Matematik Del B Flashcards
A ⊆ B
A är en delmängd av B
A ⊂ B
A är en äkta delmängd av B
A ∩ B
x; x∈A och x∈B
A ∖ B
x; x∈A och x∉B
Aᶜ
x; x∉A
Funktion
En funktion, f, är en regel som mot varje element a i en mängd A, ordnar ett (och endast ett) element f(a) i en annan mängd B. Vi säger då att f är en funktion från A till B och skriver f: A→B.
A kallas för f:s defintionsmängd
B kallas för f:s målmängd.
En funktionsdeklaration innehåller…
tre saker:
(i) En regel, f
(ii) En defintionsmängd, Df
(iii) En målmängd.
Värdemängd
Alla värden som en funktion, f, kan anta kallas för f:s värdemängd, betecknas Vf.
Grafen till en funktion f
Grafen till en ekvation är mängden av alla punkter vars koordinater uppfyller ekvationen
Grafen till en funktion är grafen till ekvationen y=f(x), för alla x=Df
Sammansättning av funktioner
Givet två funktioner f och g låter vi f ○ g beteckna sammansättningen av f och g, dvs (f○g)(x)=f(g(x)).
Yttre och inre funktion
I f(g(x)) kallas f yttre funktion och g inre funktion.
Injektiv funktion
En funktion f(x) sägs vara injektiv om x₁≠x₂ medför f(x₁)≠f(x₂) eller ekvivalent f(x₁)=f(x₂) medför x₁=x₂.
Invers funktion
Om f är injektiv så finns det en invers funktion, f⁻¹(x), som definieras av
f⁻¹(f(x)) = x, Df⁻¹=Vf
f(f⁻¹(x)) = x, Vf⁻¹=Df
Exponentialfunktion
En exponentialfunktion är en funktion av formen f(x)=aˣ där a>0 och x∈R
Naturliga exponentialfunktionen
(i) Tangenten till en kurva i en punkt (a,b) är den räta linje genom (a,b) som har “samma vinkel” på båda sidor.
(ii) Den exponentialfunktion vars tangent i punkten (0,1) skär x-axeln i (-1,0) kallas för den naturliga exponentialfunktionen. Basen för denna kallas/betecknas e.
Den naturliga logaritmfunktionen
Inversen till f(x)=eˣ kallas för den naturliga logaritmfunktionen och betecknas f⁻¹(x)=ln(x)
Logaritmlagarna
Se bevis
Logaritmen i basen a
Inversen till f(x)=aˣ, a>0, a≠1 är kallas för logaritmen i basen a och betecknas
f⁻¹(x)=ªlog(x)
Kan även skrivas logₐ(x)
ªlog(y)=ln(y)/ln(a)
Se bevis
Enhetscirkeln
sin(v), cos(v) etc.
(i) Cirkeln x²+y²=1 kallas för enhetscirkeln.
(ii) Låt P(v) vara den punkt på enhetscirkeln som svarar mot vinkeln v mätt från moturs från positiva x-axeln.
Vi definierar talen: cos(v) och sin(v) som x- respektive y-koordinaten för punkten P(v).
tan(v) och cot(v) definieras nu som tan(v)=sin(v)/cos(v) och cot(v)=cos(v)/sin(v)
sin(v+n360°)
cos(v+n360°)
Man säger att cos(v) och sin(v) är periodiska med period 360°
cos(-v)
sin(-v)
cos(v)
-sin(v)
sin(180°-v)
cos(180°-v)
sin(v)
-cos(v)
sin(180°+v)
cos(180°+v)
-sin(v)
-cos(v)
Sats: Areasatsen
Antag att en triangel har sidorna med längderna a,b och c, samt att C är vinkeln mot sidan med c. Då gäller att arean, T, är:
T= (a·b·sin(C))/2
Se bevis
Sats: Sinussatsen
I en triangel med vinklarna A,BC, och motstående sidor a,b respektive c gäller att:
Sin A/a = Sin B/b = Sin C/c
Se bevis
Sats: Cosinussatsen
I en triangel med vinklarna A, B och C och motstående sidor a,b respektive c, gäller att:
c² = a² + b² - 2abcos(C)
Se bevis
Radian
1 Radian definieras som vinklen i en cirkelsektor dör cirkelbågen har samma längs som radien.
Sats: Trigonometriska additionsformler
cos(u-v) = cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)
cos(u+v) = cos(u)cos(v)–sin(u)sin(v)
sin(u–v) = sin(u)cos(v)-cos(u)sin(v)
sin(u+v) = sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)
Se bevis
Sats: additionsformler för tan
tan(u+v) = tan(u)+tan(v) / 1–tan(u)tan(v)
tan(u-v) = tan(u)–tan(v) / 1+tan(u)tan(v)
Se bevis
Sats: formler för dubbla vinklen
sin(2v) = 2sin(v)sin(c)
cos(2v) = cos²(v) – sin²(v) = 2cos²(v) -1
tan(2v) = 2tan(v)/1-tan²(v)
Se bevis
Periodicitet
Låt f(x) vara en godtycklig funktion.
Om f(x+T)=f(x) ∀x∈R och T∈(0,∞) är det minsta tal för vilket detta gäller, säger vi att f(x) är periodisk med perioden T.
Periodicitet för tan
tan (x) är periodisk med perioden π.
