Matematik Del B

Question 1

A ⊆ B

Answer 1

A är en delmängd av B

Question 2

A ⊂ B

Answer 2

A är en äkta delmängd av B

Question 3

A ∩ B

Answer 3

x; x∈A och x∈B

Question 4

A ∖ B

Answer 4

x; x∈A och x∉B

Question 5

Aᶜ

Answer 5

x; x∉A

Question 6

Funktion

Answer 6

En funktion, f, är en regel som mot varje element a i en mängd A, ordnar ett (och endast ett) element f(a) i en annan mängd B. Vi säger då att f är en funktion från A till B och skriver f: A→B.
A kallas för f:s defintionsmängd
B kallas för f:s målmängd.

Question 7

En funktionsdeklaration innehåller…

Answer 7

tre saker:
(i) En regel, f
(ii) En defintionsmängd, Df
(iii) En målmängd.

Question 8

Värdemängd

Answer 8

Alla värden som en funktion, f, kan anta kallas för f:s värdemängd, betecknas Vf.

Question 9

Grafen till en funktion f

Answer 9

Grafen till en ekvation är mängden av alla punkter vars koordinater uppfyller ekvationen
Grafen till en funktion är grafen till ekvationen y=f(x), för alla x=Df

Question 10

Sammansättning av funktioner

Answer 10

Givet två funktioner f och g låter vi f ○ g beteckna sammansättningen av f och g, dvs (f○g)(x)=f(g(x)).

Question 11

Yttre och inre funktion

Answer 11

I f(g(x)) kallas f yttre funktion och g inre funktion.

Question 12

Injektiv funktion

Answer 12

En funktion f(x) sägs vara injektiv om x₁≠x₂ medför f(x₁)≠f(x₂) eller ekvivalent f(x₁)=f(x₂) medför x₁=x₂.

Question 13

Invers funktion

Answer 13

Om f är injektiv så finns det en invers funktion, f⁻¹(x), som definieras av
f⁻¹(f(x)) = x, Df⁻¹=Vf
f(f⁻¹(x)) = x, Vf⁻¹=Df

Question 14

Exponentialfunktion

Answer 14

En exponentialfunktion är en funktion av formen f(x)=aˣ där a>0 och x∈R

Question 15

Naturliga exponentialfunktionen

Answer 15

(i) Tangenten till en kurva i en punkt (a,b) är den räta linje genom (a,b) som har “samma vinkel” på båda sidor.
(ii) Den exponentialfunktion vars tangent i punkten (0,1) skär x-axeln i (-1,0) kallas för den naturliga exponentialfunktionen. Basen för denna kallas/betecknas e.

Question 16

Den naturliga logaritmfunktionen

Answer 16

Inversen till f(x)=eˣ kallas för den naturliga logaritmfunktionen och betecknas f⁻¹(x)=ln(x)

Question 17

Logaritmlagarna

Answer 17

Se bevis

Question 18

Logaritmen i basen a

Answer 18

Inversen till f(x)=aˣ, a>0, a≠1 är kallas för logaritmen i basen a och betecknas
f⁻¹(x)=ªlog(x)
Kan även skrivas logₐ(x)

Question 19

ªlog(y)=ln(y)/ln(a)

Answer 19

Se bevis

Question 20

Enhetscirkeln
sin(v), cos(v) etc.

Answer 20

(i) Cirkeln x²+y²=1 kallas för enhetscirkeln.
(ii) Låt P(v) vara den punkt på enhetscirkeln som svarar mot vinkeln v mätt från moturs från positiva x-axeln.
Vi definierar talen: cos(v) och sin(v) som x- respektive y-koordinaten för punkten P(v).
tan(v) och cot(v) definieras nu som tan(v)=sin(v)/cos(v) och cot(v)=cos(v)/sin(v)

Question 21

sin(v+n360°)
cos(v+n360°)

Answer 21

Man säger att cos(v) och sin(v) är periodiska med period 360°

Question 22

cos(-v)
sin(-v)

Answer 22

cos(v)
-sin(v)

Question 23

sin(180°-v)
cos(180°-v)

Answer 23

sin(v)
-cos(v)

Question 24

sin(180°+v)
cos(180°+v)

Answer 24

-sin(v)
-cos(v)

