Brainscape's Knowledge GenomeTM

Browse over 1 million classes created by top students, professors, publishers, and experts.


See full index

TB, Matematik > Matematik Del B > Flashcards

Matematik Del B Flashcards

1
Q

A ⊆ B

A

A är en delmängd av B

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

A ⊂ B

A

A är en äkta delmängd av B

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q

A ∩ B

A

x; x∈A och x∈B

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

A ∖ B

A

x; x∈A och x∉B

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

Aᶜ

A

x; x∉A

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

Funktion

A

En funktion, f, är en regel som mot varje element a i en mängd A, ordnar ett (och endast ett) element f(a) i en annan mängd B. Vi säger då att f är en funktion från A till B och skriver f: A→B.
A kallas för f:s defintionsmängd
B kallas för f:s målmängd.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q

En funktionsdeklaration innehåller…

A

tre saker:
(i) En regel, f
(ii) En defintionsmängd, Df
(iii) En målmängd.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

Värdemängd

A

Alla värden som en funktion, f, kan anta kallas för f:s värdemängd, betecknas Vf.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q

Grafen till en funktion f

A

Grafen till en ekvation är mängden av alla punkter vars koordinater uppfyller ekvationen
Grafen till en funktion är grafen till ekvationen y=f(x), för alla x=Df

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

Sammansättning av funktioner

A

Givet två funktioner f och g låter vi f ○ g beteckna sammansättningen av f och g, dvs (f○g)(x)=f(g(x)).

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

Yttre och inre funktion

A

I f(g(x)) kallas f yttre funktion och g inre funktion.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

Injektiv funktion

A

En funktion f(x) sägs vara injektiv om x₁≠x₂ medför f(x₁)≠f(x₂) eller ekvivalent f(x₁)=f(x₂) medför x₁=x₂.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

Invers funktion

A

Om f är injektiv så finns det en invers funktion, f⁻¹(x), som definieras av
f⁻¹(f(x)) = x, Df⁻¹=Vf
f(f⁻¹(x)) = x, Vf⁻¹=Df

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

Exponentialfunktion

A

En exponentialfunktion är en funktion av formen f(x)=aˣ där a>0 och x∈R

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

Naturliga exponentialfunktionen

A

(i) Tangenten till en kurva i en punkt (a,b) är den räta linje genom (a,b) som har “samma vinkel” på båda sidor.
(ii) Den exponentialfunktion vars tangent i punkten (0,1) skär x-axeln i (-1,0) kallas för den naturliga exponentialfunktionen. Basen för denna kallas/betecknas e.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
16
Q

Den naturliga logaritmfunktionen

A

Inversen till f(x)=eˣ kallas för den naturliga logaritmfunktionen och betecknas f⁻¹(x)=ln(x)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
17
Q

Logaritmlagarna

A

Se bevis

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
18
Q

Logaritmen i basen a

A

Inversen till f(x)=aˣ, a>0, a≠1 är kallas för logaritmen i basen a och betecknas
f⁻¹(x)=ªlog(x)
Kan även skrivas logₐ(x)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
19
Q

ªlog(y)=ln(y)/ln(a)

A

Se bevis

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
20
Q

Enhetscirkeln
sin(v), cos(v) etc.

A

(i) Cirkeln x²+y²=1 kallas för enhetscirkeln.
(ii) Låt P(v) vara den punkt på enhetscirkeln som svarar mot vinkeln v mätt från moturs från positiva x-axeln.
Vi definierar talen: cos(v) och sin(v) som x- respektive y-koordinaten för punkten P(v).
tan(v) och cot(v) definieras nu som tan(v)=sin(v)/cos(v) och cot(v)=cos(v)/sin(v)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
21
Q

sin(v+n360°)
cos(v+n360°)

A

Man säger att cos(v) och sin(v) är periodiska med period 360°

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
22
Q

cos(-v)
sin(-v)

A

cos(v)
-sin(v)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
23
Q

sin(180°-v)
cos(180°-v)

A

sin(v)
-cos(v)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
24
Q

sin(180°+v)
cos(180°+v)

A

-sin(v)
-cos(v)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
25
Q

Sats: Areasatsen

A

Antag att en triangel har sidorna med längderna a,b och c, samt att C är vinkeln mot sidan med c. Då gäller att arean, T, är:
T= (a·b·sin(C))/2
Se bevis

