Defintioner och Bevis Flashcards
Mängd
En mängd är en väldefinierad samling element
Naturliga tal
N = positiva heltal
Hela talen
Z alla hela tal, t.ex. …, -1, 0, 1,…
Rationella talen
Q = Ett tal som kan skrivas på formen a/b, där a,b är heltal och b≠0.
Reella talen
R = Alla oändliga och ändliga decimalutvecklingar, tänk tallinje.
Irrationella tal
Ett tal vars decimalutveckling varken är ändlig eller periodisk. T.ex. pi, roten ur 2, e.
Utsaga
En utsaga eller ett påstående är ett uttryck eller yttrande som har ett sanningsvärde, dvs man kan säga att det är sant eller falskt.
Öppen utsaga
Påståenden/utsagor som innehåller yttranden som innehåller 1 eller flera ospecificerade fria variabler.
- Sant eller falskt beroende på vilka värden variablerna har
Konjunktion
Och ∧.
P∧Q är sann precis då både P och Q är sanna.
Disjunktion
Eller v
PvQ är sann då minst en av P och Q är sanna.
Negation
inte ¬
¬ P är sann precis då P är falsk.
⇒
Implikation: P medför Q
⇔
Ekvivalens: P om och endast om Q
Defintion
Man inför olika objekt och egenskaper
Axiom
Grundläggande egenskaper som talar om hur dem definierade objekten “fungerar”.
Satser
Påståenden om de definierade objekten och deras egenskaper som är sanna under vissa angivna förutsättningar.
Bevis
Argumentationskedjor som visar/talar om att en viss sats gäller.
Direkt bevis
Ett direkt bevis är av typen P ⇒ u1⇒u2⇒Q
Indirekt bevis
Ett indirekt bevis är av typen ¬P⇒u1⇒¬Q
Motsägelsebevis
nära besläktad med indirekta bevis. ¬Q och slutar där man vet att u är falsk.
Kommutativa lagen
a+b = b+a
a·b = b·a
Associativa lagen
(a+b)+c = a+(b+c)
(a·b)·c = a·(b·c)
Distributiva lagen
a·(b+c) = ab + ac
Ekvation
En ekvation är ett matematiskt uttryck som innehåller obekanta (tal, funktioner, etc) och likheter.
Förstagradsekvation
En förstagradsekvation är en ekvation av formen ax+b=0, där a≠0 och x∈R är obekant.
Linjär ekvation
a1,x1+a2x2+…+anxn=b där a1,a2,…an,b ∈R
En linjär ekvation med fler än 1 obekant har…
oändligt många lösningar.
Linjära ekvationssystem
Flera linjära ekvationer ska vara uppfyllda samtidigt.
Elementära radoperationer
- Byta plats på två rader
- Multiplicera en rad med en konstant ≠0
- Addera en multipel av en rad till en annan rad.
Vinkel
Om två stycken sträckor dras ifrån samma punkt uppstår en (två) vinklar.
Sidovinklar
Om α,β är sidovinklar, så är α+β = 180˚
Vertikalvinklar
Om α,β är vertikalvinklar så är α=β
Alternatvinklar
Om α,β är alternatvinklar, så är α=β
Likbenägna vinklar
Om α,β är likbenägna, så är α=β.
En vinkel α kallas
- Spetsig
- Rät
- Trubbig
- Spetsig om α < 90˚
- Rät om α=90˚
- Trubbig om α > 90˚
Triangel
En triangel består av tre punker som inte ligger på samma linje tillsammans med de sträckor som tillhär punkterna.
- Punkt=hörn
- Sträckor=sidor
Spetsvinklig triangel
Om alla dess vinklar är < 90˚
Rätvinklig Triangel
Om en vinkel är = 90˚
Trubbvinklig triangel
om en vinkel är > 90˚
Likbent triangel
Om två sidor är lika långa (om två vinklar är lika stora)
Liksidig triangel
Om alla sidor är lika långa (alla vinklar är lika stora).
Vinkelsumman i en triangel är alltid 180˚
Vi vet att en vinkel, samt två vinklar bredvid denna blir 180˚. Eftersom dessa två vinklar bredvid är alternatvinklar till de andra vinklarna i triangeln, blir totala vinkelsumman 180˚.
Fyrhörning
En fyrhörning är ett geometriskt objekt som består av 4 hörn, samt 4 sträckor som förbinder hörnen med två andra.
Omkrets
Omkrets till en geometrisk figur är summan av alla sträckor som förbinder hörnen.
Area
Arean a v en geometrisk figur är ett mått på (alt. storleken av) dess yta.
Rätvinklig triangel def
I en rätvinklig triangel kallas den längsta sidan hypotenusa och de två kortare sidorna kateter
Sats: Pythagoras sats
Om a och b är kateter i en rävinklig triangel med hypotenusan c så är a²+b²=c²
Se bevis
Cirkel
En cirkel består av alla punkter som ligger på ett givet avstånd r (radie) från en fix medelpunkt/centrum.
Korda
En sträcka mellan två punkter i på cirklen.
Diameter
En korda som går genom centrum.