Question 25

Sats: Areasatsen

Answer 25

Antag att en triangel har sidorna med längderna a,b och c, samt att C är vinkeln mot sidan med c. Då gäller att arean, T, är: T= (a·b·sin(C))/2 Se bevis

Question 26

Sats: Sinussatsen

Answer 26

I en triangel med vinklarna A,BC, och motstående sidor a,b respektive c gäller att: Sin A/a = Sin B/b = Sin C/c Se bevis

Question 27

Sats: Cosinussatsen

Answer 27

I en triangel med vinklarna A, B och C och motstående sidor a,b respektive c, gäller att: c² = a² + b² - 2abcos(C) Se bevis

Question 28

Radian

Answer 28

1 Radian definieras som vinklen i en cirkelsektor dör cirkelbågen har samma längs som radien.

Question 29

Sats: Trigonometriska additionsformler

Answer 29

cos(u-v) = cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v) cos(u+v) = cos(u)cos(v)–sin(u)sin(v) sin(u–v) = sin(u)cos(v)-cos(u)sin(v) sin(u+v) = sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v) Se bevis

Question 30

Sats: additionsformler för tan

Answer 30

tan(u+v) = tan(u)+tan(v) / 1–tan(u)tan(v) tan(u-v) = tan(u)–tan(v) / 1+tan(u)tan(v) Se bevis

Question 31

Sats: formler för dubbla vinklen

Answer 31

sin(2v) = 2sin(v)sin(c) cos(2v) = cos²(v) – sin²(v) = 2cos²(v) -1 tan(2v) = 2tan(v)/1-tan²(v) Se bevis

Question 32

Periodicitet

Answer 32

Låt f(x) vara en godtycklig funktion. Om f(x+T)=f(x) ∀x∈R och T∈(0,∞) är det minsta tal för vilket detta gäller, säger vi att f(x) är periodisk med perioden T.

Question 33

Periodicitet för tan

Answer 33

tan (x) är periodisk med perioden π.

Question 34

Invers av f(x)=sin(x)

Answer 34

Vi låter arcsin beteckna inversen till sin, arcsin=sin⁻¹, på intervallet [-π/2, π/2], dvs arcsin [-1,1]--> [-π/2, π/2] sin(arcsin(x))=x ∀x∈[-1,1] arcsin(sin(x))=x ∀x∈[-π/2, π/2]

Question 35

arcsin (-x)

Answer 35

-arcsin(x)

Question 36

arctan

Answer 36

Vi låter arctan beteckna inversen till tan, arctan = tan⁻¹ på intervallet (-π/2, π/2) tan(arctan(x))=x ∀x∈R arctan(tan(x))=x ∀x∈(-1,1)

Question 37

arccos

Answer 37

Vi låter arccos beteckna inversen till cos, arccos=cos⁻¹ på intervallet [0,π] cos(arccos(x)). ∀x∈[-1,1] arccos(cos(x))=x ∀x∈[0, π]

Question 38

arccos(-x)

Answer 38

π - arccos(x)

Question 39

Ekvationen f(x)=tan(x)

Answer 39

tan(x)=k, där k∈R konst och har lösningarna: x= arctan (k)+π

Question 40

Ekvationen f(x)=sin(x)

Answer 40

sin(x)=k arcsin(k) x={ eller. n∈Z π - arcsin(k)

Question 41

Ekvationen f(x)=cos(x)

Answer 41

cos(x)=k arccos(k)+2πn x={ eller. n∈Z -arccos(k)+2πn

Question 42

Sats: a·cos(v)+b·sin(v) =sqrt(a²+b²)·sin(v+arctan(a/b)+nπ)

Answer 42

Givet konstanter a,b∈R gäller att: a·cos(v)+b·sin(v) =sqrt(a²+b²)·sin(v+arctan(a/b)+nπ) där n=0 om b>0 och n=1 om b<0. Se bevis

Question 43

Amplitud och fasvinkel

Answer 43

I uttryck av formen c·sin(v+φ) kallas c för amplitud och φ för fasvinkeln.

Question 44

Komplexa talsystemet

Answer 44

Nytt talsystem som betecknas C.

