus grand d’un triangle rectangle.
Dans un triangle rectangle en A, l’hypoténuse est le côté BC
Définition d’un angle aigu ?
Un angle aigu est un angle dont l’ouverture est comprise entre 0° et 90°.
Un angle aigu est donc plus petit qu’un angle droit.
Triangle
Combien mesure l’angle droit ?
(Lorsqu’on a un triangle rectancle en A, l’angle droit est la mesure de cet angle)
L’angle droit du triangle rectangle mesure 90°.
Triangle - Le cosinus d’un angle aigu
Formule
Valeur (entre quoi et quoi) ?
Utilisation
Tangente
Définition
Soit un un point B appartenant à un cercle de centre A, la tangente est la droite passant par B et perpendiculaire au rayon [AB].
Translation
Définition
Une translation est le glissement d’une image dans une direction donnée, un sens donné et pour une distance donnée. Une translation conserve :
· les longueurs
· les aires
· les angles
· l’alignement
Translation
3 Propriétés
Par une translation,
- l’image d’une droite est une droite parallèle,
- l’image d’un segment est un segment de même longueur,
- l’image d’un cercle est un cercle de même rayon.
Parallélogrammes particuliers
Le losange
1- Définition
2- Proposition (parallélogramme)
3- Réciproque (les côtés)
3- Proposition (les diagonales)
Définition 2 : Un losange est un quadrilatère ayant ses côtés de même longueur.
Proposition 3 : Un losange est un parallélogramme.
Réciproque 3 : Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.
Proposition 4 : Un parallélogramme ayant ses diagonales perpendiculaires est un losange.
Parallélogrammes particuliers
Le carré
Définition
Un carré est à la fois un losange et un rectangle.
Triangle
Cercle inscrit dans un triangle
Dans un triangle, il y a trois bissectrices qui se coupent en un point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
Pour construire le cercle inscrit dans le triangle ABC, on a d’abord construit les trois bissectrices du triangle ABC.
Les trois bissectrices se coupent en un point : le point O qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.
Il ne reste plus qu’à tracer le cercle inscrit.
Angle
Définir le côté opposé et le côté adjacent
Le côté adjacent à l’angle est le côté qui fait partie de l’angle.
Le côté opposé à l’angle est le côté situé « en face » de l’angle, c’est-à-dire celui qui n’appartient pas à l’angle.
Triangle
A l’aide de quelle formule peut on calculer la mesure d’un angle ?
Cas pratique : si on a un triangle ABC rectangle en A.
AB = 4cm, BC = 5cm et AC = 3cm.
Calculer l’angle A C B.
A l’aide de la formule du cosinus
donc :
côté adjacent = cos α x hypoténuse
et :
Hypoténuse = (coté adjacent) / (cos α)
Exemple : J’ai un triangle ABC rectangle en A.
AB = 4cm, BC = 5cm et AC = 3cm.
Calculer l’angle A C B.
Déterminons l’hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent à l’angle A C B :
Cos de l’angle ACB = (BC) / (AC)
Cos de l’angle ACB = 5 / 3
Cos de l’angle ACB = 0,6
l’angle ACB = cos-1 0,6 = 53,1°
NB : sur ta calculatrice, la touche cos-1 se trouve au-dessus de la touche cos. On l’obtient, en général en appuyant, au préalable, sur la touche « 2nd ».
Traingle
Définir Orthocentre
Dans un triangle il y a trois sommets, donc il y a trois hauteurs.
Le point d’intersection des trois hauteurs d’un triangle s’appelle l’orthocentre.
Triangle
Somme des angles ?
La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.
Triangle rectangle et isocèle
Particularité des angles ?
Un triangle rectangle et isocèle a un angle de 90° et deux angles de 45° chacun.
90° + (2 x 45°) = 180°
Angles complémentaires
Définir
Deux angles complémentaires sont deux angles adjacents dont la somme des mesures est égale à 90°.
Angles supplémentaires
Définir
Deux angles supplémentaires sont deux angles adjacents dont la somme des
mesures est égale à 180°.
Droites concourantes
Définir
Deux droites concourantes sont deux droites qui sont sécantes et donc qui se coupent en un point.
Droites perpendiculaires
Définir
Deux droites perpendiculaires sont deux droites qui se coupent en formant un angle droit (= 90°).
Théorème de Pythagore
Réciproque
Réciproque du théorème
Si dans un triangle ABC, on a la relation BC ² = AB ² + AC ² alors ABC est rectangle en A .
Utilisation : Pour démontrer qu’un triangle est rectangle
Théorème de Thalès
Définition
Réciproque
Le théorème de Thalès permet de calculer une ou plusieurs longueurs dans certaines figures
pour appliquer le théorème de Thalès, il faut que (DE) // (BC).
D’après le théorème de Thalès, on a :
DE = AD = AE
BC AB AC
La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles, dans les figures du même type
que celle ci-dessus.
Triangle rectangle et cercle circonscrit
Expliquer
Les 3 médiatrices du triangle rectangle sont concourantes.
Leur point d’intersection est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
Un triangle rectangle est inscrit dans un cercle qui a pour diamètre l’hypoténuse.
Le centre du cercle correspond donc au milieu de l’hypoténuse.
On peut aussi démontrer qu’un triangle est rectangle :
Si un triangle ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [AB] et que le point C appartient à ce même cercle, alors le triangle
ABC est rectangle en C.
