Introdução à Mecânica Quântica Relativista

Question 1

O princípio da correspondência “corresponde” ao quê?

Answer 1

Substituir a energia e o momento linear, por exemplo, pelos seus operadores.

Question 2

A solução da equação de Schrodinger é…

Answer 2

Uma onda plana.

Question 3

Quais são os valores próprios do Hamiltoniano na equação de Schrodinger? Como estão definidos?

Answer 3

São as energias. E=p^2/2m>0

Question 4

Na equação de Schrodinger, enuncia as densidades de corrente e de probabilidade.

Answer 4

rho=|psi|^2 - definida positiva!

J=[(i/2m)(psi∇psi-psi∇psi)]

Question 5

O que é o fluxo da corrente?

Answer 5

É o número de partículas que atravessa a unidade de área perpendicular à velocidade na unidade de tempo.

Question 6

A equação de Klein-Gordon foi “criada” por razão?

Answer 6

Como primeira tentativa da unificação da relatividade geral com a mecânica quântica.

Question 7

Que relação deve a equação de Klein-Gordon reproduzir?

Answer 7

(p^μ)(p_μ)=m^2

Question 8

A que é igual (p^μ)(p_μ)?

Answer 8

(p^μ)(p_μ)=i(∂^μ)i(∂_μ)=-(∂^μ)(∂_μ)=-∂^2/∂t^2+∇^2

Question 9

Demonstra como a relação quadri-vetor momento linear e massa leva, pelo princípio de correspondência, à equação de Klein-Gordon.

Answer 9

(∂^2/∂t^2-∇^2+m^2)psi(x,t)=0

Question 10

A solução da equação de Klein-Gordon é…

Answer 10

Uma onda plana.

Question 11

Demonstra como a onda plana na equação de Klein-Gordon leva à relação correta entre a energia, o momento linear e a massa.

Answer 11

Deves chegar a (E^2-p^2-m^2)psi(x,t)=0

Question 12

Enuncia a invariância da equação de Klein-Gordon.

Answer 12

Como o produto interno dos quadri-vetores e a massa são invariantes de Lorentz, então a equação de Klein-Gordon é um invariante.

Question 13

Quais são as soluções de energia da equação de Klein-Gordon? Qual é o problema?

Answer 13

E=+-sqrt(p^2+m^2) - existe uma solução de energia positiva e energia negativa, mas a partícula livre pode ter uma energia negativa?

Question 14

Verdadeiro ou Falso: A densidade de probabilidade é definida positiva na equação de Klein-Gordon.

Answer 14

Falso - como varia com E, não está definida positiva.

Question 15

O que é que aconteceria se na equação de Klein-Gordon se partisse da relação E=sqrt(p^2+m^2)?

Answer 15

Não havia o problema da energia ser negativa, mas a equação diferencial ficaria muito complexa, pelo que a via foi abandonada.

Question 16

Enuncia 2 virtudes da equação KG.

Answer 16

É covariante, e reproduz a relação relativista entre energia e momento de uma partícula livre.

Question 17

Enuncia 2 problemas da equação KG.

Answer 17

Uma partícula livre tem energia negativa, o que leva a uma densidade de probabilidade negativa.

Question 18

Qual é a dinâmica descrita pela equação KG?

Answer 18

De spin 0. Descreve, por exemplo, a partícula elementar de spin 0 que é o bosão de Higgs, e partículas compostas com spin 0.

Question 19

Qual é o objetivo da equação de Dirac?

Answer 19

Equação quântica relativista, covariante comcorreta relação entre energia e momento e densidade de probabilidade definida positiva.

Question 20

Verdadeiro ou Falso: A equação de Dirac envolve elementos matriciais. Explica.

Answer 20

Verdadeiro - como a energia e momento são potências de segundo grau, então para ter primeiras derivadas é preciso um sistema de equações diferenciais de primeira ordem.

Question 21

O que é o Hamiltoniano de Dirac? Qual é a sua expressão matemática?

Answer 21

É uma matriz hermítica mas não diagonal, composta por matrizes hermíticas, algumas não diagonais. H_d=(alpha.p+beta.m)

Question 22

Qual é uma condição da equação de Dirac relacionada com a equação de KG?

Answer 22

Cada componente de psi deve obedecer à equação de Klein-Gordon.

Question 23

Enuncia a condição necessária de H_D para que a correta relação energia-momento seja satisfeita.

Answer 23

H_D^2=-∇^2+m^2

Question 24

Quais são as condições de H_D^2=-∇^2+m^2 (3 pontos)?

Answer 24

• beta^2 e alpha^2 são a matriz identidade
• os anti-comutadores {beta,alpha_j} e {alpha_i,alpha_j}=0 (o último para i=/=j)
• tr(beta)=tr(alpha)=0 - implica que N seja par!

Question 25

Porque é que N=/=2?

Answer 25

O traço da matriz identidade é diferente de zero e o anti-comutador {I,sigma_j} é diferente de zero.

Question 26

Qual é o valor de N?

Answer 26

4.

Question 27

Beta e alpha_j são matrizes…

Answer 27

Quadradas, de dimensão 4 com 4 blocos quadrados de dimensão 2.

Question 28

Enuncia uma propriedade das matrizes quadradas.

Answer 28

Determinante do produto de matrizes de igual dimensão é o produto dos determinantes.

Question 29

Enuncia uma propriedade das matrizes quadradas por blocos.

Answer 29

Se D invertível e C e D comutarem, então det(M)=det(AD-BC).

