Brainscape's Knowledge GenomeTM

Browse over 1 million classes created by top students, professors, publishers, and experts.


See full index

UNAM > Matemáticas > Flashcards

Matemáticas Flashcards

1
Q

1.1 Números reales

A

1.1 Números reales

Los números reales incluyen todos los números que se pueden encontrar en la recta numérica, es decir, los números racionales (como los enteros, fracciones y decimales) y los números irracionales

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

1.1.3 Raíces y potencias con exponente racional

A

1.1.3 Raíces y potencias con exponente racional

Las potencias y raíces con exponentes racionales son una extensión natural de las potencias enteras y las raíces cuadradas.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q

Potencias con exponente racional

A

Potencias con exponente racional

Una potencia con exponente racional m/n se puede expresar como:

a ^ m/n = ⁿ√a^m

Ejemplos:

1._ 16 ^ ½
Esto equivale a la raíz cuadrada de 16: √16 = 4

2._ 27 ^ ⅓
Esto equivale a la raíz cúbica de 27: 3√27 = 3

3._ 8 ^ ⅔
Esto equivale a ³√8² = ³√64 = 4

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

Raíces con exponente racional

A

Raíces con exponente racional

De manera similar, una raíz puede expresarse como una potencia con exponente racional. Por ejemplo:

ⁿ√a = a ^ 1/n

Ejemplos:

1._ ⁴√16

Esto equivale a 16 ^ ¼
Cómo 16 = 2⁴, tenemos (2⁴) ^ ¼ = 2

2._ ⁵√32

Esto equivale a 32 ^ ⅕
Cómo 32 = 2⁵, tenemos (2⁵) ^ ⅕ = 2

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

1.2 Números complejos

A

1.2 Números complejos

Los números complejos amplían los números reales para incluir soluciones a ecuaciones que no tienen solución en el conjunto de los números reales. Un número complejo se expresa como z = a + bi, dónde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria, con la propiedad i² = -1

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

1.2.1 Suma y resta de números complejos

A

1.2.1 Suma y resta

Para sumar o restar números complejos, simplemente sumamos o restamos las partes reales e imaginarias por separado.

Ejemplos:

  1. Suma: (3 + 4i) + (1 + 2i)
  • Parte real: 3 + 1 = 4
  • Parte imaginaria: 4i + 2i = 6i
  • Resultado: 4 + 6i
  1. Resta: (5 + 7i) - (2 + 3i)
  • Parte real: 5 - 2 = 3
  • Parte imaginaria: 7i - 3i = 4i
  • Resultado: 3 + 4i
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q

1.2.2 Multiplicación de números complejos

A

1.2.2 Multiplicación

Para multiplicar números complejos, utilizamos la propiedad distributiva y recordamos que i² = -1.

Ejemplos:

  1. Multiplicación: (2 + 3i) * (1 + 4i)

Multiplicamos las partes:

  • Parte real: 2 * 1 = 2
  • Parte imaginaria: 2 * 4i = 8i
  • Parte imaginaria: 3i * 1 = 3i
  • Parte imaginaria 3i * 4i = 12i² (recuerda que i² = -1, por lo tanto 12i² = 12(-1) = -12)

Sumamos las partes: 2 + 8i + 3i - 12 = -10 + 11i

  1. (4 + 5i) * (2+i)

Multiplicamos las partes:

  • Parte real: 4 * 2 = 8
  • Parte imaginaria: 4 * i = 4i
  • Parte imaginaria: 5i * 2 = 10i
  • Parte imaginaria: 5i * i = 5i²
    (recuerda que i² = -1, por lo que 5i² = 5(-1) = -5

Sumamos las partes: 8 + 4i + 10i - 5 = 3 + 14i

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

1.3 Expresiones algebraicas

A

1.3 Expresiones algebraicas

Las expresiones algebraicas son combinaciones de números, variables y operaciones (suma, resta, multiplicación, división y exponentes).

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q

1.3.1 Suma y resta (Expresiones Algebraicas)

A

1.3.1 Suma y resta

Para sumar o restar expresiones algebraicas, sumamos o restamos los términos semejantes. Los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes.

