Maths 4° Géometrie Advanced

Question 1

Parallélogrammes particuliers

Le rectangle

1- Définition

2- Proposition 1 (les angles)

3- Proposition 2 (les diagonales)

4- Réciproque 2 (les diagonales)

Answer 1

Définition 1 : Un rectangle est un parallélogramme ayant un angle droit.

Proposition 1 : Tous les angles d’un rectangles sont droits.

Proposition 2 : Les diagonales d’un rectangles ont la même longueur.

Réciproque 2 : Un parallélogramme qui a ses diagonales de même longueur est un rectangle

Question 2

Parallélogrammes

1- Définition

2- Proposition par rapport aux diagonales

3- Proposition par rapport aux côtés opposés et 2 réciproques

Answer 2

1- Un parallélogramme est un quadrilatère ayant ses côtés opposés parallèles.

Soit un quadrilatère :

2- Proposition 1 : S’il est un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leurs milieux.

2- Réciproque 1 : Si ses diagonales se coupent en leurs milieux, c’est un parallélogramme.

3- Proposition 2 : S’il est un parallélogramme, ses côtés opposés ont même longueur.

3- Réciproque 2 : Si ses côtés opposés ont même longueur, c’est un parallélogramme.

3- Réciproque 3 : S’il a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, c’est un parallélogramme.

Question 3

Triangle

Médiatrice

Définition et propriété

Answer 3

Dans un triangle, une médiatrice est une droite perpendiculaire à un côté et qui coupe ce côté en son milieu.

Donc tout point M de la médiatrice vérifie MA = MB .

Réciproquement, si un point M vérifie MA = MB alors M est un point de la médiatrice d .

Un triangle a trois médiatrices.
Leur point d’intersection correspond au centre du cercle circonscrit au triangle.

Question 4

Théorème de Pythagore

Propriété

Answer 4

Propriété de Pythagore

Si un triangle est rectangle, alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés de l’angle droit.

Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC ² = AB ² + AC ² .

Utilisation : Pour calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle

A noter : Réciproque du théorème

Si dans un triangle ABC, on a la relation BC ² = AB ² + AC ² alors ABC est rectangle en A .

Utilisation : Pour démontrer qu’un triangle est rectangle

Question 5

Triangle

Bissectrice

Définition

Answer 5

La bissectrice est la demi-droite qui coupe un angle, en 2 angles de même mesure.
Ex : (BC) est la bissectrice de l’angle A B D.

Dans un triangle, il y a trois bissectrices.
Leur point d’intersection correspond au centre du cercle inscrit dans le triangle.

Question 6

Triangle

Hauteur

Définition et 2 propriétés

Answer 6

Une hauteur est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé.

Les hauteurs sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.

Les hauteurs concourent à l’intérieur du triangle si tous ses angles sont aigus.

Les hauteurs concourent à l’extérieur si un des angles est obtus.

Question 7

Triangle rectangle

Propriété des hauteurs

Answer 7

Les 3 hauteurs concourent en un point qui est le sommet de l’angle droit.

Question 8

Triangle isocèle

Particularité des angles ?

Answer 8

Un triangle isocèle a 2 angles égaux.

Question 9

Triangle équilatéral

Combien mesurent les angles ?

Answer 9

Un triangle équilatéral a 3 angles égaux qui font 60° chacun.

3 x 60° = 180°

Question 10

Triangle

Théorèmes des milieux (1/3)

Enoncer le théorème qui sert à démontrer que deux droites sont parallèles.

Answer 10

Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, elle est parallèle au troisième.

Cette droite est la droite des milieux.

(DE) // (CB), AD = DC et AE = EB

Question 11

Triangle

Théorèmes des milieux (2/3)

Enoncer le théorème qui sert à démontrer qu’un point est le milieu d’un segment.

Answer 11

Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un second côté, elle coupe le troisième en son milieu.

Question 12

Triangle

Théorèmes des milieux (3/3)

Enoncer le théorème qui sert à calculer des longueurs.

