Limiti

Question 1

Limiti

Answer 1

In matematica, i limiti sono concetti fondamentali per lo studio del comportamento delle funzioni. Essi descrivono il valore al quale una funzione tende quando l’input si avvicina a un certo punto o si allontana all’infinito.

Question 2

Definizione di limite

Answer 2

Il limite di una funzione f(x) quando x si avvicina a un certo valore c è un valore L tale che la funzione si avvicina a L quanto si desidera, purché x sia sufficientemente vicino a c (ma diverso da c). Si indica con il simbolo lim(x→c) f(x) = L.

Question 3

Limiti destro e sinistro

Answer 3

Quando si studia il limite di una funzione in un punto c, si considerano anche i limiti destro e sinistro. Il limite destro (lim(x→c+) f(x)) rappresenta il valore al quale la funzione tende quando x si avvicina a c da destra, mentre il limite sinistro (lim(x→c-) f(x)) rappresenta il valore al quale la funzione tende quando x si avvicina a c da sinistra.

Question 4

Limiti finiti e infiniti

Answer 4

Un limite è definito finito se la funzione tende a un valore numerico definito quando x si avvicina a un certo punto. Un limite è invece definito infinito se la funzione tende a più o meno infinito quando x si avvicina a un certo punto.

Question 5

Teorema del confronto

Answer 5

Il teorema del confronto afferma che se due funzioni f(x) e g(x) sono tali che f(x) ≤ g(x) per tutti gli x vicini a un certo punto c (tranne forse in c), allora il limite di f(x) quando x si avvicina a c è minore o uguale al limite di g(x) quando x si avvicina a c.

Question 6

Operazioni con i limiti

Answer 6

I limiti obbediscono a diverse regole di calcolo. In particolare, i limiti possono essere sommati, sottratti, moltiplicati e divisi, e possono essere elevati a una potenza. Queste regole possono semplificare il calcolo dei limiti di funzioni complesse.

Question 7

Limiti notevoli

Answer 7

Ci sono alcuni limiti notevoli che sono spesso utilizzati nel calcolo dei limiti. Alcuni esempi includono il limite del seno quando l’argomento tende a zero, il limite dell’esponenziale quando l’argomento tende a meno infinito e il limite del logaritmo quando l’argomento tende a uno.

Question 8

Limiti infinitesimi

Answer 8

Un limite infinitesimo è un limite che tende a zero quando x si avvicina a un certo punto. Questi limiti sono importanti nel calcolo delle derivate, in quanto permettono di approssimare il tasso di variazione di una funzione.

Question 9

Teorema degli zeri

Answer 9

Il teorema degli zeri afferma che se una funzione continua assume valori positivi e negativi su entrambi i lati di un punto c, allora esiste almeno un valore x tra i due lati per cui la funzione si annulla.

Question 10

Calcola il limite della funzione f(x) = (3x² - 2x + 1) / (2x - 1) quando x tende a 2.

Answer 10

Possiamo sostituire direttamente x con il valore al quale si avvicina, ottenendo f(2) = (3(2)² - 2(2) + 1) / (2(2) - 1).