Question 45

Realdelen och imaginärdelen

Answer 45

Låt z=x+iy vara ett komplext tal. x kallas för realdelen av z och betecknas x=Re(z) y kallas för imaginärdelen av z, betecknas y=Im(z) Om y=0, dvs z=x så säger vi att x är reellt Om x=0, dvs z=iy säger vi att z är rent imaginär

Question 46

Komplexkonjugat

Answer 46

Låt z=x+iy. Det komplexa talet x-iy kallas för komplexkonjugatet till z, betecknas z¯.

Question 47

Ordnat talpar

Answer 47

Istället för att tänka på ett komplext tal på z=x+iy, kan man tänka på det som ett ordnat talpar. z=(x,y)

Question 48

Algebraisk ekvation av grad n

Answer 48

En algebraisk ekvation av grad n (n:te gradsekvation ör en ekvation av formen: aₙzⁿ+ aₙ₋₁zⁿ⁻¹+...+a₁z+a₀=0 där aₙ, aₙ₋₁, ... , a₀ ∈ C är givna komplexa tal med aₙ≠0, n∈N och z är en komplex variabel. n kallas för ekvationens gradtal.

Question 49

Multipelrot av multiplicitet m

Answer 49

Om (z-zk) finns m gånger i faktoruppdelningen, säger vi att zk är en multipelrot av multiplicitet m.

Question 50

Komplexkonjugerade rötter

Answer 50

Om en algebraisk ekvation med reella koefficienter, så: Om w∈C är en komplex rot till ekvationen så är även konjugatet till w (w¯) en rot till ekvationen.

Question 51

Komplexa talplanet

Answer 51

x-axeln kallas realaxeln y-axeln kallas imaginäraxeln

Question 52

|z|

Answer 52

Låt z=x+iy med P(x,y) som motsvarande punkt. Längden av OP kallas för beloppet av z och betecknas |z|. |z|=sqrt(Re(x)²+Im(y)²) = sqrt(x²+y²)

Question 53

Rätvinkliga koordinater Polära koordinater

Answer 53

Om vi tänker på C som ett plan följer att ett komplext tal/punkt i planet, z, kan uttryckas på två sätt: 1. Genom att ange dess x- och y-koordinater, dvs det vanliga z=x+iy 2. Genom att ange dess avstånd från origo, r, och dess vinkel till den positiva halvan av θ.

Question 54

Polär form

Answer 54

Ett komplext tal z∈C sägs vara på polär form om den skrivs på formen: z=r·cos(θ)+i·r·sin(θ)

Question 55

De moivres formel

Answer 55

(cos(θ)+isin(θ))ⁿ = cos(nθ)+isin(θ) ∀x∈Z

Question 56

Sats: Eulers formler

Answer 56

1. cos(θ)=(e^(iθ)+e^(-iθ))/2 2. sin(θ)=(e^(iθ)+e^(-iθ))/2i Se bevis

Question 57

Bionomisk ekvation

Answer 57

En bionomisk ekvation är en ekvation av formen: zⁿ=w där n∈N och w∈C är given.

Question 58

Gränsvärde

Answer 58

lim f(x)= G. ∀ε>0, ∃δ>0; 0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)-G|<ε x->a

Question 59

Obestämt uttryck

Answer 59

0/0, ∞/∞

Question 60

Sats: cos(v)

Answer 60

cos(v)

Question 61

Sats: (i) lim sin(v)/v=1 v->0 (ii) lim 1-cos(v)/v=0 v->0

Answer 61

Om v mäts i radianer så: (i) lim sin(v)/v=1 v->0 (ii) lim 1-cos(v)/v=0 v->0 Se bevis

Question 62

lim f(x) x->a⁺

Answer 62

f:s högergränsvärde i a = det reella tal f(x) kommer godtyckligt nära a från höger

Question 63

lim f(x) x->a⁻

Answer 63

f:s vänstergränsvärde i a = det reella tal f(x) kommer godtyckligt nära a från vänster

Question 64

Ett gränsvärde

Answer 64

Om lim(x->a⁺) f(x)=lim(x->a⁻) f(x) säger vi att f(x) har ett gränsvärde i x=a och skriver detta: lim(x->a) f(x)

Question 65

Kontinuerlig funktion

Answer 65

Låt f(x) vara en funktion och låt a∈Df. Vi säger att f(x) är kontinuerlig i x=a om: lim(x->a) f(x)=f(a)