Espaço de Minkowski e Notação Covariante

Question 1

Em mecânica clássica, o tempo é que tipo de parâmetro?

Answer 1

Um parâmetro absoluto.

Question 2

Que rotações podem relacionar S com S’?

Answer 2

3 rotações espaciais - nos planos xy, xz, yz.

Question 3

Que translações podem relacionar S com S’?

Answer 3

Ao longo dos 3 eixos x,y,z.

Question 4

O que são referenciais inerciais?

Answer 4

Referenciais inerciais são identificados pela propriedade de que compartilham as mesmas e mais simples Leis da Física. Em termos práticos, esta equivalência de referenciais inerciais significa que não existe nenhum experimento que cientistas dentro de uma caixa movendo-se uniformemente possam fazer para descobrir sua velocidade absoluta.

Question 5

O que são boosts clássicos?

Answer 5

Translações de velocidade relativa constante.

Question 6

Quando é que a norma é invariante debaixo das relações?

Answer 6

Quando a origem dos referenciais coincidem em t=0 - os vetores posição são iguais.

Question 7

Quando é que a norma não é invariante debaixo das relações?

Answer 7

Sob a influência de um boost clássico - transformações de Galileu. O vetor posição não tem norma igual em referenciais diferentes, porque a sua origem está fixa à origem do referencial.

Question 8

Quando é que a norma é invariante e qual é a consequência?

Answer 8

Quando os vetores posição relativa coincidem, as distâncias são invariantes.

Question 9

O que acontece ao produto interno se a norma é invariante?

Answer 9

O produto interno de vetores é invariante, e um escalar.

Question 10

Em RR, o tempo é o quê?

Answer 10

Uma coordenada.

Question 11

Que rotações podem relacionar S com S’ em RR?

Answer 11

6 rotações, as três espaciais mais 3 nos seguintes planos: tx, ty, tz.

Question 12

Enuncia as transformadas de Lorentz.

Answer 12

(Confirmar na net/slides)

Question 13

Verdadeiro ou Falso: A norma do 3-vetor é invariante segundo um boost relativista.

Answer 13

Falso.

Question 14

O que é um boost em RR?

Answer 14

É uma rotação no plano tx, ty e tz.

Question 15

O que não é invariante sob a influência de boosts relativistas?

Answer 15

Os vetores posição relativa não coincidem, têm normas diferentes em referenciais diferentes. Distâncias não são invariantes e intervalos de tempo também não.

Question 16

O que é invariante em RR?

Answer 16

x^2+y^2+z^2-c^2t^2 - o produto interno do quadrivetor R! = R.R

Question 17

O que é a matriz da métrica no espaço 3d?

Answer 17

É a matriz identidade, e descreve a geometria do espaço.

Question 18

O que é a matriz da métrica no espaço 4d?

Answer 18

Descreve a geometria do espaço, é uma matriz diagonal em que g00=1 e g11=g22=g33=-1.

Question 19

Qual é o nome do espaço associado ao espaço 4d?

Answer 19

Espaço pseudo-euclidiano, de Minkowski.

Question 20

Enuncia um invariante de Lorentz que contenha a energia E, e o momento linear p.

Answer 20

E^2/c^2-p.p=m^2c^2

Question 21

Enuncia as transformações de Lorentz que contenham a energia e o momento linear, quando V=Vu_x.

Answer 21

(Confirmar nos slides)

Question 22

Enuncia as transformações de Lorentz que contenham a energia e o momento linear, quando a velocidade de S relacionada a S’ é -V.

Answer 22

(Confirmar nos slides)

Question 23

Enuncia as componentes contra-variantes do 4-vetor A.

Answer 23

A^0=A^0, A^1=A_x, A^2=A_y, A^3=A_z.

Question 24

Enuncia as componentes covariantes do 4-vetor A.

Answer 24

A_0=A^0, A_1=-A_x, A_2=-A_y, A_3=-A_z.

Question 25

Explicita o produto interno. Este é um ____________ .

Answer 25

A^muB_mu=A^0B^0-A.B

Question 26

O que é um invariante?

Answer 26

É algo que tem o mesmo valor físico em todos os referenciais de Lorentz.

Question 27

Que relação há entre A^muB_mu e A_muB^mu?

