Kapitel 2: Der Laplace'sche Wahrscheinlichkeitsraum und Elemente der Kombinatorik Flashcards
Definition 1
Sei ..
Jedes k-Tupel (a1, a2, a3, … ak) mit …
Def. 1b)
Jedes k-Tupel (a1, a2, a3, … ak) mit …
Statt Kombination mit bzw. ohne Wiederholugn sagt man auch …
“Ungeordnete Stichprobe mit bzw. ohne Zurücklegen”
Beschreibe Polyas Urnenmodell
Dient zur Beschreibung der Ausbreitung einer ansteckenden Krankheit:
Mit jedem Krankheitsfall erhöht sich die Wahrscheinlichkeit neuer Fälle; aus diesem Grund werden von der gezogenen Farbe noch welche hinzugefügt.
Beschreibe das sog. Friedmann’sche Modell
Es dient der Beschreibung von Sicherheitsverhähltnissen.
Nach einem Unfall werden verstärke Sicherheitsvorkehrungen getrnffen, daher sinkt die Wahrscheinlichkeit für einen Unfall
Im Gegensatz zum Begriff der Permutation aus Def. 1 kommt es beim Begriff der ..
Kombinatorik auf dieReihenfolge der Elemente nicht an.
Jede Aufteilung von k nicht unterscheidbaren Kugeln auf n Fächern (|A| = n) lässt sich beschreiben durch eine …
Kombination m.W.
Belegungsmodell
Verteilung von k Kugeln auf n Fächer
Urnenmodell
Ziehen von k Kugeln aus Urne mit n Kugeln
Formel &
Permutation oder Kombination?
Belegungsmodell
- unterscheidbare Objekte*
- keine Mehrfachbelegung*
Permutation (Variation)
ohne Wdh.
P<em>k</em>= K! (nk)
Formel &
Permutation oder Kombination?
Belegungsmodell
unterscheidbare Objekte
mit Mehrfachbelegung
Permutation (Variation)
P (k über w) = nk
Formel &
Permutation oder Kombination?
Belegungsmodell
Nicht unterscheidbare Objekte
keine Mehrfachbelegung
Kombination
ohne Wdh. Kk= (n über k)
- Formel &*
- Permutation oder Kombination?*
Belegungsmodell
Nicht unterscheidbare Objekte
Mit Mehrfachbelegung
Kombination
mit wdh. K k über W = ( n + k - 1 ÜBER k)
Beispiel:
WiegroßistdieAnzahlverschiedenerBuchstabenanordnungenfürdasWort „MISSISSIPPI“ ?
Permutation von 11 Buchstaben, bei denen sich zwei Buchstaben je 4×(S, I) und einer 2 × (P ) vorkommen.
Nach Folgerung 2 erhält man:
11!
/
4! 4! 2!
Man würfelt mit zwei Würfeln.
Wieviel verschiedene Würfe sind möglich, wenn es auf die Reihenfolge der Würfel nicht ankommt?
Urnenmodell:
Urne mit 6 Kugeln; es wird zweimal gezogen und jeweils
zurückgelegt;
Reihenfolge ohne Belang.
⇒ Ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen. n = 6, k = 2
7!
/
5! 2!
Beim Toto wird der Ausgang von 11 Fußballspielen in der Form
0 (Unentschieden)
1 (Heimsieg)
2 (Auswärtssieg)
vorhergesagt.
Urnenmodell
Ziehen von einer Kugel aus Gesamtheit von drei Kugeln;
Kugel wird zurückgelegt.
Ziehung wird elf mal durchgeführt.
Reihenfolge der Ziehung relevant.
Permutation m.W. n=3, k= 11
nk= 311
Wie viele Möglichkeiten gibt es beim Zahlenlotto 6 aus 49 ohne Zusatzzahl?
Es werden 6 Kugeln aus 49 Kugeln gezogen.
Die Reihenfolge spielt keine Rolle;
die gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt.
n = 49, k=6
Kk = K6 = (49 über 6) = ..
Den Aufzug eines 7 geschossigen Hauses betreten im Erdgeschoss drei Perso- nen. Jeder dieser Personen verlässt unabhängig von den anderen, beginnend in der 1. Etage den Aufzug mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf jeder Etage.
Wie groß ist Omega?
{1, 2, 3, … 6}
Den Aufzug eines 7 geschossigen Hauses betreten im Erdgeschoss drei Personen. Jeder dieser Personen verlässt unabhängig von den anderen, beginnend in der 1. Etage den Aufzug mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf jeder Etage.
Mächtigkeit von Omega und warum?
63
(Permutation m.W.)
Verteilung von 3 Personen auf 6 Fächer
Den Aufzug eines 7 geschossigen Hauses betreten im Erdgeschoss drei Personen. Jeder dieser Personen verlässt unabhängig von den anderen, beginnend in der 1. Etage den Aufzug mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf jeder Etage.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit steigen alle Personen in der zweiten Etage aus?
|A| = 1
Verteilung von drei Personen auf 1 fach -
alle Fächer gleichberechtigt.
Den Aufzug eines 7 geschossigen Hauses betreten im Erdgeschoss drei Personen. Jeder dieser Personen verlässt unabhängig von den anderen, beginnend in der 1. Etage den Aufzug mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf jeder Etage.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit steigen alle Personen gleichzeitig aus?
|A| = 6
P(A) =
_____6_____
63
= 1 / 36
Den Aufzug eines 7 geschossigen Hauses betreten im Erdgeschoss drei Personen. Jeder dieser Personen verlässt unabhängig von den anderen, beginnend in der 1. Etage den Aufzug mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf jeder Etage.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit steigen alle Personen auf verschiedenen Etagen aus?
|A| = 3! (6 über 3) =
120 Permutationen o.W.
P(A) = 120 / 63 =
5/9
In einer Stadt von n + 1 Einwohnern erzählt eine Person A einer zweiten Person einen Witz, die diesen einer dritten Person weitererzählt, usw.
In jedem Schritt wird diejenige Person, der der Witz weiter erzählt wird, zufällig unter den n Personen ausgewählt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach r Schritten keiner Person der Witz erzählt wurde, die ihn bereits kannte?
Urnenmodell mit n unterscheidbaren Kugeln, r-faches Ziehen.
“Günstig” A := Keine Kugel darf mehrfach gezogen werden
|A| = (n über r) r! = P(A) =
__(n über k) r!_\_
nr
Omega | = nr
