Introdução à Mecânica Quântica Relativista Flashcards
O princípio da correspondência “corresponde” ao quê?
Substituir a energia e o momento linear, por exemplo, pelos seus operadores.
A solução da equação de Schrodinger é…
Uma onda plana.
Quais são os valores próprios do Hamiltoniano na equação de Schrodinger? Como estão definidos?
São as energias. E=p^2/2m>0
Na equação de Schrodinger, enuncia as densidades de corrente e de probabilidade.
rho=|psi|^2 - definida positiva!
J=[(i/2m)(psi∇psi-psi∇psi)]
O que é o fluxo da corrente?
É o número de partículas que atravessa a unidade de área perpendicular à velocidade na unidade de tempo.
A equação de Klein-Gordon foi “criada” por razão?
Como primeira tentativa da unificação da relatividade geral com a mecânica quântica.
Que relação deve a equação de Klein-Gordon reproduzir?
(p^μ)(p_μ)=m^2
A que é igual (p^μ)(p_μ)?
(p^μ)(p_μ)=i(∂^μ)i(∂_μ)=-(∂^μ)(∂_μ)=-∂^2/∂t^2+∇^2
Demonstra como a relação quadri-vetor momento linear e massa leva, pelo princípio de correspondência, à equação de Klein-Gordon.
(∂^2/∂t^2-∇^2+m^2)psi(x,t)=0
A solução da equação de Klein-Gordon é…
Uma onda plana.
Demonstra como a onda plana na equação de Klein-Gordon leva à relação correta entre a energia, o momento linear e a massa.
Deves chegar a (E^2-p^2-m^2)psi(x,t)=0
Enuncia a invariância da equação de Klein-Gordon.
Como o produto interno dos quadri-vetores e a massa são invariantes de Lorentz, então a equação de Klein-Gordon é um invariante.
Quais são as soluções de energia da equação de Klein-Gordon? Qual é o problema?
E=+-sqrt(p^2+m^2) - existe uma solução de energia positiva e energia negativa, mas a partícula livre pode ter uma energia negativa?
Verdadeiro ou Falso: A densidade de probabilidade é definida positiva na equação de Klein-Gordon.
Falso - como varia com E, não está definida positiva.
O que é que aconteceria se na equação de Klein-Gordon se partisse da relação E=sqrt(p^2+m^2)?
Não havia o problema da energia ser negativa, mas a equação diferencial ficaria muito complexa, pelo que a via foi abandonada.
Enuncia 2 virtudes da equação KG.
É covariante, e reproduz a relação relativista entre energia e momento de uma partícula livre.
Enuncia 2 problemas da equação KG.
Uma partícula livre tem energia negativa, o que leva a uma densidade de probabilidade negativa.
Qual é a dinâmica descrita pela equação KG?
De spin 0. Descreve, por exemplo, a partícula elementar de spin 0 que é o bosão de Higgs, e partículas compostas com spin 0.
Qual é o objetivo da equação de Dirac?
Equação quântica relativista, covariante comcorreta relação entre energia e momento e densidade de probabilidade definida positiva.
Verdadeiro ou Falso: A equação de Dirac envolve elementos matriciais. Explica.
Verdadeiro - como a energia e momento são potências de segundo grau, então para ter primeiras derivadas é preciso um sistema de equações diferenciais de primeira ordem.
O que é o Hamiltoniano de Dirac? Qual é a sua expressão matemática?
É uma matriz hermítica mas não diagonal, composta por matrizes hermíticas, algumas não diagonais. H_d=(alpha.p+beta.m)
Qual é uma condição da equação de Dirac relacionada com a equação de KG?
Cada componente de psi deve obedecer à equação de Klein-Gordon.
Enuncia a condição necessária de H_D para que a correta relação energia-momento seja satisfeita.
H_D^2=-∇^2+m^2
Quais são as condições de H_D^2=-∇^2+m^2 (3 pontos)?
- beta^2 e alpha^2 são a matriz identidade
- os anti-comutadores {beta,alpha_j} e {alpha_i,alpha_j}=0 (o último para i=/=j)
- tr(beta)=tr(alpha)=0 - implica que N seja par!
Porque é que N=/=2?
O traço da matriz identidade é diferente de zero e o anti-comutador {I,sigma_j} é diferente de zero.
Qual é o valor de N?
4.
Beta e alpha_j são matrizes…
Quadradas, de dimensão 4 com 4 blocos quadrados de dimensão 2.
Enuncia uma propriedade das matrizes quadradas.
Determinante do produto de matrizes de igual dimensão é o produto dos determinantes.
Enuncia uma propriedade das matrizes quadradas por blocos.
Se D invertível e C e D comutarem, então det(M)=det(AD-BC).