Ejemplos:

  1. 3x + 5x
  • Sumamos los coeficientes de los términos semejantes: 3x+5x=8x
  1. 4y² - 2y²
  • Restamos los coeficientes de los términos semejantes: 4y² - 2y² = 2y²
  1. 2a + 3b - a + 4b
  • Sumamos y restamos los terminos semejantes:

2a - a = a
3b + 4b = 7b

Resultado: a + 7b

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

1.3.2 Multiplicación y división (expresiones algebraicas)

Multiplicación

A

1.3.2 Multiplicación y división (expresiones algebraicas)

Multiplicación

Para multiplicar expresiones algebraicas, multiplicamos los coeficientes y luego aplicamos las propiedades de los exponentes a las variables.

Ejemplos:

  1. (2x) * (3x)
  • Multiplicamos los coeficientes: 2 * 3 = 6
  • Multiplicamos las variables (suma de exponentes): x * x = x²
  • Resultado: 6x²
  1. (4a²b) * (2ab³)
  • Multiplicamos los coeficientes: 4 * 2 = 8
  • Multiplicamos las variables:

a² * a = a²+¹ = a³
b * b³ = b¹+³ = b⁴

  • Resultado: 8a³b⁴
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

1.3.2 Multiplicación y división (expresiones algebraicas)

División

A

1.3.2 Multiplicación y división (expresiones algebraicas)

División

Para dividir expresiones algebraicas, dividimos los coeficientes y luego aplicamos las propiedades de los exponentes a las variables.

Ejemplos:

  1. (6x³) / (2x)
    - Dividimos los coeficientes: 6 / 2 = 3
    - Dividimos las variables (resta de exponentes): x³-¹ = x²
    - Resultado: 3x²
  2. (10a⁴b²) / (5a²b)
    - Dividimos los coeficientes: 10 / 5 = 2
    - Dividimos las variables:
    a⁴-² = a²
    b²-¹ = b
    - Resultado: 2a²b
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

1.3.3 Raíces y potencias con exponente racional

Potencias con exponente racional

A

1.3.3 Raíces y potencias con exponente racional

Las potencias y raíces con exponentes racionales se utilizan para expresar raíces en términos de potencias.

Potencias con exponente racional

Una potencia con exponente racional m/n se puede expresar como una raíz:

  • a^m/n se lee como “ a elevado a la fraccion m/n”.
  • Esto equivale a tomar la n-esima raiz de a elevada a la potencia m.

Ejemplos:

  1. 16 ^ ½
    Esto equivale a la raíz cuadrada de 16, que es 4.
  2. 27 ^ ⅓
    Esto equivale a la raíz cúbica de 27, que es 3.
  3. 8 ^ ⅔
    Esto equivale a la raíz cúbica de 8 al cuadrado. Primero calculamos 8² = 64, y luego la raíz cúbica de 64 es 4.
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

1.3.3 Raíces y potencias con exponente racional

Raíces con exponente racional

A

1.3.3 Raíces y potencias con exponente racional

Las potencias y raíces con exponentes racionales se utilizan para expresar raíces en términos de potencias.

Raíces con exponente racional

De manera similar, una raíz puede expresarse como una potencia con exponente racional:

La n-esima raiz de a, se escribe como a ^ 1/n.

Ejemplos:

  1. La raíz cuarta de 16.
  • Esto equivale a 16^¼.
  • Cómo 16 es igual a 2⁴, la raíz cuarta de 16 es 2.
  1. La raíz quinta de 32.
  • Esto equivale a 32 ^ ⅕.
  • Como 32 es igual a 2⁵, la raíz quinta de 32 es 2.
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

1.3.4 Operaciones con radicales

Simplificación de radicales

A

1.3.4 Operaciones con radicales

Simplificación de radicales

Para simplificar radicales, buscamos factores que sean potencias perfectas del índice de la raíz.

