Linjär algebra Flashcards
Vad innebär det att vektorer är linjärt oberoende?
En familj av vektorer är linjärt oberoende om det INTE är möjligt att uttrycka någon av vektorerna som en linjärkombination av de övriga. Det finns alltså inga tal x, y som t.ex. gör att u = xv + yw. Därför är vektorerna u, v och w linjärt oberoende.
Hur undersöker man om vektorer är linjärt oberoende?
Genom att ställa upp beroendeekvationen och lösa den. Om du får fram att x1, x2, x3…xn = 0 är de linjärt oberoende, annars linjärt beroende. Alltså, får du en parameterlösning när du löser beroendeekvationen är vektorerna linjärt beroende.
Vad innebär det att f1, f2, f3 är en ON-bas i R3?
Detta innebär att f1, f2 och f3 spänner upp hela R3 och att de alla har längden 1 samt är ortogonala mot varandra. För att kontrollera att det är ett högersystem kan du kryssa f1 och f2, och ska- förutsatt att det är ett högersystem- få f3. Är det ett vänstersystem kommer du att få -f3.
Hur kryssar man två vektorer i R4?
Kryssprodukten är endast definierad i R3 och därför kan du inte kryssa två vektorer i R4.
Vad är ett euklidiskt rum?
Ett euklidiskt rum är ett vektorrum som innehåller en skalärprodukt.
Vad är bassambandet och hur används det?
f=eT och det används till att byta bas. Beroende på vilket problem man löser är det ibland smidigare att jobba i en annan bas och då används basbytesformeln, ofta i kombination med koordinatsambandet. T står för Transformationsmatris och den består av f:s vektorer uttryckta i basen e.
Ett underrum U består av fem vektorer. Är det möjligt att U är en bas för R4? När kommer det inte att vara det?
Det är absolut möjligt. Förutsatt att vi bara får ett löjligt element (vi kommer dessutom få minst 1) när vi undersöker mängden av vektorer med beroendeekvationen så är U en bas för R4. Dock finns det en chans att det är flera vektorer som är löjliga element i mängden och i så fall kommer U inte att spänna upp hela R4.
U är inte en bas för R5 men består av tre linjärt oberoende vektorer- beskriv steg för steg hur man gör för att fylla ut U till en bas för R5.
Ställ upp vänsterledet lika som i beroendeekvationen men sätt istället för lika med 0 (ty vi vet redan att vektorerna är linjärt oberoende) lika med en godtycklig vektor, som har koordinaterna (x1, x2, x3, x4, x5). Ta fram en trappstegsmatris och du kommer se att vi får två krav gällande vektorernas koordinater som måste uppfyllas för att vektorn i R5, för tillfället, ska ligga i U. Vårt mål är att lägga till vektorer som tar oss till nya dimensioner, därför är det naturligt att vi väljer att fylla ut med en vektor som bryter mot det första villkoret, men uppfyller det andra. Anledningen till att vi vill att den ska uppfylla det andra är för att vi ska lägga till en vektor till senare och vi vill inte (trots att det är osannolikt) riskera att den sista vektorn kan uttryckas som en linjärkombination av de övriga. Gör vi på detta sättet, att vi bryter mot första och uppfyller andra, sedan bryter mot andra när vi fyller ut med våra två vektorer så säkerställer vi att U blir en bas som spänner upp hela R5.
Alt. Ta reda på alla vektorer som är ortogonala mot de som ingår i U genom att ta skalärprodukten mellan (x1, x2, x3, x4, x5) och respektive vektor i U. Detta kommer ge dig tre ekvationer (alla lika med 0). Lös detta system för att bestämma vektorerna som finns i Ortogonalkomplementet. Direkta summan av Ortogonalkomplementet till U och U kommer spänna upp hela R5.
En vektor v tillhör U. Bestäm hur du gör för att uttrycka v som en linjärkombination av basvektorerna som spänner upp U.
Ställ upp vänsterled som i beroendeekvationen och sätt lika med v.
Vad innebär det att Det A = 0, om A är en kvadratisk matris?
Det innebär att A inte är inverterbar.
v tillhör ej U. Hur bestämmer jag den vektor i U som ligger närmast v? Förklara även hur avståndet mellan U och v bestäms!
Använd minstakvadrat-metoden! Lös ekvationen AtAX = AtY. Då kommer du få fram hur många av varje vektor i U som behövs för att komma till den punkt i U som ligger närmast den givna vektorn. Alltså kan man se det som att vi genom att använda minstakvadrat-metoden beräknar projektionen av v på U! För att sedan beräkna avståndet tar vi v minus v parallell U och får då v ortogonal U. Längden av denna vektor fås genom att ta beloppet av den.
Image: v tillhör ej U. Hur bestämmer jag den vektor i U som ligger närmast v? Förklara även hur avståndet mellan U och v bestäms!
Vad gäller för Dim U + Dim U ortogonala komplementet?
Det är lika med Dim för hela rummet.
Beskriv steg för steg hur man beräknar nollrum och värderum för en avbildningsmatris.
För att beräkna nollrummet vill du undersöka vilka vektorer du ska multiplicera med avbildningen för att få noll-vektorn. Det visar sig att det som då ställs upp ser likadant ut som beroendeekvationen. Lös denna ekvation och vektorn/erna du får fram i parameterlösningen (om du ens får några) kommer spänna upp nollrummet.
Värderummet är alla de vektorer som en avbildningen kan skapa oavsett vilken vektor den multipliceras med. Det kan uttryckas på två sätt, antingen i form av ett hölje eller som ett lösningsrum. Ta fram löjliga element i avbildningsmatrisen och ta bort dem. De som är kvar kommer att spänna upp värderummet. För att bestämma lösningsrummet för V(F), gör på precis samma sätt som tidigare, sätt lika med godtycklig vektor och kolla vad ekvationerna blir på de nollrader som upptstår (om det blir några).
Bra att känna till! Om nollrummet och värderummet inte har några fler gemensamma vektorer än noll-vektorn så kommer de tillsammans att spänna upp en bas för hela rummet.
Vad gäller för determinanten av en isometrisk avbildning? Och vad innebär det att en avbildning är isometrisk?
Den är alltid = 1 (vridning) eller -1 (spegling eller vridspegling)
Att en avbildning är isometrisk betyder att den bevarar längden. Längd på vektorn påverkas t.ex. inte av speglingar eller rotationer.
Vad kännetecknar en symmetrisk avbildning?
A = At
Bra att veta- om avbildningen är symmetrisk så garanterar spektralsatsen att det finns en ON-bas bestående av egenvektorer (förutsatt att man är i rätt “rum”… vilket vi alltid är :) )