Answer 27

São iguais.

Question 28

A que é igual x^mu e x_mu?

Answer 28

x^mu=(t,r)

x_mu=(t,-r)

Question 29

A que é igual p^mu e p_mu?

Answer 29

p^mu=(E,p)

p_mu=(E,-p)

Question 30

A matriz da métrica faz o quê?

Answer 30

Sobe ou desce os índices.

Question 31

Que expressão indica que a matriz da métrica de Minkowski é simétrica? Adicionalmente, enuncia uma igualdade entre matrizes da métrica.

Answer 31

(g^mu,sigma)^T=g^sigma,mu

g^mu,sigma=g_mu,sigma

Question 32

O que é a matriz de índices mistos, g^mu_sigma? Enuncia a expressão que indica isto.

Answer 32

É a matriz identidade.

g^mu_sigma=(g^mu,alpha)(g_alpha,sigma)=delta^mu_sigma

Question 33

Enuncia a expressão que se traduz nas transformadas de Lorentz.

Answer 33

x^’mu (referencial S’) = Delta^mu_sigma x^sigma (Referencial S)

Question 34

A que é igual a matriz Delta^mu_sigma? (escolhendo c=h=1)

Answer 34

a11=sigma, a12=-sigmaV, a13=0, a14=0
a21=-sigmaV, a22=sigma, a23=0, a24=0
a31=0, a32=0, a33=1, a34=0
a41=0, a42=0, a43=1, a44=1

Question 35

Que relação indica que Delta^mu_sigma é simétrica mas não igual à transposta? Esta matriz é também…=

Answer 35

(Delta^mu_sigma)^T=Delta_sigma^mu=/=Delta^sigma_m. A matriz é também uma matriz unitária - preserva a norma dos quadri-vetores.

Question 36

A que é igual a matriz Delta_sigma^mu? (escolhendo c=h=1)

Answer 36

a11=sigma, a12=sigmaV, a13=0, a14=0
a21=sigmaV, a22=sigma, a23=0, a24=0
a31=0, a32=0, a33=1, a34=0
a41=0, a42=0, a43=1, a44=1

Question 37

O que significa dizer que as equações fundamentais são covariantes de Lorentz?

Answer 37

As leis fundamentais têm a mesma forma em qualquer referencial de Lorentz, ou seja, em referenciais que têm uma velocidade relativa uniforme.

Question 38

Qual é a regra para obter invariantes de Lorentz?

Answer 38

Balançar os índices superiores com os índices inferiores.

Question 39

O que é necessário garantir se uma equação é um covariante de Lorentz?

Answer 39

Garantir que os índices não repetidos (superiores e inferiores, separadamente) se balançam em ambos os lados da equação, e que todos os índices repetidos aparecem uma vez como índice superior e uma vez como índice inferior.

Question 40

O que é um invariante?

Answer 40

O valor é o mesmo em qualquer referencial.

Question 41

O que é uma quantidade conservada?

Answer 41

Uma quantidade cujo valor permanece igual com a variância do tempo.

Question 42

O que precisamos de fazer para obter a equação de Schrodinger a partir de E=p^2/2m?

Answer 42

Substituir pelos seus operadores: E-> ihd/dt e p-> -ih∇

Question 43

Verdadeiro ou Falso: A densidade de probabilidade na equação de Schrodinger é definida positiva.

Answer 43

Verdadeiro.

Question 44

Enuncia os operadores ∂_μ e ∂^μ.

Answer 44

∂^μ->(∂/∂t,-∇) e ∂_μ->(∂/∂t,∇)

Question 45

Como é o operador invariante na notação covariante?

Answer 45

(∂^μ)(∂_μ)=∇^2

Question 46

O que são translações?

Answer 46

Translaciona-se o sistema de coordenadas adicionando uma constante a uma coordenada, por exemplo - mover ao longo de um dado eixo.

Question 47

O que representam as transformações de Lorentz fisicamente?

Answer 47

A diferença entre distâncias e intervalos de tempo medidos por observadores que se movem relativamente ao outro com uma velocidade constante v na direção x, por exemplo.

Question 48

O que é que as transformações de Lorentz garantem?

Answer 48

Que o princípio da relatividade é garantido (invariância da lei).