Brainscape's Knowledge GenomeTM

Browse over 1 million classes created by top students, professors, publishers, and experts.


See full index

TB, Matematik > Defintioner och Bevis > Flashcards

Defintioner och Bevis Flashcards

1
Q

Mängd

A

En mängd är en väldefinierad samling element

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

Naturliga tal

A

N = positiva heltal

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q

Hela talen

A

Z alla hela tal, t.ex. …, -1, 0, 1,…

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

Rationella talen

A

Q = Ett tal som kan skrivas på formen a/b, där a,b är heltal och b≠0.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

Reella talen

A

R = Alla oändliga och ändliga decimalutvecklingar, tänk tallinje.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

Irrationella tal

A

Ett tal vars decimalutveckling varken är ändlig eller periodisk. T.ex. pi, roten ur 2, e.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q

Utsaga

A

En utsaga eller ett påstående är ett uttryck eller yttrande som har ett sanningsvärde, dvs man kan säga att det är sant eller falskt.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

Öppen utsaga

A

Påståenden/utsagor som innehåller yttranden som innehåller 1 eller flera ospecificerade fria variabler.
- Sant eller falskt beroende på vilka värden variablerna har

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

Konjunktion

A

Och ∧.
P∧Q är sann precis då både P och Q är sanna.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q

Disjunktion

A

Eller v
PvQ är sann då minst en av P och Q är sanna.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

Negation

A

inte ¬
¬ P är sann precis då P är falsk.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

⇒

A

Implikation: P medför Q

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

⇔

A

Ekvivalens: P om och endast om Q

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

Defintion

A

Man inför olika objekt och egenskaper

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

Axiom

A

Grundläggande egenskaper som talar om hur dem definierade objekten “fungerar”.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

Satser

A

Påståenden om de definierade objekten och deras egenskaper som är sanna under vissa angivna förutsättningar.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
16
Q

Bevis

A

Argumentationskedjor som visar/talar om att en viss sats gäller.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
17
Q

Direkt bevis

A

Ett direkt bevis är av typen P ⇒ u1⇒u2⇒Q

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
17
Q

Indirekt bevis

A

Ett indirekt bevis är av typen ¬P⇒u1⇒¬Q

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
17
Q

Motsägelsebevis

A

nära besläktad med indirekta bevis. ¬Q och slutar där man vet att u är falsk.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
17
Q

Kommutativa lagen

A

a+b = b+a
a·b = b·a

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
17
Q

Associativa lagen

A

(a+b)+c = a+(b+c)
(a·b)·c = a·(b·c)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
17
Q

Distributiva lagen

A

a·(b+c) = ab + ac

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
18
Q

Ekvation

A

En ekvation är ett matematiskt uttryck som innehåller obekanta (tal, funktioner, etc) och likheter.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
19
Q

Förstagradsekvation

A

En förstagradsekvation är en ekvation av formen ax+b=0, där a≠0 och x∈R är obekant.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
20
Q

Linjär ekvation

A

a1,x1+a2x2+…+anxn=b där a1,a2,…an,b ∈R

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
20
Q

En linjär ekvation med fler än 1 obekant har…

A

oändligt många lösningar.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
21
Q

Linjära ekvationssystem

A

Flera linjära ekvationer ska vara uppfyllda samtidigt.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
22
Q

Elementära radoperationer

A
  1. Byta plats på två rader
  2. Multiplicera en rad med en konstant ≠0
  3. Addera en multipel av en rad till en annan rad.
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
23
Q

Vinkel

A

Om två stycken sträckor dras ifrån samma punkt uppstår en (två) vinklar.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
24
Q

Sidovinklar

A

Om α,β är sidovinklar, så är α+β = 180˚

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
25
Q

Vertikalvinklar

A

Om α,β är vertikalvinklar så är α=β

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
26
Q

Alternatvinklar

A

Om α,β är alternatvinklar, så är α=β

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
27
Q

Likbenägna vinklar

A

Om α,β är likbenägna, så är α=β.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
28
Q

En vinkel α kallas
- Spetsig
- Rät
- Trubbig

A
  • Spetsig om α < 90˚
  • Rät om α=90˚
  • Trubbig om α > 90˚
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
29
Q

Triangel

A

En triangel består av tre punker som inte ligger på samma linje tillsammans med de sträckor som tillhär punkterna.
- Punkt=hörn
- Sträckor=sidor

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
30
Q

Spetsvinklig triangel

A

Om alla dess vinklar är < 90˚

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
31
Q

Rätvinklig Triangel

A

Om en vinkel är = 90˚

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
32
Q

Trubbvinklig triangel

A

om en vinkel är > 90˚

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
33
Q

Likbent triangel

A

Om två sidor är lika långa (om två vinklar är lika stora)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
34
Q

Liksidig triangel

A

Om alla sidor är lika långa (alla vinklar är lika stora).

