Kapittel 4: Tredimensjonale vektorer Flashcards
4A: Addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av vektorer
[x1, y1, z1] + [x2, y2, z2] = [x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2]
[x1, y1, z1] - [x2, y2, z2] = [x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2]
k*[x1, y1, z1] = [kx1, ky1, kz1]
4A: Vektor i rommet
Gitt punktet P=(x1, y1, z1) og Q=(x2, y2, z2). Da er vektoren fra P til Q gitt ved PQ-vektor
[x2-x1, y2-y1, z2-z1]
4A: Lengden av en vektor
Vektoren a-vektor=[x, y, z] har lengden |a|=kvadratroten av (x^2 + y^2 + z^2)
Når k = R gjelder |k*a-vektor| = |k| *|a-vektor|
4A: Parallelle vektorer
To vektorer a-vektor og b-vektor er parallelle hvis det eksisterer et tall k slik at a-vektor = k* b-vektor
a-vektor || b-vektor a-vektor = k* b-vektor
4B: Definisjonen av skalarprodukt
Skalarproduktet av to vektorer a-vektor og b-vektor er:
a-vektor * b-vektor = |a-vektor| *|b-vektor| * cos v
der v = [0 grader, 180 grader] er vinkelen mellom a-vektor og b-vektor.
regneregler:
- a-vektor * b-vektor = b-vektor * a-vektor
- a-vektor (b-vektor* c-vektor) = a-vektor * b-vektor + a-vektor * c-vektor
- a-vektor (kb-vektor) = ka-vektor * b-vektor
4B: Koordinatformelen for skalarprodukt
[x1, y1, z1] * [x2, y2, z2] = x1 * x2, y1 * y2, z1 * z2
Det skal alltid bli ett tall
4B: Ortogonale vektorer
a-vektor * b-vektor = 0 a-vektor står vinkelrett på b-vektor
4C: geometriske representasjoner
a^2-vektor = |a^2-vektorer| |a-vektor| = kvadratroten av a^2-vektor
4D: Parameterframstilling for linjer i rommet
En parameterframstilling for en rett linje som går gjennom punktet (x0, y0, z0) har en retningsvektor [a, b, c]
x=x0 + at
y=y0 + bt
z=z0 + ct
4D: hva kan to rette linjer i rommet være?
To rette linjer i rommet kan være
- parallelle ved siden av hverandre
- parallelle og sammenfallende
- skjære hverandre i ett punkt
- vindskeive
4D: Vinkelen mellom to linjer
Vinkelen mellom to rette linjer i rommet definerer vi som den minste vinkelen vi må dreie èn av linjene om et punkt på linja, for at den skal bli parallell med den andre linja
vinkelen v mellom to linjer ligger i intervallet [0 grader til 90 grader]. Vinkelen u er vinkelen mellom retningsvektorene til linjene.
- Hvis u er mellom 0 og 90 grader er v= u
- Hvis u er mellom 91 og 180 grader er v= 180- u
4E: Definisjonen av vektorproduktet
Vektorproduktet av to vektorer a-vektor og b-vektor er definert slik:
- |a-vektor x b-vektor| = |a-vektor| * |b-vektor| * sin v
der v er vinkelen mellom a-vektor og b-vektor
-a-vektor x b-vektor = står vinkelrett på både a-vektor og b-vektor
-a-vektor, b-vektor og a-vektor x b-vektor, i denne rekkefølgen, danner et høyrehåndsystem
-a-vektor x b-vektor = - b-vektor x a-vektor
-a-vektor x a-vektor = 0-vektor
-(ka-vektor) x b-vektor = a-vektor x (kb-vektor) = k(a-vektor x b-vektor)
-a-vektor x (b-vektor + c-vektor) = a-vektor x b-vektor + a-vektor x c-vektor
4E: Koordinatformel for vektorprodukt
[x1, y1, z1] x [x2, y2, z2] =
[y1z2 - z1y2, z1x2 - x1z2, x1y2 - y1x2]
for a-vektor ikke lik 0-vektor og b-vektor ikke lik 0-vektor gjelder:
a-vektor || b-vektor a-vektor x b-vektor = 0-vektor
4F: Areal
Arealet av parallellogrammet utspent av vektorene a-vektor og b-vektor er G= | a-vektor x b-vektor |
Arealet av trekanten utspent av vektorene a-vektor og b-vektor er G= 1/2* | a-vektor x b-vektor |
4F: Volum
Når vi lar vektorene a-vektor, b-vektor og c-vektor starte i samme hjørne og følge hver sin sidekant, sier vi at de spenner ut et parallellpiped. Volumet av parallellpipedet er V= | (a-vektor x b-vektor) * c-vektor |