Invers av f(x)=sin(x)
Vi låter arcsin beteckna inversen till sin, arcsin=sin⁻¹, på intervallet [-π/2, π/2], dvs arcsin [-1,1]–> [-π/2, π/2]
sin(arcsin(x))=x ∀x∈[-1,1]
arcsin(sin(x))=x ∀x∈[-π/2, π/2]
arcsin (-x)
-arcsin(x)
arctan
Vi låter arctan beteckna inversen till tan,
arctan = tan⁻¹ på intervallet (-π/2, π/2)
tan(arctan(x))=x ∀x∈R
arctan(tan(x))=x ∀x∈(-1,1)
arccos
Vi låter arccos beteckna inversen till cos,
arccos=cos⁻¹ på intervallet [0,π]
cos(arccos(x)). ∀x∈[-1,1]
arccos(cos(x))=x ∀x∈[0, π]
arccos(-x)
π - arccos(x)
Ekvationen f(x)=tan(x)
tan(x)=k, där k∈R konst och har lösningarna:
x= arctan (k)+π
Ekvationen f(x)=sin(x)
sin(x)=k
arcsin(k)
x={ eller. n∈Z
π - arcsin(k)
Ekvationen f(x)=cos(x)
cos(x)=k
arccos(k)+2πn
x={ eller. n∈Z
-arccos(k)+2πn
Sats: a·cos(v)+b·sin(v) =sqrt(a²+b²)·sin(v+arctan(a/b)+nπ)
Givet konstanter a,b∈R gäller att:
a·cos(v)+b·sin(v) =sqrt(a²+b²)·sin(v+arctan(a/b)+nπ)
där n=0 om b>0 och n=1 om b<0.
Se bevis
Amplitud och fasvinkel
I uttryck av formen c·sin(v+φ) kallas c för amplitud och φ för fasvinkeln.
Komplexa talsystemet
Nytt talsystem som betecknas C.
Realdelen och imaginärdelen
Låt z=x+iy vara ett komplext tal.
x kallas för realdelen av z och betecknas x=Re(z)
y kallas för imaginärdelen av z, betecknas y=Im(z)
Om y=0, dvs z=x så säger vi att x är reellt
Om x=0, dvs z=iy säger vi att z är rent imaginär
Komplexkonjugat
Låt z=x+iy. Det komplexa talet x-iy kallas för komplexkonjugatet till z, betecknas z¯.
Ordnat talpar
Istället för att tänka på ett komplext tal på z=x+iy, kan man tänka på det som ett ordnat talpar.
z=(x,y)
Algebraisk ekvation av grad n
En algebraisk ekvation av grad n (n:te gradsekvation ör en ekvation av formen:
aₙzⁿ+ aₙ₋₁zⁿ⁻¹+…+a₁z+a₀=0
där aₙ, aₙ₋₁, … , a₀ ∈ C är givna komplexa tal med aₙ≠0, n∈N och z är en komplex variabel.
n kallas för ekvationens gradtal.
Multipelrot av multiplicitet m
Om (z-zk) finns m gånger i faktoruppdelningen, säger vi att zk är en multipelrot av multiplicitet m.
Komplexkonjugerade rötter
Om en algebraisk ekvation med reella koefficienter, så:
Om w∈C är en komplex rot till ekvationen så är även konjugatet till w (w¯) en rot till ekvationen.
Komplexa talplanet
x-axeln kallas realaxeln
y-axeln kallas imaginäraxeln
|z|
Låt z=x+iy med P(x,y) som motsvarande punkt. Längden av OP kallas för beloppet av z och betecknas |z|.
|z|=sqrt(Re(x)²+Im(y)²) = sqrt(x²+y²)
Rätvinkliga koordinater
Polära koordinater
Om vi tänker på C som ett plan följer att ett komplext tal/punkt i planet, z, kan uttryckas på två sätt:
1. Genom att ange dess x- och y-koordinater, dvs det vanliga z=x+iy
2. Genom att ange dess avstånd från origo, r, och dess vinkel till den positiva halvan av θ.
Polär form
Ett komplext tal z∈C sägs vara på polär form om den skrivs på formen:
z=r·cos(θ)+i·r·sin(θ)
De moivres formel
(cos(θ)+isin(θ))ⁿ = cos(nθ)+isin(θ) ∀x∈Z
Sats: Eulers formler
- cos(θ)=(e^(iθ)+e^(-iθ))/2
- sin(θ)=(e^(iθ)+e^(-iθ))/2i
Se bevis
Bionomisk ekvation
En bionomisk ekvation är en ekvation av formen:
zⁿ=w
där n∈N och w∈C är given.
Gränsvärde
lim f(x)= G. ∀ε>0, ∃δ>0; 0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)-G|<ε>a</ε>
Obestämt uttryck
0/0, ∞/∞
Sats: cos(v)<sin(v)/v<1
cos(v)<sin(v)/v<1 gäller för alla 0<|v|< π/2 om v i radianer.
Se bevis
Sats:
(i) lim sin(v)/v=1
v->0
(ii) lim 1-cos(v)/v=0
v->0
Om v mäts i radianer så:
(i) lim sin(v)/v=1
v->0
(ii) lim 1-cos(v)/v=0
v->0
Se bevis
lim f(x)
x->a⁺
f:s högergränsvärde i a = det reella tal f(x) kommer godtyckligt nära a från höger
lim f(x)
x->a⁻
f:s vänstergränsvärde i a = det reella tal f(x) kommer godtyckligt nära a från vänster
Ett gränsvärde
Om lim(x->a⁺) f(x)=lim(x->a⁻) f(x) säger vi att f(x) har ett gränsvärde i x=a och skriver detta: lim(x->a) f(x)
Kontinuerlig funktion
Låt f(x) vara en funktion och låt a∈Df. Vi säger att f(x) är kontinuerlig i x=a om:
lim(x->a) f(x)=f(a)