Enuncia três propriedades do quadri-vetor gamma^mu=(Beta,Beta.alpha)
É hermítica para mu=0 e anti-hermítica para mu=/=0. o anti-comutador é igual a 2Ig^mu,sigma. Adicionalmente, gamma^0.gamma^mu-hermítico.gamma^0=gamma^mu
Qual é a forma mais compacta da equação de Dirac?
(p-traço-m)psi=0 com p-traço=gamma^mu.p_mu
Como está definida a densidade de probabilidade na equação de Dirac?
Está definida positiva.
O que são as matrizes gamma?
Matrizes de dimensão 4 - sistema de 4 equações - 4 soluções independentes de 4 componentes.
Quantos vetores próprios tem o Hamiltoniano de Dirac?
4.
A solução da equação de Dirac é…
Uma onda plana vezes um spinor (matriz).
Quais são os valores próprios do Hamiltoniano de Dirac?
As energias.
Enuncia a equação que determina o spinor u.
(alpha.p+beta.m)u(p)=Eu(p)
O que acontece no referencial p=0 (equação de Dirac)?
Os valores próprios são E=m e E=-m porque a matriz é diagonal e portanto está na base dos vetores próprios, os valores próprios são duplamente degenerados e correspondem novamente a energias negativas.
O que acontece no referencial p arbitrário (equação de Dirac)?
Temos dois valores próprios duplamente degenerados e uma partícula livre com energia negativa.
Na equação de Dirac, um operador que transforme psi atua onde? Porquê?
No spinor u(p). Porque a parte do exponencial é igual dado que o produto interno é um invariante de Lorentz.
Que equação permite determinar o operador S na equação de Dirac?
A covariância impõe que S^-1.gamma^mu.S=Lambda^mu_sigma.gamma^sigma
Enuncia os spinors u_0 correspondentes a cada valor próprio.
u_0^1===> valor próprio E=m, primeira entrada 1 e resto 0
u_0^2===> valor próprio E=m, segunda entrada 1 e resto 0
u_0^3===> valor próprio E=-m, terceira entrada 1 e resto 0
u_0^4===> valor próprio E=-m, quarta entrada 1 e resto 0
Quais são as duas soluções do spinor u para E>0? Enuncia explicitando adicionalmente o produto interno.
(Confirmar nos slides)
Quais são as duas soluções do spinor u para E<0? Enuncia explicitando adicionalmente o produto interno.
(Confirmar nos slides)
Verdadeiro ou Falso: Não devemos recuperar as soluções no referencial próprio no limite do momento linear nulo.
Falso - devemos.
O Hamiltoniano de Dirac constitui um CCOC?
Não, os seus valores próprios são duplamente degenerados, pelo que ele não identifica unicamente um vetor próprio.
Devem existir observáveis que… (2 pontos)
- Comutem com HD, portanto também com p
- Os seus valores próprios diferenciem os vetores próprios com a mesma E
Que matrizes representam os operadores de spin para s= 1/2?
As matrizes de Pauli e 2S.
Porque é que definimos uma matriz Sigma/2?
Porque a equação de Dirac é de dimensão 4 - é uma matriz de blocos com as matrizes de Pauli, ficando uma matriz de dimensão 4.
O que é a helicidade?
Componente do operador spin segundo p: H=0.5Sigma.p^
Que operadores comutam com H_D?
A helicidade, Sigma^2, J (momento angular total) - J=L+Sigma/2 é uma constante do movimento.
Que operadores não comutam com H_D?
O momento angular orbital L, o spin Sigma/2 - não são constantes do movimento.
Enuncia os CCOC que se podem construir com o Hamiltoniano de Dirac.
{H_D,Sigma^2,Helicidade} e {H_D,J^2,J_z}
Quais são as constantes do movimento e bons números quânticos?
J^2,J_z,Sigma^2 e Helicidade - os seus valores próprios são bons números quânticos.
Quando é que se verifica Sigma_z/2=Helicidade?
Quando escolhemos o eixo dos zz na direção e sentido do momento linear.
Verdadeiro ou Falso: todas as componentes do spin comutam com H_D.
Falso - apenas a componente segundo p comuta com H_D.
A equação de Dirac descreve que partículas?
De spin 1/2.
Qual é a consequência da degenerescência na energia?
A existência de um grau de liberdade correspondente aos valores próprios do operador spin 1/2 na direção do momento linear.
Que equação viola a invariância de Lorentz?
A resultante do princípio de correspondência partindo de E=p^2/2m (equação de Schrodinger - baseia-se na mecânica newtoniana). Não é válida para uma partícula que se mova de modo relativista.
Porque é que E<0 é um desastre?
Partículas podem transitar para níveis cada vez mais pequenos e, consequentemente, mais negativos.