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
35
Q

Vinkelsumman i en triangel är alltid 180˚

A

Vi vet att en vinkel, samt två vinklar bredvid denna blir 180˚. Eftersom dessa två vinklar bredvid är alternatvinklar till de andra vinklarna i triangeln, blir totala vinkelsumman 180˚.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
36
Q

Fyrhörning

A

En fyrhörning är ett geometriskt objekt som består av 4 hörn, samt 4 sträckor som förbinder hörnen med två andra.

37
Q

Omkrets

A

Omkrets till en geometrisk figur är summan av alla sträckor som förbinder hörnen.

38
Q

Area

A

Arean a v en geometrisk figur är ett mått på (alt. storleken av) dess yta.

39
Q

Rätvinklig triangel def

A

I en rätvinklig triangel kallas den längsta sidan hypotenusa och de två kortare sidorna kateter

40
Q

Sats: Pythagoras sats

A

Om a och b är kateter i en rävinklig triangel med hypotenusan c så är a²+b²=c²
Se bevis

40
Q

Cirkel

A

En cirkel består av alla punkter som ligger på ett givet avstånd r (radie) från en fix medelpunkt/centrum.

40
Q

Korda

A

En sträcka mellan två punkter i på cirklen.

41
Q

Diameter

A

En korda som går genom centrum.

42
Q

Medelpunktsvinkeln

A

Vinkeln AMB för cirkelnbågen AB.

43
Q

Randvinkel

A

Vinkeln ACB för cirkelbågen AB.

44
Q

Sats: Randvinkelsatsen
För en cirkelbåge gäller att dess medelpunktsvinkel är dubbelt så stor som varje randvinkel till bågen.

A

Bevis: Man kan rita upp 3 cirklar med olika cirkelbågar.
Låt α= AMB och β=ACB och att α,β delas upp i α1 och α2, samt β1 och β2.
Vi får då två likbenta trianglar, vardera med två vinklar som är β1 respektive β2.
Den tredje vinkeln blir då 180-α1 eller α2. Sätter man därefter 180˚=180˚-α1+2·β1 får vi att α1=2·β1.
α= α1+α2 = 2·β1+2·β2 = 2·(β1+β2) = 2·β

45
Q

Omkrets/diameter

A

pi

46
Q

Cirkelsektor

A

En cirkelsektor är en tårtbit av en cirkelskiva som begränsas av två radier och en cirkelbåge.

47
Q

Likformig

A

Om vi förstorar eller förminskar ett geometriskt objekt på ett sätt som bevarar formen, mer exakt:
(i) motsvarande vinklar i bild och föremål är lika stora och,
(ii) alla längder behåller sina inbördes förhållanden,
gör vi en likformig avbildning.

48
Q

Skala

A

Med skalan S (längdskalan) för en likformig avbildning menas
S = B/F, där B är ett avstånd i bilden och F motsvarande avstånd i föremålet
x:y i detta fall blir x=B och y=F

49
Q

Två trianglar är automatiskt likformiga om…

A

(i) två par motsvarande vinklar är lika, eller
(ii) förhållandet mellan två sidor är samma och den mellanliggande vinkeln är lika, eller
(iii) förhållandet mellan varje par av motsvarande sidor är samma.

50
Q

Sats: Transversalsatsen (parallelltransversalen)
T (dvs en linje T som är parallel med triangelns bas) delar sidorna så att a/b = c/d

A

Bevis: Då T är parallell med basen är hela triangeln likformig med topptriangeln, vilket ger:
(a+b)/a=(c+d)/c ⇔ a/a+b/a=c/c+d/c ⇔ b/a=d/c ⇔ bc=ad ⇔ c/d=a/b

50
Q

Areaskala

A

Kvadrerad längdskala

51
Q

Trigonometriska ettan:
cos²(α) + sin²(α)=1

A

Genom pythagoras sats får vi:
a²+b²=c² ⇔ a²/c²+b²/c²=1 ⇔ (cos(α))² + (sin(α))²=1

52
Q

Solvera

A

Att solvera en triangel innebär att man bestämmer alla vinklar och sidorlängder.

