Maatriksid ja determinandid

Question 1

Definitsioon 1.1 Maatriks

Answer 1

Maatriksiks nimetatakse ümarsulgude vahele paigurarud m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit, kus arve a_ij nimetatakse maatriksi elementideks, i = 1, …, m ja j = 1,…,n

Question 2

Definitsion 1.2 ruutmaatriks, reamaatriks/reavektor, veerumaatriks/veeruvektor

Answer 2

n-järku ruutmaatriks - maatriks, mille ridade ja veergude arv on võrdne, m=n

reamaatriks/reavektor - maatriks, milles on ainult üks rida

veerumaatriks/veeruvektos - maatriks, milles on ainult üks veerg

Question 3

Definitsioon 1.3: maatriksite võrdsus

Answer 3

Maatrikseid A ja B nimetatakse võrdseteks, kui neil on võrdne ridade ja veergude arv ja kõik vastavatel kohtadel olevad elemendid on võrdsed

Question 4

Definitsioon 1.4: maatriksite summa

Answer 4

Kui maatriksid A ja B on mõlemad m x n maatriksid, siis A ja B summaks nimetatakse m x n maatriksit C, mille elementideks on vastavate elementide summad

Question 5

Definitsioon 1.5: maatriksite vahe

Answer 5

Kui maatriksid A ja B on mõlemad m x n maatriksid, siis nende vaheks nimetatakse m x n maatriksit C, mille elemendid on vastavate elementide vahed

Question 6

Definitsioon 1.6: maatriksi korrutis skalaariga

Answer 6

Maatriksi A korrutiseks skalaariga k nimetatakse maatriksit kA = B, mille lemendid saadakse maatriksi A kõigi elementide korrutamisel arvuga k

Question 7

Definitsioon 1.7: nullmaatriks

Answer 7

Null maatriks on maatriks, mille kõik elemendid võrduvad nulliga

Question 8

Maatriksi tehetega seotud omadused

Answer 8

A + (B + C) = (A + B) + C (liitmise assotsiatiivsus)
A + B = B + A (liitmise kommutatiivsus)
k(A + B) = kA + kB
A + O = A

Question 9

Definitsioon 1.8: transponeeritud maatriks

Answer 9

Transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit A^T, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel

Question 10

Transponeeritud maatriksi omadused

Answer 10

Olgu maatriksid A ja B samade mõõtmetega ning k∊R.

(A^T)^T = A
(A + B)^T = A^T + B^T
(kA)^T = kA^T

Question 11

Definitsioon 1.9: maatriksite korrutis, märkus 1.1: mittekommutatiivsus

Answer 11

Kui maatriksi A veergude arv võrdub maatriksi B ridade arvuga, siis maatriksite A ja B korrutiseks AB nimetatakse maatriksit C, mille i-nda rea ja j-nda veeru elemendi c_ij saamiseks korrutatatkse maatriksi A i-nda rea elemendid maatriksi B j-nda veeru vastavate elementidega ning saadud korrutised liidetakse.

Maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne

Question 12

Maatriksite korrutamise omadused

Answer 12

(AB)C = A(BC), (korrutamise assotsiatiivsus)
(A + B)C = AC + BC, (distributiivsus)
λ(AB) = (λA)B = A(λB), iga λ ∈ R korral
(AB)^T = B^T * A^T
A O = O
O A = O

Question 13

Definitsioon 1.12: maatriksi elemendile vastav miinor

Answer 13

Ruutmaatriksi A elemendile a_ij vastavaks miinoriks nimetatakse determinanti M_ij, mis saadakse, kui maatriksi A determinadis jätta välja elementi a_ij läbiv rida ja veerg

Question 14

Definitsioon 1.13: determinandi arendamine 𝑖-nda rea järgi

Answer 14

|A| =n∑^n_j=1 (−1)^(i+j) a_ij*M_ij , i ∈ {1, 2, . . . , n}, n ≥ 2, kus M_ij on elemendile a_ij vastav miinor ehk (n-1)-järku determinant

Question 15

Omadused 1.1-1.8: determinantide põhiomadused

Answer 15

1.1 Maatriksi transponeerimine (ridade ja veergude vahetamine) ei muuda
maatriksi determinandi väärtust
1.2 Kahe rea või veeru vahetamisel muutub determinandi märk vastupidiseks
1.3 Kahe võrdelise või võrdse rea korral on determinandi väärtus 0
1.4 kui determinandi mingi rea või veeru kõik elemendid on nullid, on determinandi väärtus 0
1.5 mingi rea või veeru kõigi elelemntide korrutamisel arvuga k, korrutub determinandi väärtus arvuga k
1.6 kui determinandi mingis reas või veerus olevad elemendid jujutavad endast kahe liidetava summasid, siis see determinant võrduv kahe sama järku determinandi summaga, millest esimeses on vastavas reas või veerus esimesed liidetavad, teises teised liidetavad, kõik ülejäänud read või veerud on aga samasugused nagu lähtedeterminandis
1.7 determinandi väärtus ei muutu kui mingile reale (veerule) liita mistahes arvuga korrutatud teine rida (veerg)
1.8 sama järku ruutmaatriksite korrutise determinant on võrdne tegurite determinantide korrutisega |A*B| = |A| * |B|