Kapittel 5 : Romgeometri

Question 1

5A : Likningen for et plan

Answer 1

Likningen for et plan med normalvektor n=[a,b,c] og der P=(x0, y0, z0) er i planet:

a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0

eller

ax + by + cz + d = 0 der d = -(ax0 + by0 + cz0)

Question 2

5A: Vinkel mellom plan

Answer 2

To plan er enten sammenfallende, parallelle er de skjærer hverandre langs en rett linje.

1. To plan er parallelle hvis normalvektorene er parallelle
2. To plan er sammenfallende hvis du finner et punkt som finnes i begge plan. Sett f.eks. x=0 og y=0 og se om du får samme z-verdi
3. Hvis planene ikke er parallelle kan vi finne vinkelen mellom planene. Vinkelen mellom to plan kan du finne ved å finne vinkelen mellom normalvektorene. Vinkelen skal ligger i intervallet [0 grader, 90 grader]

Question 3

5B: Linje og plan

Answer 3

En linje og et plan er enten parallelle, sammenfallende eller linja vil skjære planet i et punkt.

1. Linja og planet er parallelle hvis r-vekor * n-vektor = 0 (0t ikke lik 0)
2. Linja og planet er sammenfallende hvis du setter koordinatene til linja inn i likningen for planet og får at 0t=0, som er sant for alle t-verdier.
3. Hvis planet og linja skjærer hverandre finner du skjæringspunktet ved å sette koordinatene til linja inn i likningen for planet. Da finner du en t-verdi som du kan bruke til å finne koordinatene til linja.

Question 4

5B: Vinkel v mellom linje og plan

Answer 4

Finn vinkelen, u , mellom retningsvektoren til linja og normalvektoren til planet. Vinkelen skal ligge i intervallet
[0 grader, 90 grader]

0-90 grader –> v = 90 - u
90-180 grader –> v = u - 90

CAS:

n: = (plan)
r: =(linje)
u: =Vinkel (objekt) [n,r] / gader

Question 5

5B: Skjæringslinja mellom plan

Answer 5

Sett f.eks. x=0 i begge planene og løs likningsettet du får da slik at du finner y-koordinatene og z-koordinatene

vi finner retningsvektoren r ved å regne ut r = n1 x n2
Da kan vi sette opp en parameterframstilling for linja

GEOGEBRA:
Skjæring[objekt,objekt] i inntastningsfeltet

Question 6

5C: Å finne avstand fra et punkt P til en linje l

Answer 6

Eksempel : P=(4,5,1) og l: x=2+2t , y=t, z=1-2t

**Alternativ 1: Q er et punkt på linja og har da koordinater: Q=(2+2t, t, 1-2t)

Sett PQ-vektor * r-vektor = 0 Da får du en t-verdi som du kan bruke til å finne PQ-vektor og sa lengden av PQ-vektor.

**Alternativ 2: D(t) = PQ-vektor. Den minste lengden finner du ved å sette D’(t) = 0. Sett t-verdien inn i D(t)

**Alternativ 3: D= lengden av PQ-vektor x r-vektor / lengden av r-vektor

**Alternativ 4: CAS Definerer P, Q , PQ-vektor og D(t)=abs(PQ-vektor). Sett inn t-verdien i D(t).

Question 7

5C: Avstand mellom parallelle linjer

Answer 7

Velg et vilkårlig punkt P på den ene linja og et vilkårlig punkt Q på den andre linja. r-vektor er retningsvektoren.

Avstanden D er gitt ved D = lengden av PQ-vektor x r-vektor / lengden av r-vektor

CAS: Bruk kommandoen “Avstand”

Question 8

5C: Avstanden mellom vindskeive linjer

Answer 8

Eksempel: Finn avstanden mellom

l:= x=1+2s, y=s, z=1-2 og m:= x=4-t, y=1+4t, z=2t

Setter P=(1+2s, s, 1-s) og Q(4-t, 1+4t, 2t)

Den minste avstanden har vi når PQ-vektor står vinkelrett på begge retningsvektorene

Altså PQ-vektor * rl-vektor = 0 og
PQ-vektor* rm-vektor = 0

løs likningsettet

Question 9

5D: Avstand fra punkt til plan

Answer 9

Avstanden D fra et punkt P (x1, y1, z1) til et plan ax + by +. cz + d = 0 er gitt ved :

D= lengden av ax1 + by1 + cz1 + d / kvadratroten av a^2 + b^2 + c^2

Question 10

5D: Avstanden fra linje til plan

Answer 10

Linja og planet må være parallelle hvis de ikke skjærer hverandre.

Alle punkter på linja har lik avstand til planet

Bruk formelen D= lengden av ax1 + by1 + cz1 + d / kvadratroten av a^2 + b^2 + c^2

Question 11

5D: Avstanden mellom to plan

Answer 11

Linja og planet må være parallelle hvis de ikke skjærer hverandre.

Alle punkter i det ene planet ha rlik avstand til det andre planet

Finn et punkt i det ene planet og bruk formelen D= lengden av ax1 + by1 + cz1 + d / kvadratroten av a^2 + b^2 + c^2 i det andre planet.