53
Q

Potenser

A

Uttryck av typen a^n kallas för potenser
- a kallas bas
- n kallas exponent

54
Q

n:te roten ur a

A

Med n:te roten ur a, där a≥0 och n=2,4,6 menas det icke-negativa reella tal vars n:te potens är a.
För udda n, gäller inte detta, utan där är a ett reellt tal.

55
Q

a^(p/q) = p:te roten ur a^q

A

T.ex. 3:e roten ur, roten ur a = (a^(1/2))^(1/3) = a^(1/6)

56
Q

Kvadreringsreglerna

A

(a+b)² = a²+2ab+b²
(a-b)² = a²-2ab+b²
Bevis genom att att utveckla.

57
Q

Kuberingsreglerna

A

(a+b)^3 = a^3+3a²b+3ab²+b^3
(a-b)^3 = + - + -
Bevis genom att utveckla.

58
Q

Konjugatreglerna

A

a²-b²=(a+b)(a-b)

59
Q

Generaliserad konjugatregel

A

a^3+b^3 = (a+b)(a²-ab+b²)
a^3-b^3 = (a-b)(a²+ab+b²)
Utveckla för att bevisa

60
Q

Andragradsekvation

A

En andragradsekvation är en ekvation av formen:
a₂x² + a₁x + a₀ = 0, där a₂,a₁,a₀ är R.
x²+px+q=0, där p,q är R

61
Q

Sats: pq-formeln

A

om p² ≥ 4q ges lösningarna (eller lösningen om p²=4q) till andragradsekvationen x²+px+q=0 av:
x=-p/2+- sqrt((p/2)²-q)
Se bevis

62
Q

Polynom

A

Med ett polynom menas ett uttryck av formen:
P(x)= aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+…+a₁x+a₀
där aₙ,…,₀ en del av R kallas för dess koefficienter och x för dess variabel och n är en del av N.
Om aₙ≠0 säger vi att dess grad är n och skriver grad P=n.

63
Q

Sats: Faktorsatsen

A

Om x=a är ett nollställe till polynomet P(x), dvs P(a)=0 så är x-a en faktor i P(x), dvs P(x)/(x-a) går jämnt upp.
Se bevis

64
Q

Sats: satsen om heltalsrötter

A

Låt P(x)= aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+…+a₁x+a₀ vara ett polynom med heltalskoefficienter, dvs a₀ är en del av Z och a₀≠0. Om x=r är en heltalsrot till P(x), dvs r är en del av Z och P(r)=0, så måste a₀ vara delbar med r.
Se bevis

65
Q

Intervall

A

Låt a,b vara del av R med a<b. Den del av tallinjen R som svarar mot alla reella tal mellan a och b kallas för ett intervall

66
Q

Öppet intervall

A

Om ingen av ändpunkterna a,b ingår i mängden kallas det för ett öppet intervall och betecknas (a,b).

67
Q

Slutet intervall

A

Om båda ändpunkterna a,b ingår i mängden kallas det för ett slutet intervall och betecknas [a,b]

68
Q

Halvöppet/halvslutet intervall

A

Om endast en av ändpunkterna ingår i mängden kallas det för ett slutet intervall och betecknas [a,b).

69
Q

Mängdoperationen U

A

x tillhör flera intervall

70
Q

Dubbelolikhet

A

En dubbelolikhet är en olikhet av formen a<b<c, här kallas a<b vänster olikhet och b<c höger olikhet.

71
Q

Lutningsvinkeln

A

Lutningsvinkeln för en rät linje definieras som vinkeln moturs från x-axeln till linjen.
LV = arctan (k) om k>0 och 180-arctan(-k) om k<0.

72
Q

Riktningskoefficient

A

Riktningskoefficienten för en rät linje defineras som kvoten mellan stigningen i höjdled och förflyttningen i sidled och brukar betecknas k.

73
Q

Enpunktsformeln

A

y-y₁= k(x-x₁)

74
Q

Tvåpunktsformeln

A

y-y₁= (y₂-y₁)/(x₂-x₁)·(x-x₁)

75
Q

Sats: Linjer som skär under rät vinkel

A

För två räta linjer L₁: y=k₁x+m₁ och L₂: y=k₂x+m₂ gäller att L₁ vinkelrät mot L₂ är ekvivalent med k₁·k₂=-1
Se bevis

76
Q

Avståndsformeln

A

Kortaste avståndet mellan två punkter.
d= sqrt((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)

77
Q

Proportionell mot

A

Variablen y sägs vara parallell mot variabeln x om y=kx+m för någon konstant k är del av R.