Question 30

Enuncia três propriedades do quadri-vetor gamma^mu=(Beta,Beta.alpha)

Answer 30

É hermítica para mu=0 e anti-hermítica para mu=/=0. o anti-comutador é igual a 2Ig^mu,sigma. Adicionalmente, gamma^0.gamma^mu-hermítico.gamma^0=gamma^mu

Question 31

Qual é a forma mais compacta da equação de Dirac?

Answer 31

(p-traço-m)psi=0 com p-traço=gamma^mu.p_mu

Question 32

Como está definida a densidade de probabilidade na equação de Dirac?

Answer 32

Está definida positiva.

Question 33

O que são as matrizes gamma?

Answer 33

Matrizes de dimensão 4 - sistema de 4 equações - 4 soluções independentes de 4 componentes.

Question 34

Quantos vetores próprios tem o Hamiltoniano de Dirac?

Answer 34

4.

Question 35

A solução da equação de Dirac é…

Answer 35

Uma onda plana vezes um spinor (matriz).

Question 36

Quais são os valores próprios do Hamiltoniano de Dirac?

Answer 36

As energias.

Question 37

Enuncia a equação que determina o spinor u.

Answer 37

(alpha.p+beta.m)u(p)=Eu(p)

Question 38

O que acontece no referencial p=0 (equação de Dirac)?

Answer 38

Os valores próprios são E=m e E=-m porque a matriz é diagonal e portanto está na base dos vetores próprios, os valores próprios são duplamente degenerados e correspondem novamente a energias negativas.

Question 39

O que acontece no referencial p arbitrário (equação de Dirac)?

Answer 39

Temos dois valores próprios duplamente degenerados e uma partícula livre com energia negativa.

Question 40

Na equação de Dirac, um operador que transforme psi atua onde? Porquê?

Answer 40

No spinor u(p). Porque a parte do exponencial é igual dado que o produto interno é um invariante de Lorentz.

Question 41

Que equação permite determinar o operador S na equação de Dirac?

Answer 41

A covariância impõe que S^-1.gamma^mu.S=Lambda^mu_sigma.gamma^sigma

Question 42

Enuncia os spinors u_0 correspondentes a cada valor próprio.

Answer 42

u_0^1===> valor próprio E=m, primeira entrada 1 e resto 0
u_0^2===> valor próprio E=m, segunda entrada 1 e resto 0
u_0^3===> valor próprio E=-m, terceira entrada 1 e resto 0
u_0^4===> valor próprio E=-m, quarta entrada 1 e resto 0

Question 43

Quais são as duas soluções do spinor u para E>0? Enuncia explicitando adicionalmente o produto interno.

Answer 43

(Confirmar nos slides)

Question 44

Quais são as duas soluções do spinor u para E<0? Enuncia explicitando adicionalmente o produto interno.

Answer 44

(Confirmar nos slides)

Question 45

Verdadeiro ou Falso: Não devemos recuperar as soluções no referencial próprio no limite do momento linear nulo.

Answer 45

Falso - devemos.

Question 46

O Hamiltoniano de Dirac constitui um CCOC?

Answer 46

Não, os seus valores próprios são duplamente degenerados, pelo que ele não identifica unicamente um vetor próprio.

Question 47

Devem existir observáveis que… (2 pontos)

Answer 47

• Comutem com HD, portanto também com p

- Os seus valores próprios diferenciem os vetores próprios com a mesma E

Question 48

Que matrizes representam os operadores de spin para s= 1/2?

Answer 48

As matrizes de Pauli e 2S.

Question 49

Porque é que definimos uma matriz Sigma/2?

Answer 49

Porque a equação de Dirac é de dimensão 4 - é uma matriz de blocos com as matrizes de Pauli, ficando uma matriz de dimensão 4.

Question 50

O que é a helicidade?

Answer 50

Componente do operador spin segundo p: H=0.5Sigma.p^

Question 51

Que operadores comutam com H_D?

Answer 51

A helicidade, Sigma^2, J (momento angular total) - J=L+Sigma/2 é uma constante do movimento.

Question 52

Que operadores não comutam com H_D?

Answer 52

O momento angular orbital L, o spin Sigma/2 - não são constantes do movimento.

Question 53

Enuncia os CCOC que se podem construir com o Hamiltoniano de Dirac.

Answer 53

{H_D,Sigma^2,Helicidade} e {H_D,J^2,J_z}

Question 54

Quais são as constantes do movimento e bons números quânticos?

Answer 54

J^2,J_z,Sigma^2 e Helicidade - os seus valores próprios são bons números quânticos.

Question 55

Quando é que se verifica Sigma_z/2=Helicidade?

Answer 55

Quando escolhemos o eixo dos zz na direção e sentido do momento linear.

Question 56

Verdadeiro ou Falso: todas as componentes do spin comutam com H_D.

Answer 56

Falso - apenas a componente segundo p comuta com H_D.

Question 57

A equação de Dirac descreve que partículas?

Answer 57

De spin 1/2.

Question 58

Qual é a consequência da degenerescência na energia?

Answer 58

A existência de um grau de liberdade correspondente aos valores próprios do operador spin 1/2 na direção do momento linear.

Question 59

Que equação viola a invariância de Lorentz?

Answer 59

A resultante do princípio de correspondência partindo de E=p^2/2m (equação de Schrodinger - baseia-se na mecânica newtoniana). Não é válida para uma partícula que se mova de modo relativista.

Question 60

Porque é que E<0 é um desastre?

Answer 60

Partículas podem transitar para níveis cada vez mais pequenos e, consequentemente, mais negativos.