Answer 12

Dans un triangle, la longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est égale à la moitié de celle du troisième côté.

Question 13

Triangle

Médianes

Définition et 2 propriétés

Answer 13

Une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé.

Les médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité.

Le centre de gravité est situé aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet. Si G est le centre de gravité, on a alors : AG = 2/3 AA’ ou A’G=1/3AA’ ou AG = 2A’G BG = 2/3 BB’ etc…

Question 14

Triangle rectangle

Comment calculer la longueur d’une médiane à partir de l’hypoténuse ?

Answer 14

Dans un triangle rectangle, la médiane issue du sommet de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse.

Question 15

Triangle rectangle

Comment démontrer qu’un triangle est rectangle ?

5 possibilités

Answer 15

Il a un angle de 90°.

ou

Il a deux angles qui sont complémentaires.

ou

A l’aide de la réciproque du théorème de Pythagore :

Si dans un triangle ABC, on a la relation BC ² = AB ² + AC ² alors ABC est rectangle en A .

ou

Si, dans un triangle, la médiane issue d’un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé alors le triangle est rectangle en ce sommet.

ou

Triangle dans un cercle circonscrit (voir cette fiche)

Question 16

Triangle rectangle

Comment calculer la longueur d’un côté dans un triangle rectangle ?

Answer 16

A l’aide du théorème de Pythagore.

Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés de l’angle droit.

Si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC ² = AB ² + AC ² .

Question 17

Triangle rectangle en A

Où se situe l’Hypoténuse

Answer 17

L’hypoténuse est le côté le plus grand d’un triangle rectangle.

Dans un triangle rectangle en A, l’hypoténuse est le côté BC

Question 18

Définition d’un angle aigu ?

Answer 18

Un angle aigu est un angle dont l’ouverture est comprise entre 0° et 90°.

Un angle aigu est donc plus petit qu’un angle droit.

Question 19

Triangle

Combien mesure l’angle droit ?

(Lorsqu’on a un triangle rectancle en A, l’angle droit est la mesure de cet angle)

Answer 19

L’angle droit du triangle rectangle mesure 90°.

Question 20

Triangle - Le cosinus d’un angle aigu

Formule

Valeur (entre quoi et quoi) ?

Utilisation

Answer 20

Voir définition sur Hypoténuse et côté adjacent

Valeur entre 0 et 1

Utilisé pour mesurer la valeur d’un angle par exemple

Question 21

Tangente

Définition

Answer 21

Soit un un point B appartenant à un cercle de centre A, la tangente est la droite passant par B et perpendiculaire au rayon [AB].

Question 22

Translation

Définition

Answer 22

Une translation est le glissement d’une image dans une direction donnée, un sens donné et pour une distance donnée. Une translation conserve :

· les longueurs

· les aires

· les angles

· l’alignement

Question 23

Translation

3 Propriétés

Answer 23

Par une translation,

• l’image d’une droite est une droite parallèle,
• l’image d’un segment est un segment de même longueur,
• l’image d’un cercle est un cercle de même rayon.

Question 24

Parallélogrammes particuliers

Le losange

1- Définition

2- Proposition (parallélogramme)

3- Réciproque (les côtés)

3- Proposition (les diagonales)

Answer 24

Définition 2 : Un losange est un quadrilatère ayant ses côtés de même longueur.

Proposition 3 : Un losange est un parallélogramme.

Réciproque 3 : Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur est un losange.

Proposition 4 : Un parallélogramme ayant ses diagonales perpendiculaires est un losange.

Question 25

Parallélogrammes particuliers

Le carré

Définition

Answer 25

Un carré est à la fois un losange et un rectangle.

Question 26

Triangle

Cercle inscrit dans un triangle

Answer 26

Dans un triangle, il y a trois bissectrices qui se coupent en un point qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

Pour construire le cercle inscrit dans le triangle ABC, on a d’abord construit les trois bissectrices du triangle ABC.
Les trois bissectrices se coupent en un point : le point O qui est le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.
Il ne reste plus qu’à tracer le cercle inscrit.