Ejemplos:

  1. √50
  • Factorizamos 50: 50 = 25 * 2 = 5² * 2
  • Extraemos la raíz cuadrada de 25: √50 = √(5² * 2) = 5 √2
  1. ³√54
  • Factorizamos 54: 54 = 27 * 2 = 3³ *2
  • Extraemos la raíz cúbica de 27: ³√54 = ³√(3³ *2) = 3 ³√2
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

1.3.4 Operaciones con radicales

Suma y resta de radicales

A

1.3.4 Operaciones con radicales

Suma y resta de radicales

Para sumar o restar radicales, los términos deben tener el mismo índice y radicando (la cantidad dentro del radical).

Ejemplos:

  1. 3 √2 + 5 √2
    - Sumamos los coeficientes: 3 +5 = 8
    - Resultado: 8 √2
  2. 4 √3 - 2 √3
    - Restamos los coeficientes: 4 - 2 = 2
    - Resultado: 2√3
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

1.3.4 Operaciones con radicales

Multiplicación y división de radicales

A

1.3.4 Operaciones con radicales

Multiplicación y división de radicales

Ejemplos:

  1. √2 * √8
    - Multiplicamos los radicandos: √(2 * 8) = √16 = 4
  2. √50 / √2
    - Dividimos los radicandos: √(50/2) = √25 = 5
16
Q

Productos notables

A

Productos notables

Los productos notables son fórmulas algebraicas que se utilizan para simplificar la multiplicación de ciertos tipos de expresiones algebraicas. Son “notables” porque aparecen frecuentemente y tienen formas específicas que facilitan su uso.

Principales productos notables

1. Cuadrado de un binomio

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab - b²

2. Producto de la suma por la diferencia de dos términos

(a + b) (a - b) = a² - b²

3. Cubo de un binomio

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

4. Producto de binomios conjugados

(a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd

Ejemplos

  1. (x + 3)²

Usamos la fórmula del cuadrado de un binomio:

(x + 3)² = x² + 2 (x) (3) + 3² = x² + 6x + 9

  1. (x - 4) (x + 4)

Usamos la fórmula del producto de la suma por la diferencia de dos términos:

(x - 4) (x + 4) = x² - 4² = x² - 16

17
Q

Factorización

A

Factorización

La factorización es el proceso de escribir un polinomio como un producto de sus factores. Los factores son expresiones más simples que, multiplicadas entre sí, dan como resultado el polinomio original.

Principales métodos de factorización

  1. Factor común

Se busca el factor común en todos los términos del polinomio y se factoriza.

Ejemplo:

3x³ + 6x² = 3x² (x + 2)

  1. Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es la expansión del cuadrado de un binomio.

Ejemplo:

x² + 6x + 9 = (x + 3)²

  1. Diferencia de cuadrados

Un polinomio de la forma a² - 16 se factoriza como el producto de dos binomios conjugados.

Ejemplo:

x² - 16 = (x - 4) (x + 4)

  1. Trinomio cuadrado general

Para factorizar un trinomio cuadrado general ax² + bx + c se buscan dos numeros que multiplicados den a * c y sumados den b.

Ejemplo:

x² + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)

  1. Factorización por agrupación

Se agrupan los términos de tal manera que cada grupo tenga un factor común.

Ejemplo:

x³ + 3x² - x - 3 = x² (x + 3) - 1 (x + 3) = (x² - 1) (x + 3) = (x - 1) (x + 1) (x + 3)

18
Q
  1. Productos notables y factorización

2.1 Binomio de Newton

A
  1. Productos notables y factorización

2.1 Binomio de Newton (a + b)ⁿ, n ∈ N

El Binomio de Newton describe la expansión de una potencia de un binomio (a + b)ⁿ . La formula general se expresa mediante coeficientes binomiales:
n (n) n-k k
(a+b)ⁿ = ∑ (k) a b
k=0

Donde ( n k ) es el coeficiente binomial y se calcula como:

(n)
(k) = n! / k! (n - k)!

Ejemplo: Expandir (a + b)³

             (3)         (3)          (3)         (3) (a + b)³ = (0) a³b⁰ +(1) a²b¹ + (2) a¹b² + (3) a⁰b³

= 1a³ + 3a²b + 3ab² +1b³

=a³ + 3a²b + 3ab² +b³

19
Q
  1. Productos notables y factorización

2.2 Teorema del residuo y del factor

A
  1. Productos notables y factorización

2.2 Teorema del residuo y del factor

  • Teorema del Residuo: Si un polinomio P(x) se divide por (x - c), el residuo de esta división es P(c).

