Kapitel 1: Sigma-Algebren und Wahrscheinlichkeitsrechnung Flashcards
Ω heißt ..
Ergebnismenge, Stichprobenraum
A heißen ..
Ereignisse
Messraum
Ergebnismenge, Stichprobenraum = …
Ω
Ereignisse = …
A
Messraum
Definition σ-Algebren Allgemein
Def. σ-Algebren a)
Def. σ-Algebren b)
Def. σ-Algebren c)
Welche Ereignisse sind in σ-Algebren enthalten?
Alle
σ-Algebren enthalten alle Ereignisse, die durch die Verknüpfungen mit 1.<frage> 2.<frage> 3.<frage> entstehen</frage></frage></frage>
‘und’, ‘oder’, ‘nicht’
Warum ist der Schnitt ebenfalls in σ-Algebren enthalten?
Warum ist die Differenz ebenfalls in σ-Algebren enthalten?
Definiere “abzählbar” bzw. diskret
Bsp. für überabzählbare Zahl
√2
Praktisches Beispiel für Abzählbaren Versuch
Würfelwurf
Praktisches Beispiel für Überabzählbaren Versuch
Dartwurf
σ-Algebra, die sogenannte „feinste“ σ-Algebra.
σ-Algebra, die sogenannte „gröbste“ σ-Algebra.
Die “feinste” σ-Algebra ist …
Die “gröbste” σ-Algebra ist …
Was ist eine Indikatorfunktion?
Eine Funktion die nur 0 oder 1 annehmen kann.
“Es ist drin, oder es ist nicht drin”
Wie kommt man von einem Maß (μ) zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß (P)?
Durch Normierung. [0,1]
Kommt man immer von einem Maß zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß?
Nur wenn die Funktion endlich ist. Sonst nicht.
Welche Bedeutung hat eine 𝜎-Algebra?
𝜎-Algebren bilden den Ausgangspunkt für die Definition des Messraums und des Wahrscheinlichkeitsraums.
Das Ereignissystem 𝜎-Algebra umfasst die Mengen aller betrachteten Ereignisse
Warum nutzen wir die Potenzmenge von Ω = ℝ nicht als Ereignissystem?
Welche 𝜎-Algebren haben wir benutzt? (Stetig)
Borelsche 𝜎-Algebra
Kleine 𝜎-Algebra die alle halboffenen Intervalle als Teilmenge enthält. Sie ist genauso mächtig wie ℝ.
Warum unterscheiden sich die stetigen und diskreten 𝜎-Algebren bzw. warum wird für stetig nicht die Potenzmenge verwendet?
Die Potenzmenge von ℝ wäre mächtiger als ℝ und damit ließe sich kein vernünftiges Wahrscheinlichkeitsmaß definieren.
Wie kann man eine Borelsche 𝜎-Algebra erzeugen?
Die kleinste über alle halboffenen Intervalle erzeugte σ-Algebra erhält man indem man alle σ-Algebren die alle halboffenen Intervalle enthalten miteinander schneidet.
Was ist ein Maß auf einer 𝜎-Algebra?
Wie heißt Eigenschaft b) der Maßregeln auch?
𝜎-Additivität
(Sigma-Additivität)
Was ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß?
Das W-Maß ist eine Abbildung, die für jedes Ereignis eines Zufallsexperimentes bzw. Zufallsgröße die zugehörige Wahrscheinlichkeit festlegt.
(z.B. Glückrad mit 3 Farben B,R,G oder Würfel..)
Anforderung an ein Wahrscheinlichkeitsmaß P(Ω) a)
P(Ω) = 1
Anforderung an ein Wahrscheinlichkeitsmaß P(Ω) b)
Vereinigung paarweise disjunkter Ereignisse führt zur leeren Menge.
Durch die Sigma-Additivität lassen sich die Ereignisse summieren und führt zu 1.
(Bsp. Würfelwurf - A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 = P(1)
Wie kommt man vom Maß zum Wahrscheinlichkeitsmaß?
Der Übergang von einem Maß zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß geschieht durch eine Normierungsforderung: das sogenannte sichere Ereignis, nämlich der gesamte Stichprobenraum Ω soll das Maß 1 haben.
WIe kommt man zum Laplace’schen Wahrscheinlichkeitsraum?
Alle Elementarereignisse sind gleichwahrscheinlich und es gibt nur endlich viele Elementarereignisse, dann ist
P(Ereignis) =
Günstige Elementarereignisse /
Alle Elementarereignisse
Wann wird die diskrete Gleichverteile u.a. verwendet?
Was ist eine Zähldichte?
Warum ist die Zähldichte so wichtig?
Warum verwendet man die Zähldichte bzw. warum ist sie “praktisch” (i.S. der Verwendbarkeit)?
Haben wir die Zähldichte, dann haben wir auch das …
Wahrscheinlichkeitsmaß
Was ist der Zusammenhang zwischen einem Wahrscheinlichkeitsmaß und einer Zähldichte?
Eine Zähldichte weist einelementige Teilmengen des diskreten Messraums eine Wahrscheinlichkeit zu.
Ein Wahrscheinlichkeitsmaß beliebigen Teilmengen.
Was ist das Kontinuerliche Gegenstück zur diskreten Zähldichte?
Die Dichtefunktion.
Was kann man mit der Dichtefunktion machen?
Die Dichtefunktion wird im kontinuierlichen Bereich verwendet.
Sie findet dort Verwendung, da mit Intervallen gerechnet wird und die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ereignisses immer 0 ist.
Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten zu Ereignissen
(überabzählbar)
Welche 𝜎-Algebren haben wir benutzt? (Diskret)
Potenzmenge von Omega
Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung bei Fragestellung:
Erfolge bei n fixen Versuchen?
Binomialverteiltung
Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung bei Fragestellung:
Ankünfte in einer fixen Zeitspanne
Poissonverteilung
Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung bei Fragestellung:
Ergebnisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit (endlich)
Diskrete Gleichverteilung (Laplace)
Was bedeutet die Definition 1 (a) für Sigma-Algebren?
Die Ergebnismenge (bzw. Stichrprobenraum) muss in der Sigma-Algebra enthalten sein.
(Macht Sinn, da z.B. beim Münzwurf die (1.) Leere Menge, (2.) zahl, (3.) Kopf und (4.) Zahl und Kopf diese in der Sigma Algebra enthalten sein müssen - Alle Teilmengen enthalten!)
Was bedeutet die Definition 1 (b) für Sigma-Algebren?
Dass das Komplementär in der Sigma-Algebra enthalten sein muss.
(z.B. beim Münzwurf muss für Kopf auch Zahl und für das Komplementärereignis Zahl & Kopf existiert die Leere Menge)
Was bedeutet die Definition 1 (c) für Sigma-Algebren?
Die Vereinigung aller Ereignisse A1, A2, A3 … muss in der Sigma Algebra enthalten sein.
(z.B. Vereinigung der leeren Menge mit der Null mit der 1 mit der 0,1 ergibt = 0,1)
Wenn Omega (Ergebnisraum/Stichprobenraum) abzählbar/unendlich (Mächtigkeit von N) ist, dann…
wählen wir immer die Potenzmenge von Omega als Sigma-Algebra