Question 27

Angle

Définir le côté opposé et le côté adjacent

Answer 27

Le côté adjacent à l’angle est le côté qui fait partie de l’angle.

Le côté opposé à l’angle est le côté situé « en face » de l’angle, c’est-à-dire celui qui n’appartient pas à l’angle.

Question 28

Triangle

A l’aide de quelle formule peut on calculer la mesure d’un angle ?

Cas pratique : si on a un triangle ABC rectangle en A.

AB = 4cm, BC = 5cm et AC = 3cm.

Calculer l’angle A C B.

Answer 28

A l’aide de la formule du cosinus

donc :
côté adjacent = cos α x hypoténuse

et :

Hypoténuse = (coté adjacent) / (cos α)

Exemple : J’ai un triangle ABC rectangle en A.

AB = 4cm, BC = 5cm et AC = 3cm.

Calculer l’angle A C B.
Déterminons l’hypoténuse, le côté opposé et le côté adjacent à l’angle A C B :

Cos de l’angle ACB = (BC) / (AC)

Cos de l’angle ACB = 5 / 3

Cos de l’angle ACB = 0,6

l’angle ACB = cos^-1 0,6 = 53,1°

NB : sur ta calculatrice, la touche cos-1 se trouve au-dessus de la touche cos. On l’obtient, en général en appuyant, au préalable, sur la touche « 2nd ».

Question 29

Traingle

Définir Orthocentre

Answer 29

Dans un triangle il y a trois sommets, donc il y a trois hauteurs.
Le point d’intersection des trois hauteurs d’un triangle s’appelle l’orthocentre.

Question 30

Triangle

Somme des angles ?

Answer 30

La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°.

Question 31

Triangle rectangle et isocèle

Particularité des angles ?

Answer 31

Un triangle rectangle et isocèle a un angle de 90° et deux angles de 45° chacun.

90° + (2 x 45°) = 180°

Question 32

Angles complémentaires

Définir

Answer 32

Deux angles complémentaires sont deux angles adjacents dont la somme des mesures est égale à 90°.

Question 33

Angles supplémentaires

Définir

Answer 33

Deux angles supplémentaires sont deux angles adjacents dont la somme des
mesures est égale à 180°.

Question 34

Droites concourantes

Définir

Answer 34

Deux droites concourantes sont deux droites qui sont sécantes et donc qui se coupent en un point.

Question 35

Droites perpendiculaires

Définir

Answer 35

Deux droites perpendiculaires sont deux droites qui se coupent en formant un angle droit (= 90°).

Question 36

Théorème de Pythagore

Réciproque

Answer 36

Réciproque du théorème

Si dans un triangle ABC, on a la relation BC ² = AB ² + AC ² alors ABC est rectangle en A .

Utilisation : Pour démontrer qu’un triangle est rectangle

Question 37

Théorème de Thalès

Définition

Réciproque

Answer 37

Le théorème de Thalès permet de calculer une ou plusieurs longueurs dans certaines figures

pour appliquer le théorème de Thalès, il faut que (DE) // (BC).
D’après le théorème de Thalès, on a :
DE = AD = AE
BC AB AC

La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles, dans les figures du même type
que celle ci-dessus.

Question 38

Triangle rectangle et cercle circonscrit

Expliquer

Answer 38

Les 3 médiatrices du triangle rectangle sont concourantes.

Leur point d’intersection est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.

Un triangle rectangle est inscrit dans un cercle qui a pour diamètre l’hypoténuse.

Le centre du cercle correspond donc au milieu de l’hypoténuse.

On peut aussi démontrer qu’un triangle est rectangle :

Si un triangle ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [AB] et que le point C appartient à ce même cercle, alors le triangle
ABC est rectangle en C.