Ejemplo: Si P(x) es = x³ - 2x² + 3x - 4 y queremos encontrar el residuo de P(x) al dividir por (x - 2):

P(2) = 2³ - 2(2²) + 3(2) - 4 = 8 - 8 + 6 - 4 = 2

El residuo es 2.

  • Teorema del Factor: Si c es una raíz del polinomio P(x), entonces (x - c) es un factor de P(x).

Ejemplo: Si P(x) = x² - 5x + 6, y queremos saber si (x - 2) es un factor:

P(2) = 2² - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0

Cómo P(2) = 0, (x - 2) es un factor de P(x).

20
Q

2.3 Simplificación de fracciones algebraicas

A

2.3 Simplificación de fracciones algebraicas

Para simplificar fracciones algebraicas, factorizamos el numerador y el denominador y luego cancelamos los factores comunes.

Ejemplo: Simplificar (2x² - 8) / 4x

  1. Factorizamos el numerador:
    2x² - 8 = 2 (x² - 4) = 2 (x - 2) (x + 2)
  2. Factorizamos el denominador:
    4x = 2 * 2x
  3. Simplificamos la fracción:
    (2 (x - 2) (x + 2)) / 2 * 2x = ((x - 2) (x + 2)) / 2x
21
Q

2.4 Operaciones con fracciones algebraicas

Suma y resta

A

2.4 Operaciones con fracciones algebraicas

Suma y resta

Para sumar o restar fracciones algebraicas, buscamos un denominador común.

Ejemplo: 3/x + 4/x²

  1. Encontramos el denominador común: x * x² = x³
  2. Ajustamos las fracciones :
    (3x/x³) + (4/x²) = (3x²/x³) + (4x/x³) = (3x² + 4x) / x³
22
Q

2.4 Operaciones con fracciones algebraicas

Multiplicación y división

A

2.4 Operaciones con fracciones algebraicas

Multiplicación y división

Para multiplicar fracciones algebraicas, multiplicamos los numeradores y los denominadores. Para dividir, multiplicamos por el recíproco.

Ejemplo de multiplicación: (2x/3y) * (4y / 5x)

  1. Multiplicamos los numeradores y los denominadores:

(2x * 4y) / (3y * 5x) = 8xy / 15xy

  1. Simplificamos:
    8xy / 15xy = 8 / 15

Ejemplo de división: (2x / 3y) / (4y / 5x)

  1. Tomamos el recíproco de la segunda fracción y multiplicamos:

(2x / 3y) * (5x / 4y) = (2x * 5x) / (3y * 4y) = 10x² / 12y²

  1. Simplificamos:

10x² / 12y² = 5x² / 6y²

23
Q
  1. Ecuaciones

3.1 Ecuación, identidad y propiedades de la igualdad

A
  1. Ecuaciones

3.1 Ecuación, identidad y propiedades de la igualdad

Ecuación:

Una ecuación es una igualdad matemática que contiene una o más variables. Resolver una ecuación implica encontrar el valor o los valores de las variables que hacen verdadera la igualdad.

Ejemplo:

2x+3=7

Identidad:

Una identidad es una igualdad que es cierta para todos los valores de las variables.

Ejemplo:

(x + 1)² = x² +2x + 1

Propiedades de la igualdad:

  • Propiedad Reflexiva:
    a = a
  • Propiedad Simétrica:
    Si a = b, entonces b = a
  • Propiedad Transitiva:
    Si a = b y b = c, entonces a = c
  • Propiedad de la Adición:
    Si a = b, entonces a + c = b + c
  • Propiedad de la Sustracción:
    Si a = b, entonces a − c = b − c
  • Propiedad de la Multiplicación:
    Si a = b, entonces a c = b c
  • Propiedad de la División:
    Si a = b y c ≠ 0, entonces a / c = b / c
24
Q

3.2 Ecuaciones de primer grado

A

3.2 Ecuaciones de primer grado

Una ecuación de primer grado, también conocida como ecuación lineal, tiene la forma general:

ax + b = 0

donde a y b son constantes y x es la variable.

