Katalog 3 Flashcards
Wie verändert sich das Spektrums einer Rechteckschwingung mit fester Impulsdauer, bei der die Periode immer weiter erhöht wird?
Wird die Periodendauer T bei gleichbleibender Impulsdauer grösser, so wird der Abstand zwischen den Linien im Spektrum immer enger. Geht sie gegen Unendlich, bildet sich ein kontinuierliches Spektrum.
Was ist ein fastperiodisches Signal?
Viele Signale wie Musik und Sprache sind fastperiodisch, dh. dass sie aus unterschiedlich langen Abschnitten bestehen, innerhalb derer das Signal periodisch ist.
Sie besitzen linienähnliche Spektren, die ausschließlich
die ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz enthalten.
Sie beobachten ein Spektrum aus mehreren Linien bei 100 Hz, 200 Hz, 270 Hz, 400 Hz und 800 Hz. Um was für einen Signaltyp handelt es sich?
Es handelt sich um ein quasiperiodisches Signal, da das Spektrum nicht nur ausschließlich aus den ganzahligen Vielfachen der Grundfrequenz besteht.
Welche Signale lassen sich als Fourierreihe darstellen?
Alle praktisch vorkommenden und technisch erzeugbaren periodischen Signale, die die Dirichlet-Bedingungen erfüllen:
1. f(t) muss über eine Periode absolut integrierbar sein.
2. Nur endlich viele Maxima / Minima pro Periode.
3. Nur endlich viele und nur endliche Unstetigkeiten
pro Periode.
Wie sieht das Spektrum eines einzelnen Rechteckimpulses aus?
Das Spektrum ist kontinuierlich und wird durch eine Sinc-Funktion beschieben, d.h. sinc x = sin(x) / x.
Wie sieht die Fouriertransformierte des mit 2 skalierten Einheitsimpulses aus?
1 * 2 = 2
Wie kann man am Besten die wechselnde Tonhöhe in der Aufnahme eines Solo-Musikstückes bestimmen?
Durch Zerlegung des Signals in überlappende Abschnitte, in denen man eine lokale Fourieranalyse durchführt, nachdem man die Abschnitte mit einer möglichst glatten Fensterfunktion multipliziert hat.
Sie zerlegen ein relativ glattes, periodisches Signal in mehrere Abschnitte und bestimmen in jedem Abschnitt die lokale Fouriertransformation. Wie unterscheiden sich die lokalen Spektra vom Gesamtspektrum und warum?
Die lokalen Spektren enthalten deutlich höhere Frequenzen, da durch das Ausschneiden plötzliche Übergänge entstehen, die wiederum hohe Frequenzanteile haben.
Was bedeutet die Komplementarität von Frequenz und Zeit?
Eine zeitliche Eingrenzung der Signaldauer ∆t bewirkt eine Ausweitung des Frequenzbandes ∆f.
Umgekehrt gilt: Je eingeschränkter das Frequenzband, desto grösser muss zwangsläufig die Zeitdauer sein.
Wie berechnet man die Frequenzunschärfe eines Signals?
Anfang und Ende von Zeit- und Frequenzsprektrum sind oft nicht scharf definiert.
Daher nimmt man zur Schätzung von ∆t und ∆f oft die Halbwertsbreite (die Breite bei 50% des Maximalwertes) oder die Standartabweichungen σ_t und σ_ω.
Was besagt die Frequenz-Zeit-Unschärferelation?
σ_t * σ_ω ≥ 1 bzw. ∆t * ∆f ≥ 0.88
Man kann niemals gleichzeitig Zeitdauer und Frequenz genauer als σ_t * σ_ω = 1 angeben. Dies ist eine fundamentale Grenze Fourieranalysis bzw. der Physik.
Bei welchem Signal ist das Produkt aus Zeit- und Frequenzunschärfe genau gleich 1?
z.B. das Gabor-Wavelet Signal.
Was ist der Unterschied zwischen der Fourierreihe und dem Spektrum eines periodischen Signals?
Fourierreihe und Spektrum sind bei periodischen Signalen dasselbe.
Was ist die Ausblendeigenschaft des Dirac-Impulses?
Wenn ein Dirac-Impuls mit einem beliebigen Signal f(t) multipliziert und dann integriert wird, so erhält man den Signalwert f(0) am Ursprung.
Bei dem Spektrum eines Signals ist der Realteil gerade und der Imaginärteil ungerade. Um was für einen Signaltyp handelt es sich?
Es handelt sich um ein reelles Signal.
Die Fouriertransformierte von f_1(t) sei F_1(ω), die Fouriertransformierte von f_2(t) sei F_2(ω). Wie sieht die Fouriertransformierte von f(t) = 3 f_1(t) - 0.7 f_2(t) aus, und welche Eigenschaft macht man sich dabei zunutze?
Zu Nutze kann man sich dabei die Linearitätseigenschaft machen, so dass die Fouriertransformierte ganz einfach gebildet werden kann:
→ F(ω) = 3 F_1(ω) - 0.7 F_2(ω).
Was passiert mit dem Spektrum eines Signals, wenn man es in zeitlicher Richtung verschiebt?
Bei einer Verschiebung im Zeitbereich bleibt der Betrag des Spektrums gleich, aber die Phase ändert sich um einen konstanten Phasenfaktor:
f(t - a) → e^(-iωa) * F(ω)
Wie sieht das Spektrum eines Signals aus, das um den Faktor 2 im Zeitbereich gestreckt wird?
Da das Frequenzband über die Frequenz-Zeit-Relation mit der Signaldauer antiproportional zusammenhängt wird die Breite des Spektrums halbiert, wenn man den Zeitbereicht mit dem Faktor 2 streckt.
Was passiert mit dem Spektrum eines Signals, wenn man es mit einem konstanten Phasenfaktor mit dem Phasenwinkel a multipliziert?
Das Spektrum verschiebt sich um den Betrag a.
e^(iat) * f(t) → F(ω - a)
Was ist das Gibbs-Phänomen?
Formal beschreibt das Gibbs-Phänomen, dass der maximale Abstand zwischen endlichen Fourierreihen und Zielsignal bei unstetigen Signalen nicht konvergiert.
