Kapitel 2: Der Laplace'sche Wahrscheinlichkeitsraum und Elemente der Kombinatorik

Question 1

Definition 1

Sei ..

Answer 1

Question 2

Jedes k-Tupel (a1, a2, a3, … ak) mit …

Answer 2

Question 3

Def. 1b)

Jedes k-Tupel (a1, a2, a3, … ak) mit …

Answer 3

Question 4

Statt Kombination mit bzw. ohne Wiederholugn sagt man auch …

Answer 4

“Ungeordnete Stichprobe mit bzw. ohne Zurücklegen”

Question 5

Beschreibe Polyas Urnenmodell

Answer 5

Dient zur Beschreibung der Ausbreitung einer ansteckenden Krankheit:

Mit jedem Krankheitsfall erhöht sich die Wahrscheinlichkeit neuer Fälle; aus diesem Grund werden von der gezogenen Farbe noch welche hinzugefügt.

Question 6

Beschreibe das sog. Friedmann’sche Modell

Answer 6

Es dient der Beschreibung von Sicherheitsverhähltnissen.

Nach einem Unfall werden verstärke Sicherheitsvorkehrungen getrnffen, daher sinkt die Wahrscheinlichkeit für einen Unfall

Question 7

Im Gegensatz zum Begriff der Permutation aus Def. 1 kommt es beim Begriff der ..

Answer 7

Kombinatorik auf dieReihenfolge der Elemente nicht an.

Question 8

Jede Aufteilung von k nicht unterscheidbaren Kugeln auf n Fächern (|A| = n) lässt sich beschreiben durch eine …

Answer 8

Kombination m.W.

Question 9

Belegungsmodell

Answer 9

Verteilung von k Kugeln auf n Fächer

Question 10

Urnenmodell

Answer 10

Ziehen von k Kugeln aus Urne mit n Kugeln

Question 11

Formel &

Permutation oder Kombination?

Belegungsmodell

• unterscheidbare Objekte*
• keine Mehrfachbelegung*

Answer 11

Permutation (Variation)

ohne Wdh.

P^<em>k</em>= K! (ⁿ_k)

Question 12

Formel &

Permutation oder Kombination?

Belegungsmodell

unterscheidbare Objekte

mit Mehrfachbelegung

Answer 12

Permutation (Variation)

P (k über w) = n^k

Question 13

Formel &

Permutation oder Kombination?

Belegungsmodell

Nicht unterscheidbare Objekte

keine Mehrfachbelegung

Answer 13

Kombination

ohne Wdh. K^k= (n über k)

Question 14

• Formel &*
• Permutation oder Kombination?*

Belegungsmodell

Nicht unterscheidbare Objekte

Mit Mehrfachbelegung

Answer 14

Kombination

mit wdh. K k über W = ( n + k - 1 ÜBER k)

Question 15

Beispiel:

WiegroßistdieAnzahlverschiedenerBuchstabenanordnungenfürdasWort „MISSISSIPPI“ ?

Answer 15

Permutation von 11 Buchstaben, bei denen sich zwei Buchstaben je 4×(S, I) und einer 2 × (P ) vorkommen.

Nach Folgerung 2 erhält man:

11!

/

4! 4! 2!

Question 16

Man würfelt mit zwei Würfeln.

Wieviel verschiedene Würfe sind möglich, wenn es auf die Reihenfolge der Würfel nicht ankommt?

Answer 16

Urnenmodell:

Urne mit 6 Kugeln; es wird zweimal gezogen und jeweils

zurückgelegt;

Reihenfolge ohne Belang.
⇒ Ungeordnete Stichprobe mit Zurücklegen. n = 6, k = 2

7!

/

5! 2!

Question 17

Beim Toto wird der Ausgang von 11 Fußballspielen in der Form

0 (Unentschieden)

1 (Heimsieg)

2 (Auswärtssieg)

vorhergesagt.

Answer 17

Urnenmodell

Ziehen von einer Kugel aus Gesamtheit von drei Kugeln;

Kugel wird zurückgelegt.

Ziehung wird elf mal durchgeführt.

Reihenfolge der Ziehung relevant.

Permutation m.W. n=3, k= 11

n^k= 3¹¹

Question 18

Wie viele Möglichkeiten gibt es beim Zahlenlotto 6 aus 49 ohne Zusatzzahl?

Answer 18

Es werden 6 Kugeln aus 49 Kugeln gezogen.

Die Reihenfolge spielt keine Rolle;

die gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt.

n = 49, k=6

K^k = K⁶ = (49 über 6) = ..

Question 19

Den Aufzug eines 7 geschossigen Hauses betreten im Erdgeschoss drei Perso- nen. Jeder dieser Personen verlässt unabhängig von den anderen, beginnend in der 1. Etage den Aufzug mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf jeder Etage.

Wie groß ist Omega?

Answer 19

{1, 2, 3, … 6}

Question 20

Den Aufzug eines 7 geschossigen Hauses betreten im Erdgeschoss drei Personen. Jeder dieser Personen verlässt unabhängig von den anderen, beginnend in der 1. Etage den Aufzug mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf jeder Etage.

Mächtigkeit von Omega und warum?

Answer 20

6³

(Permutation m.W.)

Verteilung von 3 Personen auf 6 Fächer

Question 21

Den Aufzug eines 7 geschossigen Hauses betreten im Erdgeschoss drei Personen. Jeder dieser Personen verlässt unabhängig von den anderen, beginnend in der 1. Etage den Aufzug mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf jeder Etage.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit steigen alle Personen in der zweiten Etage aus?

Answer 21

|A| = 1

Verteilung von drei Personen auf 1 fach -

alle Fächer gleichberechtigt.

Question 22

Den Aufzug eines 7 geschossigen Hauses betreten im Erdgeschoss drei Personen. Jeder dieser Personen verlässt unabhängig von den anderen, beginnend in der 1. Etage den Aufzug mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf jeder Etage.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit steigen alle Personen gleichzeitig aus?

Answer 22

|A| = 6

P(A) =

_____6_____

6³

= 1 / 36

Question 23

Den Aufzug eines 7 geschossigen Hauses betreten im Erdgeschoss drei Personen. Jeder dieser Personen verlässt unabhängig von den anderen, beginnend in der 1. Etage den Aufzug mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf jeder Etage.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit steigen alle Personen auf verschiedenen Etagen aus?

Answer 23

|A| = 3! (6 über 3) =

120 Permutationen o.W.

P(A) = 120 / 6³ =

5/9

Question 24

In einer Stadt von n + 1 Einwohnern erzählt eine Person A einer zweiten Person einen Witz, die diesen einer dritten Person weitererzählt, usw.

In jedem Schritt wird diejenige Person, der der Witz weiter erzählt wird, zufällig unter den n Personen ausgewählt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach r Schritten keiner Person der Witz erzählt wurde, die ihn bereits kannte?

Answer 24

Urnenmodell mit n unterscheidbaren Kugeln, r-faches Ziehen.

“Günstig” A := Keine Kugel darf mehrfach gezogen werden

|A| = (n über r) r! = P(A) =

__(n über k) r!_\_

n^r

Omega | = n^r