Medelpunktsvinkeln
Vinkeln AMB för cirkelnbågen AB.
Randvinkel
Vinkeln ACB för cirkelbågen AB.
Sats: Randvinkelsatsen
För en cirkelbåge gäller att dess medelpunktsvinkel är dubbelt så stor som varje randvinkel till bågen.
Bevis: Man kan rita upp 3 cirklar med olika cirkelbågar.
Låt α= AMB och β=ACB och att α,β delas upp i α1 och α2, samt β1 och β2.
Vi får då två likbenta trianglar, vardera med två vinklar som är β1 respektive β2.
Den tredje vinkeln blir då 180-α1 eller α2. Sätter man därefter 180˚=180˚-α1+2·β1 får vi att α1=2·β1.
α= α1+α2 = 2·β1+2·β2 = 2·(β1+β2) = 2·β
Omkrets/diameter
pi
Cirkelsektor
En cirkelsektor är en tårtbit av en cirkelskiva som begränsas av två radier och en cirkelbåge.
Likformig
Om vi förstorar eller förminskar ett geometriskt objekt på ett sätt som bevarar formen, mer exakt:
(i) motsvarande vinklar i bild och föremål är lika stora och,
(ii) alla längder behåller sina inbördes förhållanden,
gör vi en likformig avbildning.
Skala
Med skalan S (längdskalan) för en likformig avbildning menas
S = B/F, där B är ett avstånd i bilden och F motsvarande avstånd i föremålet
x:y i detta fall blir x=B och y=F
Två trianglar är automatiskt likformiga om…
(i) två par motsvarande vinklar är lika, eller
(ii) förhållandet mellan två sidor är samma och den mellanliggande vinkeln är lika, eller
(iii) förhållandet mellan varje par av motsvarande sidor är samma.
Sats: Transversalsatsen (parallelltransversalen)
T (dvs en linje T som är parallel med triangelns bas) delar sidorna så att a/b = c/d
Bevis: Då T är parallell med basen är hela triangeln likformig med topptriangeln, vilket ger:
(a+b)/a=(c+d)/c ⇔ a/a+b/a=c/c+d/c ⇔ b/a=d/c ⇔ bc=ad ⇔ c/d=a/b
Areaskala
Kvadrerad längdskala
Trigonometriska ettan:
cos²(α) + sin²(α)=1
Genom pythagoras sats får vi:
a²+b²=c² ⇔ a²/c²+b²/c²=1 ⇔ (cos(α))² + (sin(α))²=1
Solvera
Att solvera en triangel innebär att man bestämmer alla vinklar och sidorlängder.
Potenser
Uttryck av typen a^n kallas för potenser
- a kallas bas
- n kallas exponent
n:te roten ur a
Med n:te roten ur a, där a≥0 och n=2,4,6 menas det icke-negativa reella tal vars n:te potens är a.
För udda n, gäller inte detta, utan där är a ett reellt tal.
a^(p/q) = p:te roten ur a^q
T.ex. 3:e roten ur, roten ur a = (a^(1/2))^(1/3) = a^(1/6)
Kvadreringsreglerna
(a+b)² = a²+2ab+b²
(a-b)² = a²-2ab+b²
Bevis genom att att utveckla.
Kuberingsreglerna
(a+b)^3 = a^3+3a²b+3ab²+b^3
(a-b)^3 = + - + -
Bevis genom att utveckla.
Konjugatreglerna
a²-b²=(a+b)(a-b)
Generaliserad konjugatregel
a^3+b^3 = (a+b)(a²-ab+b²)
a^3-b^3 = (a-b)(a²+ab+b²)
Utveckla för att bevisa
Andragradsekvation
En andragradsekvation är en ekvation av formen:
a₂x² + a₁x + a₀ = 0, där a₂,a₁,a₀ är R.
x²+px+q=0, där p,q är R
Sats: pq-formeln
om p² ≥ 4q ges lösningarna (eller lösningen om p²=4q) till andragradsekvationen x²+px+q=0 av:
x=-p/2+- sqrt((p/2)²-q)
Se bevis
Polynom
Med ett polynom menas ett uttryck av formen:
P(x)= aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+…+a₁x+a₀
där aₙ,…,₀ en del av R kallas för dess koefficienter och x för dess variabel och n är en del av N.
Om aₙ≠0 säger vi att dess grad är n och skriver grad P=n.
Sats: Faktorsatsen
Om x=a är ett nollställe till polynomet P(x), dvs P(a)=0 så är x-a en faktor i P(x), dvs P(x)/(x-a) går jämnt upp.
Se bevis
Sats: satsen om heltalsrötter
Låt P(x)= aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+…+a₁x+a₀ vara ett polynom med heltalskoefficienter, dvs a₀ är en del av Z och a₀≠0. Om x=r är en heltalsrot till P(x), dvs r är en del av Z och P(r)=0, så måste a₀ vara delbar med r.
Se bevis
Intervall
Låt a,b vara del av R med a<b. Den del av tallinjen R som svarar mot alla reella tal mellan a och b kallas för ett intervall
Öppet intervall
Om ingen av ändpunkterna a,b ingår i mängden kallas det för ett öppet intervall och betecknas (a,b).