Ejemplo:

2x+3=7

Para resolverla:

  1. Restamos 3 a ambos lados:
    2x + 3 - 3 = 7 - 3
    2x = 4
  2. Dividimos entre 2:
    2x / 2 = 4 / 2

Ejemplo más complejo:
3x - 5 = 7 - x

Para resolverla:

  1. Sumamos x a ambos lados:
    3x + x - 5 = 7 - x + x
    4x - 5 = 7
  2. Sumamos 5 a ambos lados:
    4x - 5 + 5 = 7 + 5
    4x = 12
  3. Dividimos entre 4:
    4x / 4 = 12 / 4
    x = 3
25
Q

3.3 Ecuaciones de segundo grado

A

3.3 Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado, o cuadrática, tiene la forma general:

ax² + bx + c = 0

donde a, b y c son constantes y x es la variable.

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas:

  1. Factorización

Ejemplo:

x² - 5x + 6 = 0

Factorizamos:

(x - 2) (x - 3) = 0

De aquí tenemos dos soluciones:

x - 2 = 0 → x = 2
x - 3 = 0 → x = 3

  1. Fórmula general

La fórmula general para resolver una ecuación cuadrática es:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Ejemplo:

2x² - 4x - 6 = 0

Aplicamos la fórmula general:

a = 2, b = -4, c =-6

  - (-4) ± √( (-4)² - 4 (2) (-6) x = -----------------------------------
                     2 (2)

   4 ± √(16 + 48) x = ------------------
             4

   4 ± √64 x = --------------
          4

     4 ± 8 x = -------------
         4

x = 3 o x = -1

3.Completar el cuadrado

Ejemplo:

x² + 6x + 5 = 0

  1. Movemos el término constante al otro lado:

x² + 6x = -5

  1. Completamos el cuadrado sumando y restando el cuadrado de la mitad del coeficiente de

x² + 6x + 9 = -5 + 9

(x + 3)² = 4

  1. Resolvemos tomando la raíz cuadrada:

x = -1 o x = -5

26
Q
  1. Desigualdades

4.1 Desigualdad de primer grado en una variable y sus propiedades

A
  1. Desigualdades

4.1 Desigualdad de primer grado en una variable y sus propiedades

Desigualdad:

Una desigualdad es una expresión matemática que compara dos valores o expresiones usando los símbolos < (menor que), > (mayor que), ≤ (menor o igual que), y ≥ (mayor o igual que).

Ejemplo:

3x - 5 < 7

Propiedades de las desigualdades:

  1. Propiedad Reflexiva:
    a ≤ a y a ≥ a
  2. Propiedad de la Adición:
    Si a < b, entonces a + c < b + c.
  3. Propiedad de la Sustracción:
    Si a < b, entonces a - c < b - c.
  4. Propiedad de la Multiplicación por un número positivo:
    Si a < b y c >0, entonces ac < bc.
  5. Propiedad de la Multiplicación por un número negativo:
    Si a < b y c < 0, entonces ac > bc. (Se invierte el signo de la desigualdad).
  6. Propiedad de la División por un número positivo:
    Si a < b y c > 0, entonces a/c < b/c.
  7. Propiedad de la División por un número negativo:
    Si a< b y c < 0, entonces a/c > b/c. (Se invierte el signo de desigualdad).

Resolver desigualdades de primer grado:

Las desigualdades de primer grado tienen la forma:

a x + b < c o a x + b > c o a x + b ≤ c o a x + b ≥ c

Ejemplo:

2x + 3 < 7

Para resolverla:

  1. Restamos 3 de ambos lados:
    2x + 3 - 3 < 7 - 3
    2x < 4
  2. Dividimos ambos lados entre 2:
    2x/2 < 4/2
    x < 2
27
Q
A

UNAM (2 decks)

Brainscape helps you reach your goals faster, through stronger study habits.
© 2024 Bold Learning Solutions. Terms and Conditions