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
26
Q

Sats: Sinussatsen

A

I en triangel med vinklarna A,BC, och motstående sidor a,b respektive c gäller att:
Sin A/a = Sin B/b = Sin C/c
Se bevis

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
27
Q

Sats: Cosinussatsen

A

I en triangel med vinklarna A, B och C och motstående sidor a,b respektive c, gäller att:
c² = a² + b² - 2abcos(C)
Se bevis

28
Q

Radian

A

1 Radian definieras som vinklen i en cirkelsektor dör cirkelbågen har samma längs som radien.

29
Q

Sats: Trigonometriska additionsformler

A

cos(u-v) = cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)
cos(u+v) = cos(u)cos(v)–sin(u)sin(v)
sin(u–v) = sin(u)cos(v)-cos(u)sin(v)
sin(u+v) = sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)
Se bevis

30
Q

Sats: additionsformler för tan

A

tan(u+v) = tan(u)+tan(v) / 1–tan(u)tan(v)
tan(u-v) = tan(u)–tan(v) / 1+tan(u)tan(v)
Se bevis

31
Q

Sats: formler för dubbla vinklen

A

sin(2v) = 2sin(v)sin(c)
cos(2v) = cos²(v) – sin²(v) = 2cos²(v) -1
tan(2v) = 2tan(v)/1-tan²(v)
Se bevis

32
Q

Periodicitet

A

Låt f(x) vara en godtycklig funktion.
Om f(x+T)=f(x) ∀x∈R och T∈(0,∞) är det minsta tal för vilket detta gäller, säger vi att f(x) är periodisk med perioden T.

33
Q

Periodicitet för tan

A

tan (x) är periodisk med perioden π.

34
Q

Invers av f(x)=sin(x)

A

Vi låter arcsin beteckna inversen till sin, arcsin=sin⁻¹, på intervallet [-π/2, π/2], dvs arcsin [-1,1]–> [-π/2, π/2]

sin(arcsin(x))=x ∀x∈[-1,1]
arcsin(sin(x))=x ∀x∈[-π/2, π/2]

35
Q

arcsin (-x)

A

-arcsin(x)

36
Q

arctan

A

Vi låter arctan beteckna inversen till tan,
arctan = tan⁻¹ på intervallet (-π/2, π/2)
tan(arctan(x))=x ∀x∈R
arctan(tan(x))=x ∀x∈(-1,1)

37
Q

arccos

A

Vi låter arccos beteckna inversen till cos,
arccos=cos⁻¹ på intervallet [0,π]
cos(arccos(x)). ∀x∈[-1,1]
arccos(cos(x))=x ∀x∈[0, π]

38
Q

arccos(-x)

A

π - arccos(x)

39
Q

Ekvationen f(x)=tan(x)

A

tan(x)=k, där k∈R konst och har lösningarna:
x= arctan (k)+π

40
Q

Ekvationen f(x)=sin(x)

A

sin(x)=k
arcsin(k)
x={ eller. n∈Z
π - arcsin(k)

41
Q

Ekvationen f(x)=cos(x)

A

cos(x)=k
arccos(k)+2πn
x={ eller. n∈Z
-arccos(k)+2πn

42
Q

Sats: a·cos(v)+b·sin(v) =sqrt(a²+b²)·sin(v+arctan(a/b)+nπ)

A

Givet konstanter a,b∈R gäller att:
a·cos(v)+b·sin(v) =sqrt(a²+b²)·sin(v+arctan(a/b)+nπ)
där n=0 om b>0 och n=1 om b<0.
Se bevis

43
Q

Amplitud och fasvinkel

A

I uttryck av formen c·sin(v+φ) kallas c för amplitud och φ för fasvinkeln.

44
Q

Komplexa talsystemet

A

Nytt talsystem som betecknas C.

45
Q

Realdelen och imaginärdelen

A

Låt z=x+iy vara ett komplext tal.
x kallas för realdelen av z och betecknas x=Re(z)
y kallas för imaginärdelen av z, betecknas y=Im(z)

Om y=0, dvs z=x så säger vi att x är reellt
Om x=0, dvs z=iy säger vi att z är rent imaginär

46
Q

Komplexkonjugat

A

Låt z=x+iy. Det komplexa talet x-iy kallas för komplexkonjugatet till z, betecknas z¯.

