Brainscape's Knowledge GenomeTM

Browse over 1 million classes created by top students, professors, publishers, and experts.


See full index

Höhere Stochastik > Kapitel 1: Sigma-Algebren und Wahrscheinlichkeitsrechnung > Flashcards

Kapitel 1: Sigma-Algebren und Wahrscheinlichkeitsrechnung Flashcards

1
Q

Ω heißt ..

A

Ergebnismenge, Stichprobenraum

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

A heißen ..

A

Ereignisse

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q
A

Messraum

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

Ergebnismenge, Stichprobenraum = …

A

Ω

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

Ereignisse = …

A

A

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

Messraum

A
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q

Definition σ-Algebren Allgemein

A
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

Def. σ-Algebren a)

A
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q

Def. σ-Algebren b)

A
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

Def. σ-Algebren c)

A
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

Welche Ereignisse sind in σ-Algebren enthalten?

A

Alle

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

σ-Algebren enthalten alle Ereignisse, die durch die Verknüpfungen mit 1.<frage> 2.<frage> 3.<frage> entstehen</frage></frage></frage>

A

‘und’, ‘oder’, ‘nicht’

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

Warum ist der Schnitt ebenfalls in σ-Algebren enthalten?

A
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

Warum ist die Differenz ebenfalls in σ-Algebren enthalten?

A
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

Definiere “abzählbar” bzw. diskret

A
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
16
Q

Bsp. für überabzählbare Zahl

A

√2

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
17
Q

Praktisches Beispiel für Abzählbaren Versuch

A

Würfelwurf

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
18
Q

Praktisches Beispiel für Überabzählbaren Versuch

A

Dartwurf

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
19
Q
A

σ-Algebra, die sogenannte „feinste“ σ-Algebra.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
20
Q
A

σ-Algebra, die sogenannte „gröbste“ σ-Algebra.

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
21
Q

Die “feinste” σ-Algebra ist …

A
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
22
Q

Die “gröbste” σ-Algebra ist …

A
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
23
Q

Was ist eine Indikatorfunktion?

A

Eine Funktion die nur 0 oder 1 annehmen kann.

“Es ist drin, oder es ist nicht drin”

24
Q

Wie kommt man von einem Maß (μ) zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß (P)?

A

Durch Normierung. [0,1]

25
Q

Kommt man immer von einem Maß zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß?

A

Nur wenn die Funktion endlich ist. Sonst nicht.

26
Q

Welche Bedeutung hat eine 𝜎-Algebra?

A

𝜎-Algebren bilden den Ausgangspunkt für die Definition des Messraums und des Wahrscheinlichkeitsraums.

Das Ereignissystem 𝜎-Algebra umfasst die Mengen aller betrachteten Ereignisse

27
Q

Warum nutzen wir die Potenzmenge von Ω = ℝ nicht als Ereignissystem?

A
28
Q

Welche 𝜎-Algebren haben wir benutzt? (Stetig)

A

Borelsche 𝜎-Algebra

Kleine 𝜎-Algebra die alle halboffenen Intervalle als Teilmenge enthält. Sie ist genauso mächtig wie ℝ.

29
Q

Warum unterscheiden sich die stetigen und diskreten 𝜎-Algebren bzw. warum wird für stetig nicht die Potenzmenge verwendet?

A

Die Potenzmenge von ℝ wäre mächtiger als ℝ und damit ließe sich kein vernünftiges Wahrscheinlichkeitsmaß definieren.

30
Q

Wie kann man eine Borelsche 𝜎-Algebra erzeugen?

A

Die kleinste über alle halboffenen Intervalle erzeugte σ-Algebra erhält man indem man alle σ-Algebren die alle halboffenen Intervalle enthalten miteinander schneidet.

31
Q

Was ist ein Maß auf einer 𝜎-Algebra?

A
32
Q
A
33
Q
A
34
Q

Wie heißt Eigenschaft b) der Maßregeln auch?

A

𝜎-Additivität

(Sigma-Additivität)

35
Q

Was ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß?

A

Das W-Maß ist eine Abbildung, die für jedes Ereignis eines Zufallsexperimentes bzw. Zufallsgröße die zugehörige Wahrscheinlichkeit festlegt.

(z.B. Glückrad mit 3 Farben B,R,G oder Würfel..)

