Intro Part 1 - Linear Algebra

Question 1

הגדירו העתקה אפינית

Answer 1

Question 2

הגדירו את התמונה של העתקה לינארית בעזרת המטריצה המייצגת את ההעתקה.

Answer 2

התמונה של A היא המרחב הנפרש מעמודות המטריצה.

כי התמונה של A זה בעצם קומבינציות לינאריות של העמודות של A.

אימג’ A זה ספאן העמודות של A.

Question 3

הגדירו:

rank(A)

Answer 3

Question 4

הגדירו:

A is of full rank

Answer 4

Question 5

הגדירו: מטריצה הפיכה

Answer 5

Question 6

Answer 6

Question 7

הגדירו נורמת

L_p

Answer 7

Question 8

הגדירו בעזרת cos:

מכפלה פנימית של שני וקטורים

Answer 8

Question 9

Answer 9

Question 10

הגדירו: מטריצת מעבר בסיס

Answer 10

Question 11

הגדירו:

מטריצה אורתונורמלית

Answer 11

מטריצה היא אורתונורמלית אם המכפלה הפנימית של כל שני וקטורי עמודה היא 0 אם הוקטורים שונים זה מזה, ו1 אם הוקטורים שווים זה לזה.

Question 12

Answer 12

תהי A מטריצה אורתוגונלית.

אזי המטריצה ההופכית לA היא הטרנספוז של A.

Question 13

הגדירו:

וקטור עצמי וערך עצמי של מטריצה

Answer 13

ג is an “Erech Atzmi” of matrix A, and v is a “Vector Atzmi of matrix A, if:

A(v) = ג(v)

Question 14

הגדירו:

מטריצה אלכסונית

Answer 14

Question 15

1. הגדירו: אופרטור ניתן ללכסון.
2. מהם הוקטורים העצמיים והערכים העצמיים של אותו אופרטור?

Answer 15

Question 16

הגדירו: מטריצה ניתנת ללכסון

Answer 16

מטריצה A ניתנת ללכסון אם קיים בסיס B שלפיו A אלכסונית.

(כלומר קיימת מטריצת מעבר בסיס B כך ש:

B^-1AB אלכסונית)

Question 17

מהי מטריצה סימטרית?

Answer 17

מטריצה סימטרית היא מטריצה ששווה לטרנספוז שלה.

Question 18

מה ניתן לומר על הבסיס של מטריצה סימטרית?

Answer 18

למטריצה סימטרית יש בסיס אורתוגונלי של וקטורים עצמיים.

Question 19

אילו שלוש מטריצות נוצרות מתהליך SVD?

Answer 19

המטריצה U ממימד n = אורך הוקטורים x_i המרכיבים את המטריצה X.

בU יש מידע על מרחב העמודות של X, בV^T יש מידע על מרחב השורות של X, ובסיגמא יש סקלארים שמגדירים את החשיבות הפרופורציונאלית של העמודות והשורות בU וV. כך, u₁ יותר חשובה מu₂, ו-v^T₁ יותר חשובה מv^T₂, והחשיבות הזאת מקודדת בסיגמא.

בנוסף, וקטורי העמודה בV^T נותנים את הסקלרים שצריך להכפיל בהם את עמודות U כך שסכימה של עמודות U המוכפלות (לאחר הכפלה בסקלרים בסיגמה) תיתן את הוקטורים בX.

Question 20

SVD מפרק מטריצה X לסכום של…?

Answer 20

לסכום של מטריצות אחרות, כך שהמטריצה הראשונה שנסכמת היא המשמעותית ביותר בהערכה של X, המטריצה השנייה - שנייה בחשיבותה, וכן הלאה.

Question 21

ציירו את ההטלה של הוקטור u על הוקטור v.

Answer 21