47
Q

Ordnat talpar

A

Istället för att tänka på ett komplext tal på z=x+iy, kan man tänka på det som ett ordnat talpar.
z=(x,y)

48
Q

Algebraisk ekvation av grad n

A

En algebraisk ekvation av grad n (n:te gradsekvation ör en ekvation av formen:
aₙzⁿ+ aₙ₋₁zⁿ⁻¹+…+a₁z+a₀=0
där aₙ, aₙ₋₁, … , a₀ ∈ C är givna komplexa tal med aₙ≠0, n∈N och z är en komplex variabel.
n kallas för ekvationens gradtal.

49
Q

Multipelrot av multiplicitet m

A

Om (z-zk) finns m gånger i faktoruppdelningen, säger vi att zk är en multipelrot av multiplicitet m.

50
Q

Komplexkonjugerade rötter

A

Om en algebraisk ekvation med reella koefficienter, så:
Om w∈C är en komplex rot till ekvationen så är även konjugatet till w (w¯) en rot till ekvationen.

51
Q

Komplexa talplanet

A

x-axeln kallas realaxeln
y-axeln kallas imaginäraxeln

52
Q

|z|

A

Låt z=x+iy med P(x,y) som motsvarande punkt. Längden av OP kallas för beloppet av z och betecknas |z|.
|z|=sqrt(Re(x)²+Im(y)²) = sqrt(x²+y²)

53
Q

Rätvinkliga koordinater
Polära koordinater

A

Om vi tänker på C som ett plan följer att ett komplext tal/punkt i planet, z, kan uttryckas på två sätt:
1. Genom att ange dess x- och y-koordinater, dvs det vanliga z=x+iy
2. Genom att ange dess avstånd från origo, r, och dess vinkel till den positiva halvan av θ.

54
Q

Polär form

A

Ett komplext tal z∈C sägs vara på polär form om den skrivs på formen:
z=r·cos(θ)+i·r·sin(θ)

55
Q

De moivres formel

A

(cos(θ)+isin(θ))ⁿ = cos(nθ)+isin(θ) ∀x∈Z

56
Q

Sats: Eulers formler

A
  1. cos(θ)=(e^(iθ)+e^(-iθ))/2
  2. sin(θ)=(e^(iθ)+e^(-iθ))/2i
    Se bevis
57
Q

Bionomisk ekvation

A

En bionomisk ekvation är en ekvation av formen:
zⁿ=w
där n∈N och w∈C är given.

58
Q

Gränsvärde

A

lim f(x)= G. ∀ε>0, ∃δ>0; 0<|x-a|<δ ⇒ |f(x)-G|<ε>a</ε>

59
Q

Obestämt uttryck

A

0/0, ∞/∞

60
Q

Sats: cos(v)<sin(v)/v<1

A

cos(v)<sin(v)/v<1 gäller för alla 0<|v|< π/2 om v i radianer.
Se bevis

61
Q

Sats:
(i) lim sin(v)/v=1
v->0
(ii) lim 1-cos(v)/v=0
v->0

A

Om v mäts i radianer så:
(i) lim sin(v)/v=1
v->0
(ii) lim 1-cos(v)/v=0
v->0
Se bevis

62
Q

lim f(x)
x->a⁺

A

f:s högergränsvärde i a = det reella tal f(x) kommer godtyckligt nära a från höger

63
Q

lim f(x)
x->a⁻

A

f:s vänstergränsvärde i a = det reella tal f(x) kommer godtyckligt nära a från vänster

64
Q

Ett gränsvärde

A

Om lim(x->a⁺) f(x)=lim(x->a⁻) f(x) säger vi att f(x) har ett gränsvärde i x=a och skriver detta: lim(x->a) f(x)

65
Q

Kontinuerlig funktion

A

Låt f(x) vara en funktion och låt a∈Df. Vi säger att f(x) är kontinuerlig i x=a om:
lim(x->a) f(x)=f(a)

TB, Matematik (3 decks)

Brainscape helps you reach your goals faster, through stronger study habits.
© 2024 Bold Learning Solutions. Terms and Conditions