Mathe G - October to first week october Flashcards
Cómo se define un körper?
- Tiene que tener números
- Existen los Verknuepfungen de Multiplicacion y Adicion
- No importa como los agrupes (Assoziativgesetz)
- No importa en que orden vengan (Kommutativgesetz)
Formalidad de numeros complejos
z = a + bi
Bemerkung : equivalencias de i
i^2 = -1
raiz 2 de i = +- i
Nombres de:
1. z = a+bi
2. -z = a-bi
3. z * -z =?
4. nombre y otra forma de escribir |z| = raiz de z* -z
- notacion normal
- conjugado del numero complejo
- a^2 + b^2
- Betrag o valor absoluto de z, raiz de a^2 + b^2
Gauss’sche Zahlenebene
Es una forma de darle una representación gráfica a los números complejos
Entender que el conjugado de z va en la misma direccion que la parte real (la x), pero tiene dirección contraria con la parte imaginaria (si fuera positivo la parte imaginaria en el z, el z conjugado va en negativo, y viceversa)
Multiplicación en Gauss’sche Zahlebene: qué se usa?
Para esto se utilzan las coordenadas polares: estas son aquellas donde los puntos o posiciones se determinan usando la coordenada angular (ángulo) y la distancia del punto al origen.
jugando con las fórmulas básicas de trigonometría, se reemplaza a por cateto adyacente y b por el opuesto, y sale:
z = r cos (a) + r sen(a)i
Recordatorio:
la hipotenusa o r, es lo mismo que el |z|,
Definición espacio vectorial (Vektorraum):
Hay 2 cosas que tiene que complir: Digamos que el vektorraum es V
1) V es comutativa con agrupación “+” (por lógica practicamente)
2. Linealidad (Linearität):
Esta es una propiedad de escalamiento, donde se habla que un objeto asociado a la suma de otros objetos se puede expresar como la suma de objetos asociados : a(x+y) = ax + ay
Fun Fact 1
(cos (a) + sen (a) ) ^2 = cos(2a) + sen(2a)
Proof by induction: Steps
- Probar que el primer argumento, o el primero elemento del set cumple con la teoria
- el segundo paso va de probar que porque Sn – Sn+1, asumiendo que Sn es verdadero, porque existe una especie de correspondencia de veracidad entre ambos.
Lineare Algebra
Que es una multiplicación escalar
Cuando existe una multiplicación entre un Cuerpo un Espacio vectorial
K x V
Lineare Algebra
Cómo se define una Norma (eine Norm) : ||x||
La norma es la extensión de un vector (magnitud o longitud son válidos)
Se requiere que cumpla con lo siguiente:
- Si la norma ||x|| = 0, o sea que la extensión es nula, el vector x = 0
- ||ax|| = |a| * ||x||. Esto significa que la norma del producto escalar de a con x es igual al valor absoluto del escalar por la norma/longitud del vector x
- ||x+y|| <= ||x|| + ||y||. magnitud de la suma de dos vectores es menor o igual a la suma de las magnitudes individuales de aquellos vectores
- La norma se indexa de la siguiente manera :
* ||x|| = raiz de < x, x >
Lineare Algebra
Propiedades de la funciones en algebra Linear
- Simmetrie : “< x, y > = < y,x >”
- Linealitaet : “(ax + bx, y) = a < x, y> + b < x,y>”
- Producto escalar : “< x,x> >= 0, caso que < x,x > sea igual a 0, significa que x = 0, “
* Dos vectores se llaman ortogonales cuando en el espacio euclideo, es decir en el plano complejo, los dos vectores son perpendiculares
Sobre 3) un producto escalar tambien se escribe como x * y o (x,y)
Lineare Algebra
Filosofia time: Para cada producto escalar existe una norma, pero para cada norm a no existe un producto escalar
Hay diferentes formas de entender esto, pero bueno. Para darle una interpretacion:
Se puede sacar la norma de un producto escalar, es decir, se puede medir la magnitud/longitud de un producto escalar. A su vez, no se puede sacar un producto escalar de una norma, porque puede que exista la norma sin un producto escalar.
Esto ultimo se puede ver de la siguiente manera. Una longitud puede existir ya sea midiendo un vector que tiene o no una extension/acortamiento
Lineare Algebra
Mejor definición de Linealidad
Para que se de la linealidad se tienen que cumplir dos propiedades:
1. Aditividad: Significa que la imagen de la suma de dos vectores es igual a la suma de las imagenes de estos vectores f(u+v)=f(u)+f(v)
2. Homogeneidad: habla de que la imagen del producto de un escalar y un vector es igual al producto del escalar y la imagen del vector
f(cu)=cf(u)
Álgebra Lineal
Definición de Imagen
Fórmula inicial: Im(T)={w∈W∣existe v∈V tal que T(v)=w}
La imagen es un conjunto de vectores de un espacio vectorial que equivalen a las transformaciones de vectores de otro espacio vectorial.
La formula incial de arriba se pudiera anotar igual como: T: V – > W, donde de el/los vector/es w (que pertenecen a W) existe algun v (pertenecientes a V) que equivalen a T(v) (transformación de v)