78
Q

Omvänt proportionell

A

Variabeln y sägs vara omvänt proportionell mot variabeln x om y=k·(1/x) = k/x för någon konstant k är del är R.

79
Q

Absolutbelopp

A

Absolutbeloppet |x| av ett tal x är del av R defineras som:
|x|= x om x≥0
-x om x<0
Vi ser att absolutbeloppet är en funktion/operation som gör tal positiva.

80
Q

I |x-a|
kallas x=a för…

A

brytpunkt

81
Q

Polyeder

A

En tredimensionell kropp som begränsas av plana ytor kallas för en polyeder

82
Q

Prisma

A

Ett prisma är en polyeder som begränsas av två parallella ytor (basytor) samt tre eller fler sidytor vars kanter är parallella.

83
Q

Parallellpiped

A

En parallellpiped är ett 4-sidigt prisma vars sidor är parallella, dess sydytor är alla parallellogram.

84
Q

Rätblock

A

Ett rätblock är en parallelpiped där alla sidytor är rektanglar.

85
Q

Kub

A

En kub är ett rätblock där alla sidor är kvadrater.

86
Q

Pyramid

A

En pyramid är en polyeder som begränsas av en bottenyta och minst tre sidytor som alla möts i en gemensam punkt (spets). Pyramidens höjd definieras som avståndet från spetsen till bottenytan.

87
Q

Klot

A

Ett klot består av alla punkter i rummet som befinner sig på, eller inom ett avstånd r (radie) från en medelpunkt (centrum).

88
Q

Sfär

A

Klotets skal.

89
Q

Cylinder

A

(i) En cylindrisk yta fås då ett linjestycke L, parallell-förflyttas på en kurva, C.
(ii) En kropp som begränsas av en sluten cylindrisk yta (mantelyta) och två parallella basytor.
(iii) Om Linjestycket L, är vinkelrät mot basytan B sägs cylindern vara rak, annars sned. Om kurvan, C, är en cirkel sägs cylindern vara cirkulär.

90
Q

Kon

A

(i) En kon definieras av en sluten kurva, C, och en punkt P, spets, som inte ligger i kurvans plan. Alla sträckor från P till C bildar tillsammans konens mantelyta. Konen består av denna mantelyta och basytan och konens höjd är avståndet mellan spets och basytan.
(ii) Om C är en cirkel sägs konen vara cirkulär.
(iii) Om basytan har en medelpunkt kallas den sträcka som förbinder denna medelpunkt med spetsen för konens axel. Om axeln är vinkelrät mot basytan sägs konen vara rak, annars sned.

91
Q

Volymskala

A

Kubiken av längdskalan

92
Q

Kägelsnitt

A

Kägelsnitt är samlingsnamnet för alla kurvor som kan fås som skärningen mellan en rak, cirkulär dubbelkon, (s.k. kägla) och ett plan.

93
Q

Ellips

A

En ellips är mängden av alla punkter i ett plan vars avstånd till två givna punkter (brännpunkter) har en konstant summa.

Om planets lutning (i förhållande till käglans sida) är mindre bildas en ellips (cirkel om lutningen är vinkelrät mot käglans axel).

94
Q

Parabel

A

En parabel är mängden av alla punkter som har ett lika stort avstånd till en given fix punkt (brännpunkt) som till en given linje (styrlinje) som inte går genom punkten.

Om lutningarna (i förhållande till käglans sida) är lika stora bildas en parabel

95
Q

Hyperbel

A

En hyperbel är mängden av alla punkter i ett plan vars avstånd till två gina punkter (brännpunkter) har en konstant skillnad.

Om lutningen är större (i förhållande till käglans sida) bildas en hyperbel

96
Q

Sats: Cirkelns ekvation

A

Om (x,y) är en godtycklig punkt på cirklen så måste avståndet mellan (x,y) och (x₀,y₀) vara r.
Se bevis

97
Q

Sats: Parabelns ekvation

A

Se bevis

TB, Matematik (3 decks)

Brainscape helps you reach your goals faster, through stronger study habits.
© 2024 Bold Learning Solutions. Terms and Conditions