Slutet intervall
Om båda ändpunkterna a,b ingår i mängden kallas det för ett slutet intervall och betecknas [a,b]
Halvöppet/halvslutet intervall
Om endast en av ändpunkterna ingår i mängden kallas det för ett slutet intervall och betecknas [a,b).
Mängdoperationen U
x tillhör flera intervall
Dubbelolikhet
En dubbelolikhet är en olikhet av formen a<b<c, här kallas a<b vänster olikhet och b<c höger olikhet.
Lutningsvinkeln
Lutningsvinkeln för en rät linje definieras som vinkeln moturs från x-axeln till linjen.
LV = arctan (k) om k>0 och 180-arctan(-k) om k<0.
Riktningskoefficient
Riktningskoefficienten för en rät linje defineras som kvoten mellan stigningen i höjdled och förflyttningen i sidled och brukar betecknas k.
Enpunktsformeln
y-y₁= k(x-x₁)
Tvåpunktsformeln
y-y₁= (y₂-y₁)/(x₂-x₁)·(x-x₁)
Sats: Linjer som skär under rät vinkel
För två räta linjer L₁: y=k₁x+m₁ och L₂: y=k₂x+m₂ gäller att L₁ vinkelrät mot L₂ är ekvivalent med k₁·k₂=-1
Se bevis
Avståndsformeln
Kortaste avståndet mellan två punkter.
d= sqrt((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)
Proportionell mot
Variablen y sägs vara parallell mot variabeln x om y=kx+m för någon konstant k är del av R.
Omvänt proportionell
Variabeln y sägs vara omvänt proportionell mot variabeln x om y=k·(1/x) = k/x för någon konstant k är del är R.
Absolutbelopp
Absolutbeloppet |x| av ett tal x är del av R defineras som:
|x|= x om x≥0
-x om x<0
Vi ser att absolutbeloppet är en funktion/operation som gör tal positiva.
I |x-a|
kallas x=a för…
brytpunkt
Polyeder
En tredimensionell kropp som begränsas av plana ytor kallas för en polyeder
Prisma
Ett prisma är en polyeder som begränsas av två parallella ytor (basytor) samt tre eller fler sidytor vars kanter är parallella.
Parallellpiped
En parallellpiped är ett 4-sidigt prisma vars sidor är parallella, dess sydytor är alla parallellogram.
Rätblock
Ett rätblock är en parallelpiped där alla sidytor är rektanglar.
Kub
En kub är ett rätblock där alla sidor är kvadrater.
Pyramid
En pyramid är en polyeder som begränsas av en bottenyta och minst tre sidytor som alla möts i en gemensam punkt (spets). Pyramidens höjd definieras som avståndet från spetsen till bottenytan.
Klot
Ett klot består av alla punkter i rummet som befinner sig på, eller inom ett avstånd r (radie) från en medelpunkt (centrum).
Sfär
Klotets skal.
Cylinder
(i) En cylindrisk yta fås då ett linjestycke L, parallell-förflyttas på en kurva, C.
(ii) En kropp som begränsas av en sluten cylindrisk yta (mantelyta) och två parallella basytor.
(iii) Om Linjestycket L, är vinkelrät mot basytan B sägs cylindern vara rak, annars sned. Om kurvan, C, är en cirkel sägs cylindern vara cirkulär.
Kon
(i) En kon definieras av en sluten kurva, C, och en punkt P, spets, som inte ligger i kurvans plan. Alla sträckor från P till C bildar tillsammans konens mantelyta. Konen består av denna mantelyta och basytan och konens höjd är avståndet mellan spets och basytan.
(ii) Om C är en cirkel sägs konen vara cirkulär.
(iii) Om basytan har en medelpunkt kallas den sträcka som förbinder denna medelpunkt med spetsen för konens axel. Om axeln är vinkelrät mot basytan sägs konen vara rak, annars sned.
Volymskala
Kubiken av längdskalan
Kägelsnitt
Kägelsnitt är samlingsnamnet för alla kurvor som kan fås som skärningen mellan en rak, cirkulär dubbelkon, (s.k. kägla) och ett plan.
Ellips
En ellips är mängden av alla punkter i ett plan vars avstånd till två givna punkter (brännpunkter) har en konstant summa.
Om planets lutning (i förhållande till käglans sida) är mindre bildas en ellips (cirkel om lutningen är vinkelrät mot käglans axel).
Parabel
En parabel är mängden av alla punkter som har ett lika stort avstånd till en given fix punkt (brännpunkt) som till en given linje (styrlinje) som inte går genom punkten.
Om lutningarna (i förhållande till käglans sida) är lika stora bildas en parabel
Hyperbel
En hyperbel är mängden av alla punkter i ett plan vars avstånd till två gina punkter (brännpunkter) har en konstant skillnad.
Om lutningen är större (i förhållande till käglans sida) bildas en hyperbel
Sats: Cirkelns ekvation
Om (x,y) är en godtycklig punkt på cirklen så måste avståndet mellan (x,y) och (x₀,y₀) vara r.
Se bevis
Sats: Parabelns ekvation
Se bevis