36
Q

Anforderung an ein Wahrscheinlichkeitsmaß P(Ω) a)

A

P(Ω) = 1

37
Q

Anforderung an ein Wahrscheinlichkeitsmaß P(Ω) b)

A

Vereinigung paarweise disjunkter Ereignisse führt zur leeren Menge.

Durch die Sigma-Additivität lassen sich die Ereignisse summieren und führt zu 1.

(Bsp. Würfelwurf - A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 = P(1)

38
Q

Wie kommt man vom Maß zum Wahrscheinlichkeitsmaß?

A

Der Übergang von einem Maß zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß geschieht durch eine Normierungsforderung: das sogenannte sichere Ereignis, nämlich der gesamte Stichprobenraum Ω soll das Maß 1 haben.

39
Q

WIe kommt man zum Laplace’schen Wahrscheinlichkeitsraum?

A

Alle Elementarereignisse sind gleichwahrscheinlich und es gibt nur endlich viele Elementarereignisse, dann ist

P(Ereignis) =

Günstige Elementarereignisse /

Alle Elementarereignisse

40
Q

Wann wird die diskrete Gleichverteile u.a. verwendet?

A
41
Q

Was ist eine Zähldichte?

A
42
Q

Warum ist die Zähldichte so wichtig?

A
43
Q

Warum verwendet man die Zähldichte bzw. warum ist sie “praktisch” (i.S. der Verwendbarkeit)?

A
44
Q

Haben wir die Zähldichte, dann haben wir auch das …

A

Wahrscheinlichkeitsmaß

45
Q

Was ist der Zusammenhang zwischen einem Wahrscheinlichkeitsmaß und einer Zähldichte?

A

Eine Zähldichte weist einelementige Teilmengen des diskreten Messraums eine Wahrscheinlichkeit zu.

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß beliebigen Teilmengen.

46
Q

Was ist das Kontinuerliche Gegenstück zur diskreten Zähldichte?

A

Die Dichtefunktion.

47
Q

Was kann man mit der Dichtefunktion machen?

A

Die Dichtefunktion wird im kontinuierlichen Bereich verwendet.

Sie findet dort Verwendung, da mit Intervallen gerechnet wird und die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses immer 0 ist.

48
Q

Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten zu Ereignissen

(überabzählbar)

A
49
Q

Welche 𝜎-Algebren haben wir benutzt? (Diskret)

A

Potenzmenge von Omega

50
Q

Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung bei Fragestellung:

Erfolge bei n fixen Versuchen?

A

Binomialverteiltung

51
Q

Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung bei Fragestellung:

Ankünfte in einer fixen Zeitspanne

A

Poissonverteilung

52
Q

Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung bei Fragestellung:

Ergebnisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit (endlich)

A

Diskrete Gleichverteilung (Laplace)

53
Q

Was bedeutet die Definition 1 (a) für Sigma-Algebren?

A

Die Ergebnismenge (bzw. Stichrprobenraum) muss in der Sigma-Algebra enthalten sein.

(Macht Sinn, da z.B. beim Münzwurf die (1.) Leere Menge, (2.) zahl, (3.) Kopf und (4.) Zahl und Kopf diese in der Sigma Algebra enthalten sein müssen - Alle Teilmengen enthalten!)

54
Q

Was bedeutet die Definition 1 (b) für Sigma-Algebren?

A

Dass das Komplementär in der Sigma-Algebra enthalten sein muss.

(z.B. beim Münzwurf muss für Kopf auch Zahl und für das Komplementärereignis Zahl & Kopf existiert die Leere Menge)

55
Q

Was bedeutet die Definition 1 (c) für Sigma-Algebren?

A

Die Vereinigung aller Ereignisse A1, A2, A3 … muss in der Sigma Algebra enthalten sein.

(z.B. Vereinigung der leeren Menge mit der Null mit der 1 mit der 0,1 ergibt = 0,1)

56
Q

Wenn Omega (Ergebnisraum/Stichprobenraum) abzählbar/unendlich (Mächtigkeit von N) ist, dann…

A

wählen wir immer die Potenzmenge von Omega als Sigma-Algebra

Höhere Stochastik (8 decks)

Brainscape helps you reach your goals faster, through stronger study habits.
© 2024 Bold Learning Solutions. Terms and Conditions