klk Flashcards
GRUPOID
Uređen par (S,*), gde je sa * označena unutrašnja binarna operacija definisana na nepraznom skupu S
PERMUTABILNI ELEMENTI
a i b iz skupa S, takvi da u grupoidu (S,°) važi a°b=b°a
KOMUTATIVNI GRUPOID
svaka dva elementa grupoida (S,*) su permutabilna, tj. ako je operacija u grupoidu komutativna
SEMIGRUPA
Grupoid (S,°) čija je operacija ° asocijativna
STEPEN a^n ELEMENTA SEMIGRUPE
određen jednakostima a^1=a, a^(n+1)=a*a^n
LEVI (DESNI) NEUTRALNI ELEMENT
element e grupoida (S,°), takav da za svako a iz S važi a°e=a
NEUTRALNI ELEMENT
element e grupioda (S,°), takav da za svako a iz S važi a°e=e°a=a
MONOID
Semigrupa sa neutralnim elementom
INVERZNI ELEMENT
Neka je (S,°) grupoid sa neutralnim elementom e, tada a iz S ima levi (desni) inverzni element a’ (a’’) iz S ako važi a’°a=e (a’‘°a=e)
inverzni element ako važi a’=a’’
а^(-n)
Ako je u semigrupi (S,*) element a iz S invertibilan, stepen a^(-n) definisan je sa a^(-n)=(a^-1)^n
KVAZIGRUPA
Grupoid (S,*) u kome su jednoznačno rešive linearne jednačine (ax=b i ya=b, a,b iz S)
LUPA (PETLJA)
Kvazigrupa sa grupa sa neutralom
HOMOMORFIZAM
Surjekcija f: G->H je homorfizam grupoida (G,°) na grupoid (H,˙) ako važi za svako x i y iz G da je f(x°y)=f(x)˙f(y). Ako postoji bar jedan homomorfizam, grupoid H je homomorfna slika grupoida G tj. H homomorfan sa G. Homomorfizam grupoida na samog sebe je endomorfizam.
IZOMORFIZAM
Bijekcija f: G->H je izomorfizam grupoida (G,°) i (H,˙) ako važi za svako x i y iz G da je f(x°y)=f(x)˙f(y). U tom slučaju su grupoidi izomorfni. Izomorfizam grupoida na samog sebe je automorfizam.
GRUPA
Grupoid (G,°) u kome je
1) operacija ° asocijativna
2) postoji neutralni element
3) svaki element je invertibilan
ABELOVA GRUPA
Grupa (G,°) u kojoj važi komutativnost tj.
Grupoid (G,°) u kome je
1) operacija ° asocijativna
2) postoji neutralni element
3) svaki element je invertibilan
4) operacija ° je komutativna
RED GRUPE
Ako je skup G konačan, kaže se da je grupa (G,°) konačna. Red grupe je broj elemenata u skupu G grupe (G,°)
CIKLIČNA GRUPA
Grupa (G,°) u kojoj postoji element a iz G takav da su svi elementi grupe stepeni tog elementa. Element a se naziva generator grupe.
GENERATOR GRUPE
Grupa (G,°) u kojoj postoji element a iz G takav da su svi elementi grupe stepeni tog elementa. Element a se naziva generator grupe.
PODGRUPA
Neka je (G,°) grupa. Ako je podskup H skupa G grupa u odnosu na operaciju ° onda je (H,°) podrgrupa grupe (G,°).
RED ELEMENTA GRUPE
U konačnoj grupi (G,°) sa jediničnim elementom e, red elementa a iz G jeste najmanji prirodan broj k takav da je a^k=e
PRSTEN
Algebarska struktura (S,+,°) sa dve binarne operacije, za koju važi 1) (S,+) je Abelova grupa
2) (S,°) je semigrupa
3) operacija ° je distributivna sa leve i desne strane u odnosu na +
KOMUTATIVNI PRSTEN
Prsten (S,+,°) u kome je operacija ° komutativna
PRSTEN SA JEDINICOM
Prsten (S,+,°) u kome operacija ° ima neutralni element
IDEMPOTENTAN ELEMENT
Element a iz G grupoida (G,°) za koji važi a°a=a
BULOV PRSTEN
Prsten sa jedinicom u kome su svi elementi idempotentni
DELILAC NULE
Element a različit od nule prstena (S,+,°) je levi (desni) delilac nule ako u skupu S postoji element b različit od nule takav da je a°b=0 (b°a=0)
OBLAST CELIH (INTEGRALNI DOMEN, PODRUČJE INTEGRITETA)
Prsten sa bar dva elementa bez delioca nule
POTPRSTEN
Ako je (S,+,°) prsten i ako za neki podskup T skupa S struktura (T,+,°) je takođe prsten, (T,+,°) je potprsten prstena (S,+,°)
IDEAL PRSTENA
Skup I naziva se levi (desni) ideal prstena (S,+,°) ako važi
1) (I,+) je podgrupa (S,+)
2) za svako a iz I i svako s iz S važi da s°a (a°s) pripada I
Ako je I i levi i desni ideal, on se naziva ideal
HOMOMORFIZAM PRSTENA
Neka su (P,+,°) i (S,~,˙) prsteni sa jedinicama 1p i 1s
preslikavanje h: P->S za koje važi
1)za svako a,b iz P važi h(a+b)=h(a)~h(b)
2)za svako a,b iz P važi h(a°b)=h(a)˙h(b)
3)h(1p)=1s
IZOMORFIZAM PRSTENA
Neka su (P,+,°) i (S,~,˙) prsteni sa jedinicama 1p i 1s
preslikavanje bijekcije h: P->S za koje važi
1) za svako a,b iz P važi h(a+b)=h(a)~h(b)
2)za svako a,b iz P važi h(a°b)=h(a)˙h(b)
3)h(1p)=1s
TELO
Algebarska struktura (S,+,°) sa osobinama
1) (S,+) je komutativna grupa
2) struktura (S \ {0},°) je grupa (0 je neutralni element operacije +)
3) operacija ° je distributivna u odnosu na +
POLJE
Telo (S,+,°) u kome je operacija ° komutativna
NULA MATRICA
Matrica proizvoljnog tipa čiji su svi elementi jednaki 0
JEDINIČNA MATRICA
Kvadratna matrica u kojoj su elementi na glavnoj dijagonali jednaki 1, dok su ostali elementi 0
TRANSPONOVANA MATRICA
Matrica A^T u kojoj su zamenjene vrste i kolone matrice A
SIMETRIČNA MATRICA
Kvadratna matrica koja je jednaka svojoj transportovanoj, elementi su joj simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu
KOSO-SIMETRIČNA MATRICA
Njena transportovana matrica je -A
KONJUGOVANA MATRICA
Matrica čiji su svi elementi zamenjeni njihovom konjugovanom vrednošću
HERMITSKA MATRICA
Njena transportovana matrica je jednaka konjugovanoj
TRAG MATRICE
Zbir elemenata na glavnoj dijagonali kvadratne matrice
ADJUNGOVANA MATRICA
Adjungovana matrica matrice A je adjA=[Aij]^T, gde je Aij algebarski kofaktor elementa aij
REGULARNA I SINGULARNA MATRICA
Ako matrica ima svoju inverznu matricu za koju važi AX=XA=I, onda se ona naziva regularnom. Ako nema, to je singularna.
KRAMEROVE FORMULE
D≠0 -> ima jedinstveno rešenje x=Dx/D
D=0, Dx≠0 (bar jedno) - > nesaglasan sistem (nema rešenja)
D=Dx=0 -> ili neodređen (besk rešenja) ili nesaglasan
